最新高中数学第1章常用逻辑用语11.docx

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最新高中数学第1章常用逻辑用语11

——教学资料参考参考范本——

2019-2020最新高中数学第1章常用逻辑用语1

（1）

______年______月______日

____________________部门

学习目标　1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．

知识点一　全称命题的否定

思考　尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．

（1）所有矩形都是平行四边形；

（2）每一个质数都是奇数；

（3）∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

答案　

（1）将量词“所有”换为“存在一个”，然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：

“存在一个矩形不是平行四边形”；

（2）存在一个质数不是奇数；

（3）∃x∈R，x2－2x＋1<0.

梳理　写全称命题的否定的方法：

（1）更换量词，将全称量词换为存在量词；

（2）将结论否定．

对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：

∀x∈M，p（x），它的否定綈p：

∃x∈M，綈p（x）．

全称命题的否定是存在性命题．

知识点二　存在性命题的否定

思考　尝试写出下面含有一个量词的存在性命题的否定，并归纳写存在性命题否定的方法．

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）∃x∈R，x2＋1<0.

答案　

（1）先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数”，于是得原命题的否定为：

“所有实数的绝对值都不是正数”；

（2）所有平行四边形都不是菱形；

（3）∀x∈R，x2＋1≥0.

梳理　写存在性命题的否定的方法：

（1）将存在量词改写为全称量词；

（2）将结论否定．

对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：

存在性命题p：

∃x∈M，p（x），它的否定綈p：

∀x∈M，綈p（x）．存在性命题的否定是全称命题．

1．命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．（×）

2．命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．（×）

3．全称命题的否定一定是存在性命题．（√）

类型一　全称命题的否定

例1　判断下列命题的真假，并写出它们的否定．

（1）对任意x∈R，x3－x2＋1≤0；

（2）所有能被5整除的整数都是奇数；

（3）对任意的x∈Q，x2＋x＋1是有理数．

解　

（1）当x＝2时，23－22＋1＝5＞0，故

（1）是假命题．

命题的否定：

存在x∈R，x3－x2＋1＞0.

（2）10能被5整除，10是偶数，故

（2）是假命题．

命题的否定：

存在一个能被5整除的整数不是奇数．

（3）有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故（3）是真命题．

命题的否定：

存在x∈Q，x2＋x＋1不是有理数．

反思与感悟　1.全称命题的否定

全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是解题的关键．

2．常见词语的否定

原词

否定词

原词

否定词

原词

否定词

等于

不等于

是

不是

至少一个

一个也没有

大于

不大于

都是

不都是

任意

某个

小于

不小于

至多一个

至少两个

所有的

某些

跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：

（1）任何一个平行四边形的对边都平行；

（2）数列：

1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

（3）任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

（4）可以被5整除的整数，末位是0.

解　

（1）其否定：

存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

（2）其否定：

数列：

1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．

（3）其否定：

存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

（4）其否定：

存在能被5整除的整数，末位不是0.

类型二　存在性命题的否定

例2　写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．

（1）p：

∃x∈R，2x＋1≥0；

（2）q：

∃x∈R，x2－x＋＜0；

（3）r：

有些分数不是有理数．

考点　存在量词的否定

题点　含存在量词的命题的否定

解　

（1）綈p：

∀x∈R，2x＋1＜0，綈p为假命题．

（2）綈q：

∀x∈R，x2－x＋≥0.

∵x2－x＋＝2≥0，

∴綈q是真命题．

（3）綈r：

一切分数都是有理数，綈r是真命题．

反思与感悟　存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：

∃x∈M，p（x）成立⇒綈p：

∀x∈M，綈p（x）成立．

跟踪训练2　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

（1）p：

存在x>1，使x2－2x－3＝0；

（2）p：

有些素数是奇数；

（3）p：

有些平行四边形不是矩形．

解　

（1）其否定：

任意x>1，x2－2x－3≠0（假）．

（2）其否定：

所有的素数都不是奇数（假）．

（3）其否定：

所有的平行四边形都是矩形（假）．

类型三　含量词的命题的应用

例3　已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．

考点　含有一个量词的命题

题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围

解　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：

“存在x∈R，x2＋ax＋1＜0”．

由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．

由于函数f（x）＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，

借助二次函数的图象易知Δ＝a2－4＞0，

解得a＜－2或a＞2.

所以实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）．

引申探究

把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围．

解　由题意知Δ＝a2－4≤0，解得a∈[－2,2]．

故实数a的取值范围为[－2,2]．

反思与感悟　含有一个量词的命题与参数范围的求解策略

（1）对于全称命题“∀x∈M，a＞f（x）（或a＜f（x））”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f（x）的最大值（或最小值），即a＞f（x）max（a＜f（x）min）．

（2）对于存在性命题“∃x∈M，a＞f（x）（或a＜f（x））”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f（x）的最小值（或最大值），即a＞f（x）min（或a＜f（x）max）．

（3）若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式——存在性命题为真命题解决，同理，若存在性命题为假命题，通常转化为其否定形式——全称命题为真命题解决．

跟踪训练3　已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

（2）若存在一个实数x，使不等式m－f（x）>0成立，求实数m的取值范围．

考点　含有一个量词的命题

题点　由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围

解　

（1）不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），

即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.

（2）不等式m－f（x）>0可化为m>f（x），若存在一个实数x，使不等式m>f（x）成立，只需m>f（x）min.

又f（x）＝（x－1）2＋4，

∴f（x）min＝4，∴m>4.

