轴对称等腰三角形等边三角形.docx
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轴对称等腰三角形等边三角形
【知识点梳理】
1、轴对称图形:
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称:
两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:
（1）
；轴对称
区别。
轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”
讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系。
把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;
把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
1.轴对称的性质:
1）线段的垂直平分线：
（1）定义。
经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
如图2,
•••CA=CB,
直线m丄AB于C,
（3）
（2）性质。
线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
判定。
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
女口图3,vPA=PB,
直线m是线段AB的垂直平分线,
•••点P在直线m上。
6等腰三角形:
（1）定义。
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
两腰的夹角叫做顶角。
腰与底的夹角叫做底角。
说明：
顶角=180°-2底角
底角=18°°-顶角=90」顶角
22
可见，底角只能是锐角。
（2）性质。
等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”
等边对等角。
如图5,在^ABC中
•••AB=AC
图4
只有一条。
三线合一。
（3）判定。
有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5,在^ABC中,
•••AB=AC
•••△ABC是等腰三角形。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
如图5,在^ABC中
V/B=/C•••△ABC是等腰三角形。
7、等边三角形:
（1）定义。
三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：
等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质。
有三条。
图6
等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”
三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
如图6,在^ABC中
VAB=AC=BC.•./A=/B=/C=60°o
（3）判定。
三条边都相等的三角形是等边三角形。
如图6,在^ABC中
VAB=AC=BC•••△ABC是等边三角形。
三个内角都相等的三角形是等边三角形。
如图6,在^ABC中
V/A=/B=/C
如图7,•••在RtAABC中,
/C=90°，/A=30°
1--BC=—AB
2
或AB=2BC
8、平面直角坐标系中的轴对称:
⑴（a，b）揺才右勿E（a，4）
横不变，纵反向
⑵（a，b）横关丁纵不变（Tb）
横反向，纵不变
9、对称轴的画法:
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意：
有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。
成轴对称的两个图形只有一条对称轴。
10、常见的轴对称图形:
（1）英文字母。
ABDEHIKMOTUVWXY
【有关考点】
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做
⑵轴对称：
对于个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么
【典例】
1.下列几何图形中，①线段②角③直角三角形④半圆，其中一定是
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于
完全一样
的对称点.
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴
［关于坐标轴对称］
点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）
点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,
［关于原点对称］
点P（x,y）关于原点对称的点的坐标是（-x,
［关于坐标轴夹角平分线对称］
点P（x,y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线
-y）
y=x对称的点的坐标是（y,
点P（x,y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是
（-y,-x）
［关于平行于坐标轴的直线对称］
点P（X,y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x,y）;
点P（X,y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x,2n-y）;考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
Q
若AP=PQ求证/APQ是多少度
考点四、线段垂直平分线的性质
的性质
【典例】
1、如图，△ABC中,/A=90,BD为/ABC平分线，DELBCE是BC的中点,
求/C的度数。
【典例】
1、如图，Rt△ABC/C=90,/B=30°,BC=8,D为AB中点,
P为BC上一动点，连接APDP，则AP+DP勺最小值是
第1题图
2、已知等边ABCE在BC的延长线上，CF平分/DCEP为射线BC上一点,为CF上一点，连接APPQ
分BC
3、如图,DE是AABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10
A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米
4、如图，/BAC=30,P是/BAC平分线上一点，PM//ACPD!
AC
PD=28,贝UAM=
5、如图，在Rt△ABC中,/ACB=90°，/BAC的平分线交BC于D.
作CGLAB于G,交AD于E.过D点作DF!
AB于F.下列结论:
①/CED/CDE②S出EC:
S必eg=AC:
AG；③/ADF=2/ECD
④S^ed=S^fb:
⑤CE=DF.其中正确结论的序号是（）
A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤
【课后练习】
、选择题
i.下列命题中：
①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线;
④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说
法有（）个
C.3个
30°勺直角三角形；③长方形;
）个
2.下列图形中：
①平行四边形；②有一个角是
④等腰三角形.其中是轴对称图形有（
C.3个
于OB对称，则△PiOP2是
/APE的度数是
B.55
A.45°
D.75
C.60°
5.等腰梯形两底长为4cm和i0cm，面积为2icm2，则这个梯形较小的底角是（）度.
