轴对称等腰三角形等边三角形.docx

1、轴对称等腰三角形等边三角形【知识点梳理】1、轴对称图形:一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。2、轴对称:两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。3、轴对称图形与轴对称的区别与联系:(1)；轴对称区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。(2)联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称;把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。1.轴对称的性质:1)线段的垂直平分线：(1)定义。经过线段的

2、中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。如图2, CA=CB ,直线m丄AB于C,(3)(2)性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。判定。与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。女口图 3,v PA=PB,直线m是线段AB的垂直平分线,点P在直线m上。6等腰三角形:(1)定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角。腰与底的夹角叫做底角。说明：顶角=180 - 2底角底角=18 -顶角=90顶角2 2可见，底角只能是锐角。(2)性质。等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”等边对等角。如图5,在 ABC

3、中 AB=AC图4,只有一条。三线合一。(3)判定。有两条边相等的三角形是等腰三角形。如图5,在 ABC中, AB=AC ABC是等腰三角形。有两个角相等的三角形是等腰三角形。如图5,在 ABC中V/ B=/ C ABC是等腰三角形。7、等边三角形:(1)定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形， 因此，等边三角形是特殊的等 腰三角形。(2)性质。,有三条。图6等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。如图6,在 ABC中VAB=AC=BC ./ A= / B=/ C=60o(3)判定。

4、三条边都相等的三角形是等边三角形。如图6,在 ABC中VAB=AC=BC ABC是等边三角形。三个内角都相等的三角形是等边三角形。如图6,在 ABC中V/ A= / B=/ C如图7, 在 RtAABC 中,/ C=90，/ A=30 1 -BC= AB2或 AB=2BC8、平面直角坐标系中的轴对称:（a，b）揺才右 勿 E （a，4）横不变，纵反向（a，b）横关丁纵不变（Tb）横反向，纵不变9、对称轴的画法:在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得 线段的垂直平分线。注意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。成轴对称的两个图形只有一条对

5、称轴。10、常见的轴对称图形:（1）英文字母。A B D E H I K M O T U V W X Y【有关考点】考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做轴对称：对于 个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么【典例】1.下列几何图形中， 线段 角 直角三角形 半圆，其中一定是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称(1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的(2)经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于完全一样的对称点.(3)连接任意一对对应点的线段被对称轴关于坐标轴对称点P (x, y

6、)关于x轴对称的点的坐标是(x, -y )点P (x, y)关于y轴对称的点的坐标是(-x ,关于原点对称点P (x, y)关于原点对称的点的坐标是(-x ,关于坐标轴夹角平分线对称点P(x, y)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线-y)y=x对称的点的坐标是(y,点P (x, y)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线 y= -x对称的点的坐标是(-y , -x)关于平行于坐标轴的直线对称点P (X, y)关于直线x=m对称的点的坐标是(2m-x, y);点P (X, y )关于直线y=n对称的点的坐标是(x, 2n-y ); 考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形(1)作出一些关键点或特殊点的

7、对称点.(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形Q若AP=PQ求证/ APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质的性质【典例】1、如图， ABC中,/ A=90 , BD为/ABC平分线，DELBC E是 BC的中点,求/ C的度数。【典例】1、如图，Rt ABC / C=90 , / B=30 ,BC=8, D为 AB中点,P为BC上一动点，连接AP DP，则AP+DP勺最小值是第1题图2、已知等边ABC E在BC的延长线上，CF平分/ DCE P为射线BC上一点, 为CF上一点，连接AP PQ分BC3、如图,DE是A ABC中 AC边的垂直平分线，若 BC=8厘

8、米，AB=10A.16厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米4、如图，/ BAC=30 , P 是/BAC平分线上一点，PM / AC PD! ACPD=28 ,贝U AM=5、如图，在 Rt ABC中,/ ACB = 90，/ BAC的平分线交 BC 于 D.作CGL AB于G,交AD于E.过D点作DF! AB于F.下列结论:/CED/ CDE S出EC : S必eg =AC : AG ；/ ADF=2/ ECDSed =Sfb :CE=DF.其中正确结论的序号是（）A . B . C . D .【课后练习】、选择题i .下列命题中：两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；等腰

