现代控制理论课件 最优控制系统设计.ppt

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现代控制理论课件最优控制系统设计,6.1最优控制的基本概念6.2无约束最优控制的变分方法6.3线性调节器问题*6.4受约束最优控制的极小值原理*6.5最小时间系统的控制问题,6.1最优控制的基本概念在古典控制理论中，反馈控制系统的传统设计方法有很多局限性，其中最重要的缺点是:

*方法不严密，大量地依靠试探法。

这种设计方法对于多输入-多输出系统以及复杂系统，不能得到令人满意的设计结果。

*另一方面，近年来，由于对系统控制质量的要求越来越高，和计算机在控制领域的应用越来越广泛，所以最优控制系统受到很大重视。

*最优控制的目的是使系统的某种性能指标达到最佳，也就是说，利用控制作用可按照人们的愿望选择一条达到目标的最佳途径（即最优轨线），至于哪一条轨线为最优，对于不同的系统有不同的要求。

而且对于同一系统，也可能有不同的要求。

例如在机床加工中可要求加工成本最低为最优；在导弹飞行控制中可要求燃料消耗最少为最优；在截击问题中可选时间最短为最优等等。

因此，最优是以选定的性能指标最优为依据的。

*一般来讲，达到一个目标的控制方式很多，但实际上的经济、时间、环境、制造等方面有各种限制，因此可实行的控制方式是有限的。

当需要实行具体控制时，有必要选择某一控制方式。

考虑这些情况，引入控制的性能指标概念，使这种指标达到最优值（指标可以是极大值或极小值）就是一种选择方法。

这样的问题就是最优控制。

但一般来讲不是把经济、时间等方面的要求全部表示为这种性能指标，而是把其中一部分用这种指标来表示，其余部分用系统工作范围中的约束来表示。

将上面的思想用数学形式表达如下：

已知：

控制系统的最优性能指标为,附加约束为系统方程,以及对应的边界条件（如给定初始条件），求控制作用u（t），使性能指标J极小。

*求解：

对这种问题应用古典变分法，作为其扩展的极大（或极小）值原理，或者用动态规划方法来解决。

性能指标J在数学上称为泛函，而在控制系统术语中称为损失函数。

通常，在实际系统中，特别是在工程项目中，损失函数的确定很不容易，需要多次反复。

性能指标的选择:

性能指标J是一个标量，在最优控制中它代替了传统的设计指标，如最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度。

适当选择性能指标，使系统设计符合物理上的标准。

/即性能指标既要能对系统作有意义的估价，又要使数学处理简单，这就是对于给定的系统很难选择一个最合适的性能指标的原因，尤其是对于复杂系统，更是这样。

性能指标已有了如下几种公式化的形式:

最短时间问题：

在最优控制中，一个最常遇到的问题是设计一个系统，使该系统能在最短时间内从某初始状态过渡到最终状态。

此最短时间问题可表示为极小值问题。

线性调节器问题：

给定一个线性系统，设计目标为保持平衡状态，而且系统能够从任何初始状态恢复到平衡状态。

式中Q为对称的正定矩阵。

或者:

式中，u为控制作用，矩阵R，Q称为权矩阵，在最优化过程中，它们的组成将对X和u施加不同的影响。

线性伺服器问题：

如果要求给定的系统状态X跟踪或者尽可能地接近目标轨迹，则问题可公式化为:

J为极小值。

除此之外，还有最小能量问题、最小燃料问题等等。

除特殊情况外，最优控制问题的解析解都是较复杂的，以至必须求其数值解。

但必须指出，当线性系统具有二次型性能指标时，其解就可以用整齐的解析形式表示。

*必须注意，控制作用u（t）不像通常在传统设计中那样被称为参考输入。

当设计完成时，最优控制u（t）将具有依靠输出量或状态变量的性质，所以一个闭环系统是自然形成的。

最优控制的实现问题:

*如果系统不可控，则系统最优控制问题是不能实现的。

*如果提出的性能指标超出给定系统所能达到的程度，则系统最优控制问题同样是不能实现的.,例6.1电枢控制的他激直流电动机动态方程为:

式中，为恒定负载转矩，J为转动惯量；为电枢电流；为电机的角速度；为转矩系数。

要求电动机在时间内，从静止状态起动，转过一定的角度后停止，即有:

