函数知识点大全及解析.docx
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函数知识点大全及解析
函数知识点解析
7.对映射的概念了解吗？
映射f：
A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
）
注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。
如：
若
，
；问：
到
的映射有个，
到
的映射有个；
到
的函数有个，若
，则
到
的一一映射有个。
函数
的图象与直线
交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
函数定义域求法：
●分式中的分母不为零；
●偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
●指数式的底数大于零且不等于一；
●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
●正切函数
●余切函数
●反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1] ，值域是
，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是
.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域？
义域是_____________。
复合函数定义域的求法：
已知
的定义域为
，求
的定义域，可由
解出x的范围，即为
的定义域。
例若函数
的定义域为
，则
的定义域为。
分析：
由函数
的定义域为
可知：
；所以
中有
。
解：
依题意知：
解之，得
∴
的定义域为
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例求函数y=
的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
-2x+5，x
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=
值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数y=
，
，
的值域。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
（2≤x≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+
的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：
已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，
例求函数y=
+
的值域。
解：
原函数可化简得：
y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A
（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：
当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10_
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10_
故所求函数的值域为：
[10，+∞）
例求函数y=
+
的值域
解：
原函数可变形为：
y=
+
_
_
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2_，-1_）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，__________________y
=∣AB∣=_
=
，
故所求函数的值域为[
，+∞）。
例求函数y=_
_-
的值域
解：
将函数变形为：
y=_
-
上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0_）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。
即：
y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知：
（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，
有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣=_
=
_
即：
-
＜y＜
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=_∣AB∣=
。
综上所述，可知函数的值域为：
（-
，-
）。
注：
求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x_轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2
，a+b+c≥3
（a，b，c∈
），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：
倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例求函数y=
的值域
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要与到手的满分失之交臂
13.反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题：
（2004.全国理）函数
的反函数是（B）
A．y=x2－2x+2（x<1）B．y=x2－2x+2（x≥1）
C．y=x2－2x（x<1）D．y=x2－2x（x≥1）
当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。
可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。
下面请看一下我的思路：
原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.
我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。
思路能不能明白呢？
14.反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如
（04.上海春季高考）已知函数
，则方程
的解
__________.1
对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。
已知反函数的y,不就是原函数的x吗？
那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？
（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。
自己想想，不懂再问我
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
（1）定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系
可以变形为求
的正负号或者
与1的关系
（2）参照图象：
①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：
奇函数）
②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：
偶函数）
（3）利用单调函数的性质：
①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的
②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f（x）与
在f（x）的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。
（同增异减）
⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）都是正数
增
增
增
增
增
增
减
减
/
/
减
增
减
/
/
减
减
增
减
减
∴……）
16.如何利用导数判断函数的单调性？
值是（）
A.0B.1C.2D.3
∴a的最大值为3）
17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算
，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非偶
奇
偶
奇
偶
非奇非偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶
18.你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T是一个周期。
）
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：
，
同时可能也会遇到这种样子：
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思：
函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说
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