6.已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则
7.已知△ABC与^AiBiCi关于直线MN对称，且BC与BiCi交与直线MN上
一点O,
9./AOB的平分线上一点P到OA的距离
为5,Q是OB上任一点，则
10.等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm.则该等腰三角形的底长为
D.5cm
A.3cm或5cmB.3cm或7cmC.3cm
.填空题
12.等腰△ABC中，若/A=30°,则/B=13.在RtAABC中，/C=90°,AD平分/BAC交BC于D，若CD=4，则点D
到AB的距离是
14.等腰△ABC中，AB=AC=10，/A=30°,则腰AB上的高等于
15.女口图：
等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=6，AD=5，BC=8,且AB//DE，
则^DEC的周长是16.等腰梯形的腰长为2,上、下底之和为10且有一底角为
60°则它的两底长分别为17.若D为厶ABC的边BC上一点，且AD=BD,AB=AC=CD,
则/BAC=
18.AABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若/BAC=115，则/EAF=.
三.解答题
19.如图：
已知/AOB和C、D两点，求作一点P,使PC=PD，且P到/AOB两边的距离相等.
20.如图：
AD为^ABC的高，/B=2/C,用轴对称图形说明：
CD=AB+BD.
22.如图：
△ABC中，AB=AC=5,AB的垂直平分线
①若^BCD的周长为8,求BC的长；
23.等边△ABC中，点卩在^ABC内，点Q在^ABC夕卜，且/ABP=/ACQ,
BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？
试说明你的结论.
考点五、等腰三角形的特征和识别
⑵等腰三角形的互相重合（简称为“特别的：
（1）等腰三角形是
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应
”）特别的:
有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.
有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.
【典型例题】例1、如图：
在^ABC中，AB=ACADLBC,DE丄AB于点E,DF丄AC于点F。
试
说明DE=DF
例2、如图,E在^ABC勺AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF
BD=CE求证：
△ABC是等腰三角形.
【巩固练习】
A.15B.14C.13D.18
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40。
，则它的一个底角的度数
§、△ABC中,DF是AB的垂直平分线，交BC于D,EG是AC的垂直平分线，交
BC于E,若/DAE=20，则/BAC等于&从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片,
则原等腰三角形纸片的底角等于
7、已知，在△ABC中,/ACB=90，点DE在直线AB上，且AD=ACBE=BC
贝DCE=
考点六、等边三角形的特征和识别
⑴等边三角形的各相等，各相等并且每一个角都等于
特别的：
等边三角形的中线、高线、角平分线
【典例】
例1、如图，等边三角形ABC中,D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE
=CDDMLBC垂足为M。
例2.如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PEPF、PG
等边△ABC的高为AD求证：
PE+PF+PdAD
【巩固练习】
1、填空
⑴等边三角形的各相等，各相等并且每一个角都等于
特别的：
等边三角形的中线、高线、角平分线
2.下列推理中，错误的是【
3.已知△ABC是等边三角形，分别在ACBC上取点E、F,且AE=CF,BEAF
4.如图，DE、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF,则^DEF?
勺
形状是【
A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等
边三角形
5.如图B、C、D在一直线上，△ABC△ADE是等边三角形，若CE=15cmCD
=6cm贝uAO
6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三
角形ABC和等边三角形CDEAD与BE交于点0,AD与BC交于点P,BE与CD交
于点Q,连接PQ以下六个结论：
①AD=BE;②PQ//AE;③A吐BQ;④DE=DP;⑤
】个
/A0B=60°;⑥CO平分/AOE其中不正确的有【
考点七、30。
所对的直角边是斜边的一半
【典例】例1、如图，AB=ACDEIAB于E，DF丄AC于F，/BAC=120,BC=6贝UDE+DF=
例2、在^ABC中，AB=AC,乂A=120。
AB的垂直平分线交BC于点D，交AB
于点E.如果DE=1，求BC的长
垂直平分线上，AB=34,则CD=（
A.15B.17
3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cmC0=D0=30cm
乙
现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度/AOB刚
好为120°,求桌面到地面的距离是多少?
20.提示：
在CD上取一点E使DE=BD，连结AE;
23.提示：
△APQ为等边三角形，先证△ABP◎△ACQ得AP=AQ,再证/PAQ
=60°即可.
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