∴所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．

1．命题“∀x∈R，x＞sinx”的否定是________________．

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的否定

答案　∃x∈R，x≤sinx

2．已知a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是________________．

答案　∀x>1，logax≤0

解析　a>0且a≠1，命题“∃x>1，logax>0”的否定是“∀x>1，logax≤0”．

3．对∀x>0，a

答案　（－∞，2）

解析　因为x>0，故x＋≥2＝2，

当且仅当x＝1时等号成立，

又a

故a

4．由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是（－∞，a），则实数a的值是________．

考点　含有一个量词的命题

题点　含一个量词的命题的否定

答案　1

解析　其否定为：

∀x∈R，使e|x－1|－m＞0，

且为真命题．m＜e|x－1|.

只需m＜（e|x－1|）min＝1.故a＝1.

5．对下列命题的否定说法错误的是________．（填序号）

①p：

能被2整除的数是偶数；非p：

存在一个能被2整除的数不是偶数；

②p：

有些矩形是正方形；非p：

所有的矩形都不是正方形；

③p：

有的三角形为正三角形；非p：

所有的三角形不都是正三角形；

④p：

∃n∈N,2n≤100；非p：

∀n∈N,2n>100.

答案　③

解析　“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：

“所有的三角形都不是正三角形”，故③错误．

1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：

将“≥”否定为“<”．

2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．

3．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：

原词语

否定词语

原词语

否定词语

是

不是

至少有一个

一个也没有

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

大于

不大于

至少有n个

至多有（n－1）个

小于

不小于

至多有n个

至少有（n＋1）个

任意的

某个

能

不能

所有的

某些

等于

不等于

一、填空题

1．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2（a－1）x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．

考点　存在量词的否定

题点　含存在量词的命题的否定

答案　∀x∈（0，＋∞），x2＋2（a－1）x＋2a＋6≠0

2．下列命题中假命题有________个．

①∀x∈（0，＋∞），＋1≥x；

②∃x，y∈Z，使得x＋y＝3；

③∃x∈R，x2－2x－3＝0；

④所有正方形都是菱形；

⑤∀x∈R，|x|≥x.

答案　1

解析　①为假命题，②③④⑤为真命题．

3．已知命题p：

∀x∈R，sinx≤1，则綈p是____________．

答案　∃x∈R，sinx>1

解析　所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，∃x∈R，sinx>1.

4．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是________________________．

答案　∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>n

解析　“f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定为“f（n）∉N*或f（n）>n”，全称命题的否定为存在性命题．

5．已知p：

∀x∈R,9x2－6x＋1＞0，q：

∃x∈R，sinx＋cosx＝，则p∨q是________命题．（填“真”“假”）

考点　含有一个量词的命题

题点　含一个量词的命题真假判断

答案　真

解析　由于9x2－6x＋1＝（3x－1）2≥0，所以p为假命题．因为sinx＋cosx＝sin≤，

所以q为真命题，

因此p∨q是真命题．

6．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________．

答案　存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3

解析　全称命题的否定为存在性命题．

7．命题“每个函数都有奇偶性”的否定是______________．

答案　有些函数没有奇偶性

解析　命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是存在性命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．

8．若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案　1

解析　∵0≤x≤，∴0≤tanx≤1，∵“∀x∈，

tanx≤m”是真命题，∴m≥1，∴实数m的最小值为1.

9．已知p（x）：

x2＋2x－m>0，如果p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围是________．

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围

答案　[3,8）

解析　因为p

（1）是假命题，

所以1＋2－m≤0，解得m≥3.

又因为p

（2）是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，

故实数m的取值范围是[3,8）．

10．设命题p：

∀x∈R，x2＋ax＋2＜0，若綈p为真，则实数a的取值范围是________．

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围

答案　（－∞，＋∞）

解析　綈p：

∃x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题，

显然a∈R.

11．已知命题p：

∃x∈R，x－2>lgx，命题q：

∀x∈R，sinx

①命题p∨q是假命题；

②命题p∧q是真命题；

③命题p∧（綈q）是真命题；

④命题p∨（綈q）是假命题．

答案　③

解析　对于命题p：

取x＝10，则有10－2>lg10，

即8>1，故命题p为真命题；

对于命题q，取x＝－，

则sinx＝sin＝－1，

此时sinx>x，故命题q为假命题，

因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，

命题p∧（綈q）是真命题，命题p∨（綈q）是真命题．

二、解答题

12．已知命题p：

∀x∈R,4x－2x＋1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围．

考点　全称量词的否定

题点　含全称量词的命题的真假求参数的取值范围

解　∵綈p是假命题，

∴p是真命题．

也就是∀x∈R，有m＝－（4x－2x＋1），

令f（x）＝－（4x－2x＋1）＝－（2x－1）2＋1，

∴对任意x∈R，f（x）≤1.

∴m的取值范围是（－∞，1]．

13．已知命题p：

“至少存在一个实数x∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．

解　由已知得綈p：

∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．

∴设f（x）＝x2＋2ax＋2－a，

则

∴解得a≤－3，

∵綈p为假，

∴a>－3，即a的取值范围是（－3，＋∞）．

三、探究与拓展

14．已知函数f（x）＝x2－mx＋1，命题p：

“对任意x∈R，都有f（x）>0”，命题q：

“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题p的否定与q均为真命题，则实数m的取值范围为________．

答案　（－3，－2]∪[2,3）

解析　由于命题p：

“对任意x∈R，都有f（x）>0”，所以命题p的否定为“不等式f（x）≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：

“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－3

15．已知p：

∀x∈R,2x>m（x2＋1），q：

∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．

解　2x>m（x2＋1）可化为mx2－2x＋m<0.

若p：

∀x∈R,2x>m（x2＋1）为真，

则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．

当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；

当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，

所以m<－1.

若q：

∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真，

则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，

所以Δ＝4＋4（m＋1）≥0，所以m≥－2.

又p∧q为真，故p，q均为真命题．

所以m<－1且m≥－2，

所以m的取值范围为[－2，－1）．