在时间0，内，使电枢绕组上的损耗为最小，即最优控制问题表示为：

式中为最小电枢电流；R为绕组电阻。

将上述最优控制问题，写为典型形式：

设状态变量（转角），（角速度），令：

则状态方程为：

式中：

初始状态给定为：

终点状态给定为：

性能指标函数为最小，即：

为最小。

6.2无约束最优控制的变分方法所谓无约束，是指控制作用u（t）不受不等式的约束，可以在整个r维向量空间中任意取值.一、古典变分法无约束最优控制的提法：

已知受控系统的状态方程是:

在范围内有效，式中，X为n维状态向量，u为r维控制向量。

这是等式约束。

给定：

始点与终点的时间固定，状态自由。

要求确定控制作用u（t），使性能指标:

达到极小值。

由上述最优控制的提法知，约束方程为状态方程，所以现在的问题成为有约束条件的泛函极值问题，即在状态空间中，在曲面上找出极值曲线。

求解的一种方法是:

先解状态方程，求出再将其代入J中求解，此种方法非常繁琐。

另一种方法是:

组成新的泛函J，求考虑约束的极值问题，即拉格朗日乘子法。

它的具体步骤如下：

用一个向量拉格朗日乘子，将约束即系统的状态方程加到原来的性能指标J中去，得到新的性能指标为:

定义一个标量函数称它为哈密尔顿函数。

所以新的性能指标为:

对的最后一项进行分部积分求对控制向量及状态向量的一次变分，并利用内积可换位性质（为方便，以下用J代）,有：

得因为极小值存在的必要条件是J对的一次变分为0，所以令从而得到以下一组方程:

（6.1）以上四个方程叫作控制作用不受约束的庞德亚金方程。

极小值存在的充分条件是：

沿着满足的一切轨线，J的二次变分必须非负。

取的台劳级数展开式的二次项为J的二次变分，有：

一次变分,二次变分：

如果半正定，及半正定，则为非负值，即上述两个半正定条件为J极小的充分条件。

由庞德亚金方程可知，初端与终端的各种不同情况都将影响贯截方程，即贯截条件，这一点是较难掌握的。

二、贯截条件的分析始点时间、状态固定及终点时间固定、状态自由时，相应的新泛函指标为：

因为固定，所以有，而是完全任意的，则由前面推出的贯截方程:

得到贯截条件为：

系统的始点时间与状态都固定，终点状态固定，时间不固定：

因为和都为0，即始点与终点的状态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的状态对性能指标极小化不产生影响，于是J中便没有末值项了。

即:

由于可得贯截条件方程为（6.3）为待定常数乘子。

6.3线性调节器问题一、二次型性能指标的最优控制在现代控制理论中，基于二次型性能指标进行最优设计的问题已成为最优控制理论中的一个重要问题。

而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是适用的。

下面介绍什么是二次型性能指标的最优控制,给定一个n阶线性控制对象，其状态方程是（6.4）寻求最优控制u（t），使性能指标（6.5）达到极小值。

这是二次型指标泛函，要求S、Q（t）、R（t）是对称矩阵，并且S和Q（t）应是非负定的或正定的，R（t）应是正定的。

对性能指标的意义加以了解与讨论是非常必要的。

式（6.5）右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的终态接近预定终态的程度.这一项对于控制大气层外导弹的拦截、飞船的会合等问题是很重要的。

式（6.5）右侧的积分项是一项综合指标。

积分中的第一项表示对于一切的对状态的要求，用它来衡量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，类似于古典控制理论中给定参考输入与被控制量之间的误差的平方积分，这一积分项愈小，说明控制的性能愈好。

积分的第二项是对控制总能量的限制，如果仅要求控制误差尽量小，则可能造成求得的控制向量u（t）过大，控制能量消耗过大，甚至在实际上难以实现。

实际上，上述两个积分项是相互制约的：

要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗增大；反之，为了节省控制能量，就不得不降低对控制性能的要求。

求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义下的折衷，这种折衷侧重哪一方面，取决于加权矩阵Q（t）及R（t）的选取。

