中考数学题型专项九 圆的证明与计算.docx

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中考数学题型专项九圆的证明与计算

题型专项（九）　圆的证明与计算

圆的证明与计算是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明的形式出现．解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等．在2017年云南省统考卷中，圆的证明与计算以压轴题（T23）呈现，加大考卷难度的同时，分值也相应增加，复习时应更加重视，在掌握解题方法的前提下，也要加大练习量．

【例】　（2017·云南T23·12分）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点．A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）设OP＝AC，求∠CPO的正弦值；

（3）设AC＝9，AB＝15，求d＋f的取值范围．

解：

（1）证明：

连接OC.

∵AC∥OP，

∴∠CAO＝∠POB，∠ACO＝∠COP.

∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO.

∴∠POB＝∠POC.2分

在△POB和△POC中，

∴△POB≌△POC.∴∠PBO＝∠PCO.

∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.

∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.

∴PC是⊙O的切线.4分

（2）连接BC.

∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，

∴∠ACB＝90°.

在△ACB和△OCP中，

由

（1）知∠CAB＝∠ACO＝∠COP，∠ACB＝∠OCP＝90°.

∴△ACB∽△OCP.∴＝.

设⊙O的半径为r，则AB＝2r，OC＝r，

∵OP＝AC，∴AC＝OP.

∴＝，解得OP＝r.6分

在Rt△OCP中，sin∠CPO＝＝＝.

∴∠CPO的正弦值等于.8分

（3）∵A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f，

∴A到直线CM的距离为d，B到直线CM的距离为f.

在△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15，

∴BC＝＝＝12.

设△ABC的面积为S，△AMC的面积为S1，△BMC的面积为S2，则S＝S1＋S2，

即CM·d＋CM·f＝AC·BC＝×9×12＝54.

∴d＋f＝.9分

作CH⊥AB，垂足为H，则

S＝AC·BC＝AB·CH，

∴CH＝＝＝.

当M运动到H点时，CM最小，即CM的最小值为；10分

当M自H向A点运动时，由CM＝，得CM逐渐增大，最大时为CA.

当M自H向B点运动时，由CM＝，得CM也逐渐增大，最大时为CB.

∵AC＝9，BC＝12，

∴CM的最大值为BC，即CM的最大值为12.11分

∴≤CM≤12.∴9≤≤15.12分

∴d＋f的取值范围为9≤d＋f≤15.

1．解决圆的相关问题，正确做出辅助线是解题的关键．

2．已知一条直线是圆的切线，则连接过切点的半径可得垂直．

3．证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：

（1）当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；

（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．

4．求阴影部分的面积经常使用割补法等转化的方法将阴影部分转化为几个容易求出面积的图形（如扇形、三角形等）的和差．

类型1　与圆的基本性质有关的证明与计算

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.

（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；

（2）若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）

解：

（1）OF∥BC，OF＝BC.

理由：

由垂径定理得AF＝CF.

∵AO＝BO，

∴OF是△ABC的中位线．

∴OF∥BC，OF＝BC.

（2）连接OC.由

（1）知OF＝.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵∠D＝30°，∴∠A＝30°.

∴AB＝2BC＝2.∴AC＝.

∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝30°

∴S△AOC＝AC·OF＝.

∴∠AOC＝120°.

∴S扇形AOC＝＝.

∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－.

2．（2017·苏州）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.

（1）求证：

△DOE∽△ABC；

（2）求证：

∠ODF＝∠BDE；

（3）连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，若＝，求sinA的值．

解：

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°.∴∠DEO＝∠ACB.

∵OD∥BC，

∴∠DOE＝∠ABC.

∴△DOE∽△ABC.

（2）证明：

∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE＝∠A.

∵∠A＝∠BDC，∴∠ODE＝∠BDC.

∴∠ODF＝∠BDE.

（3）∵△DOE∽△ABC，

∴∠ODW＝∠A，

＝（）2＝，即S△ABC＝4S△DOE＝4S1.

∵OA＝OB，∴S△BOC＝S△ABC，即S△BOC＝2S1.

∵＝，

S2＝S△BOC＋S△DOE＋S△DBE＝2S1＋S1＋S△DBE，

∴S△DBE＝S1.

∴BE＝OE，即OE＝OB＝OD.

∴sinA＝sin∠ODE＝＝.

类型2　与圆的切线有关的证明与计算

3．（2017·昆明市官渡区二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B，E两点，交BD于点G，交AB于点F.

（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．

解：

（1）AC与⊙O相切．

理由：

连接OE.

∵BE平分∠ABD，

∴∠OBE＝∠DBE.

∵OE＝OB，

∴∠OBE＝∠OEB.

∴∠OEB＝∠DBE.

∴OE∥BD.

∵AB＝BC，D是AC中点，∴BD⊥AC.∴OE⊥AC.