9、三角形 的对称轴是底边上的中线；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线;一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 .正确的说法有（ ）个C. 3个30 勺直角三角形；长方形;）个2.下列图形中：平行四边形；有一个角是等腰三角形.其中是轴对称图形有（C. 3个于OB对称，则 Pi OP2是/ APE的度数是B. 55A . 45D. 75C . 605.等腰梯形两底长为4cm和i0cm，面积为2icm2，则 这个梯形较小 的底角是（ ）度.6 .已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则7.已知 ABC与 AiBiCi关于直线MN对称，且BC与BiCi交与直线MN

10、上一点O,9./ AOB的平分线上一点P到OA的距离为5, Q是OB上任一点，则10.等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm.则该等腰三角形的底长为D . 5cmA. 3cm 或 5cm B . 3cm 或 7cm C . 3cm.填空题12 .等腰 ABC 中，若/ A=30 ,则/ B= 13 .在 RtAABC 中，/ C=90 , AD 平分/ BAC 交 BC 于 D，若 CD=4，则点 D到AB的距离是14 .等腰 ABC中，AB=AC=10，/ A=30 ,则腰AB上的高等于15 .女口图：等腰梯形 ABCD 中，AD / BC，AB=6，AD=5，BC=8,且 AB /

11、 DE，则 DEC的周长是 16 .等腰梯形的腰长为2, 上、下底之和为10且有一底角为60则它的两底长分别为 17 .若 D 为厶 ABC 的边 BC 上一点，且 AD=BD , AB=AC=CD ,则/ BAC=18.A ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交 BC于点E、F,若/ BAC=115， 则/ EAF= .三.解答题19.如图：已知/ AOB和C、D两点，求作一点 P,使PC=PD，且 P到/AOB 两边的距离相等.20.如图：AD为 ABC的高，/ B=2/ C,用轴对称图形说明：CD=AB+BD .22.如图： ABC中，AB=AC=5 , AB的垂直平分线若BCD的周长为

12、8,求BC的长；23 .等边 ABC中，点 卩在 ABC内，点Q在 ABC夕卜，且/ ABP= / ACQ ,BP=CQ，问 APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.考点五、等腰三角形的特征和识别等腰三角形的 互相重合（简称为“ 特别的：（1）等腰三角形是（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应”）特别的:有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.【典型例题】 例1、如图：在 ABC中，AB=AC ADL BC, DE丄AB于点E, DF丄AC于点F。试说明DE=DF例2、如图,E在 ABC勺AC边的延长线上，D点在A

13、B边上，DE交BC于点F,DF=EFBD=CE求证： ABC是等腰三角形.【巩固练习】A. 15 B . 14 C. 13 D. 184、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40。，则它的一个底角的度数、 ABC中, DF是AB的垂直平分线，交BC于D, EG是AC的垂直平分线，交BC于 E,若/ DAE=20，则/ BAC等于 &从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在 ABC中,/ ACB=90，点 D E在直线 AB上，且 AD=AC BE=BC贝DCE =考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各 相等，各 相等

14、并且每一个角都等于特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线【典例】例1、如图，等边三角形ABC中, D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD DML BC 垂足为 M。例2.如图，点P是等边 ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE PF、PG等边 ABC的高为AD 求证：PE+PF+Pd AD【巩固练习】1、填空等边三角形的各 相等，各 相等并且每一个角都等于特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线2.下列推理中，错误的是【3.已知 ABC是等边三角形，分别在 AC BC上取点E、F,且AE= CF, BE AF4.如图，D E、F分别是等边 ABC各边上的点，且 AD= BE=

15、CF,则 DEF?勺形状是【A.等边三角形 B .腰和底边不相等的等腰三角形 C .直角三角形D .不等边三角形5.如图B、C、D在一直线上， ABC ADE是等边三角形，若 CE= 15cm CD=6cm 贝u AO6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE AD与BE交于点0, AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q,连接PQ以下六个结论：AD= BE;PQ/ AE;A吐BQ;DE= DP;】个/ A0B= 60 ;CO平分/ AOE其中不正确的有【考点七、30。所对的直角边是斜边的一半【典例】 例 1、如图，AB=AC DEI

16、 AB于 E，DF丄 AC于 F，/ BAC=120, BC=6 贝U DE+DF=例2、在 ABC中，AB = AC, 乂A =120。, AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E .如果DE =1，求BC的长垂直平分线上，AB =34,则CD =(A. 15 B . 173、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知 AO=BO=40cmC0=D0=30cm乙现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度/ AOB刚好为120,求桌面到地面的距离是多少?20 .提示：在CD上取一点E使DE = BD，连结AE ;23.提示： APQ为等边三角形，先证ABP ACQ得AP = AQ ,再证/ PAQ=60即可.