如果重视控制的准确性,则应增大加权矩阵Q（t）的各元，反之则应增大加权矩阵R（t）的各元。

Q（t）中的各元体现了对X（t）中各分量的重视程度，如果Q（t）中有些元素等于零，则说明对X（t）中对应的状态分量没有任何要求，这些状态分量往往对整个系统的控制性能影响较微小，由此也能说明加权矩阵Q（t）为什么可以是正定或非负定对称矩阵。

因为对任一控制分量所消耗的能量都应限制，又因为计算中需要用到矩阵R（t）的逆矩阵，所以R（t）必须是正定对称矩阵。

常见的二次型性能指标最优控制分两类:

线性调节器线性伺服器它们已在实际中得到了广泛应用。

由于二次型性能指标最优控制的突出特点是其线性的控制规律，即其反馈控制作用可以做到与系统状态的变化成比例，即u（t）=-KX（t）（实际上，它是采用状态反馈的闭环控制系统），因此这类控制易于实现，也易于驾驭，是很引人注意的一个课题.,1.线性调节器问题如果施加于控制系统的参考输入不变，当被控对象的状态受到外界干扰或受到其他因素影响而偏离给定的平衡状态时，就要对它加以控制，使其恢复到平衡状态，这类问题称为调节器问题。

2.线性伺服器问题对被控对象施加控制，使其状态按照参考输入的变化而变化，这就是伺服器问题。

从控制性质看以上两类问题，虽然有差异，但在寻求最优控制的问题上，它们有许多一致的地方。

这两类问题，又可根据要求的性能指标不同，分为两种情况：

终端时间有限的最优控制：

因为所给控制时间是有限的，这就限制了终端状态，所以终端状态可以是自由的，也可以是受限制的，往往不可能要求完全固定。

此外，该问题中性能指标应该有末值项，因为积分项上限是有限的。

终端时间无限的最优控制：

当终端时间时，终端状态进入到给定的终端稳定状态，所以性能指标中不应有末值项，此时积分项上限为。

二、终端时间有限（）的线性调节器问题设线性系统的状态方程由下式表示（6.6）给定初始条件，寻求最优控制u（t），使性能指标达到极小值。

根据上一节所述的变分法原理求解。

1建立庞德亚金方程首先建立哈密尔顿函数（6.7）建立控制方程（6.8）建立伴随方程（6.9）建立贯截方程（6.10）,2建立闭环控制使最优控制u（t）作为状态的函数，建立闭环控制。

由式（6.8）得（6.11）假定上面这个控制作用u（t）可以用一个闭环控制来代替，而且能满足伴随方程式（6.9）的条件，设:

（6.12）将其代入式（6.11），得:

式中（6.13）为反馈增益矩阵。

因为R（t）、B（t）均已知,所以求最优控制u（t）便归结为求解矩阵P（t）。

3.求解矩阵P（t）将式（6.13）代入式（6.6）后可得（6.14）由式（6.9）和式（6.12）可得（6.15）将式（6.14）代入式（6.15）可得:

上式中，由于，所以必须有：

式中，P为一个对称正定矩阵，共有个不同类项。

式（6.16）为里卡德（Ricatti）矩阵方程,它是一个非线性微分方程。

/,求它的解所需的个边界条件，可根据式（6.10）和式（6.12）给出的终值条件求得:

即:

于是利用里卡德矩阵方程，可以由已知的时的P矩阵求出时的值。

从式（6.16）中解出满足终端条件的P（t）后，代入式（6.13）就能将最优控制u（t）通过X（t）的线性反馈关系表示出来。

如图6.1所示。

由以上分析可见，构成线性最优调节器的必要条件为：

系统的状态必须是完全能量测的。

反馈矩阵K确实能够求得，并能够实际实现。

在通常情况下，短阵P由里卡德矩阵方程解出。

由于里卡德矩阵方程是一个非线性微分方程，虽然有一些求解的方法，但是解法很繁，只是在方程形式很简单的情况下，才能求得解析形式的解。

如果矩阵S太大，不易计算，有时可利用里卡德逆矩阵微分方程求解，求解方法如下：

令微分得:

由上式可得里卡德逆矩阵方程为:

且:

为求得线性最优调节器得以实现的充分条件，必须使性能指