又∵OE是⊙O的半径，

∴AC与⊙O相切．

（2）设⊙O半径为r，则AO＝10－r.

由

（1）知，OE∥BD，∴△AOE∽△ABD.

∴＝，即＝，

解得r＝.

∴⊙O半径是.

4．（2017·曲靖市罗平县三模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠F.

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长和扇形DOE的面积．

解：

（1）证明：

∵∠CBF＝∠F，∴CB＝CF.

又∵AC＝CF，∴CB＝AC＝CF.

∴∠CBA＝∠CAB.∴∠ABF＝90°.

又∵OB是⊙O的半径，

∴直线BF是⊙O的切线．

（2）连接DO，EO.

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，

∴∠AOD＝∠DOE＝60°.

又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．

∴∠A＝60°，OA＝AD＝5，∴AB＝10.

在Rt△ABF中，又∵∠ABF＝90°，AB＝10.

∴BF＝AB·tanA＝10.

∴S扇形DOE＝π.

5．（2017·曲靖市罗平县二模）已知：

如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA＝∠C.

（1）求证：

PB是⊙O的切线；

（2）若OP∥BC，且OP＝8，∠C＝60°，求⊙O的半径．

解：

（1）证明：

连接OB.

∵AC是⊙O直径，

∴∠ABC＝90°.

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠C.

∵∠PBA＝∠C，

∴∠PBA＝∠OBC.

即∠PBA＋∠OBA＝∠OBC＋∠ABO＝∠ABC＝90°.

∴OB⊥PB.

∵OB为半径，

∴PB是⊙O的切线．

（2）∵OC＝OB，∠C＝60°，∴△OBC为等边三角形．∴BC＝OB.

∵OP∥BC，∴∠CBO＝∠POB.∴∠C＝∠POB.

在△ABC和△PBO中，

∴△ABC≌△PBO（ASA）．

∴AC＝OP＝8.

∴⊙O的半径为4.

6．（2017·曲靖模拟1）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D.

（1）求证：

AC平分∠BAD；

（2）若CD＝3，AC＝3，求⊙O的半径长．

解：

（1）证明：

连接OC.

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠CAO.

∵CD切⊙O于C，

∴CO⊥CD.

又∵AD⊥CD，∴AD∥CO.

∴∠DAC＝∠ACO.

∴∠DAC＝∠CAO.

∴AC平分∠BAD.

（2）过点O作OE⊥AC于E，

∵CD＝3，AC＝3，

∴AD＝＝6.

∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝.

∵∠CAO＝∠DAC，∠AEO＝∠ADC＝90°，

∴△AEO∽△ADC.∴＝，即＝.

∴AO＝，即⊙O的半径为.

7．（2017·曲靖模拟2）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.

（1）求证：

DC＝DE；

（2）若tan∠A＝，AB＝3，求BD的长．

解：

（1）证明：

连接OC.

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°.

∴∠ACO＋∠DCE＝90°.

又∵ED⊥AD，

∴∠EDA＝90°.

∴∠A＋∠E＝90°.

∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠A.

∴∠DCE＝∠E.∴DC＝DE.

（2）设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x，

在Rt△EAD中，∵tanA＝，

∴ED＝AD＝（3＋x）．

由

（1）知，DC＝DE＝（3＋x），

在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，

即1.52＋[（3＋x）]2＝（1.5＋x）2，

解得x1＝－3（舍去），x2＝1.

故BD＝1.

8．（2017·红河州蒙自市一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA＝PC，∠C＝30°.

（1）求证：

CP是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．

解：

（1）证明：

连接OP.

∵PA＝PC，∠C＝30°，∴∠A＝∠C＝30°.

∴∠APC＝120°.

∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A＝30°.

∴∠OPC＝120°－30°＝90°，即OP⊥CP.

∴CP是⊙O的切线．

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.

∴∠OBP＝90°－∠APO＝60°.

∵OP＝OB＝4，∴△OBP是等边三角形．

∴∠POC＝60°.

∵OP⊥CP，∠C＝30°，∴OC＝2OP＝2OB＝8.

∴OB＝BC.

∴S△OBP＝S△OPC.

∴PC＝＝＝4.

∴S阴影＝S扇形OBP－S△OBP＝△OBP－OPC

＝－××4×4

＝π－4.

9．（2017·楚雄州双柏县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于F.

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BC＝2，求DF的长．

解：

（1）证明：

连接OD.

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB.

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

∴∠ODB＝∠C.

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD.

∴DF是⊙O的切线．

（2）连接AD.

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.

又∵AB＝AC，∴BD＝DC＝.

∴AD＝＝＝.

∵DF⊥AC，∴∠DFC＝∠ADC.

∴△ADC∽△DFC.

∴＝.∴＝.

∴DF＝.

10．（2017·楚雄州双柏县二模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D