届北师大版不等式与线性规划2单元测试.docx

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届北师大版不等式与线性规划2单元测试

专题限时集训（十八）不等式与线性规划

[建议A、B组各用时：

45分钟]

[A组　高考题、模拟题重组练]

一、基本不等式

1．（2016·安庆二模）已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为（　　）

A．4　　　　　　　　　B．2

C．8D．16

B　[由a＋b＝＋，有ab＝1，

则＋≥2＝2.]

2．（2016·长沙一模）若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（　　）

【导学号：

04024156】

A.B．2

C．2D．4

C　[依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立，因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.]

3．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

30　[一年的总运费为6×＝（万元）．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为万元．

因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]

4．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

4　[∵a，b∈R，ab>0，

∴≥＝4ab＋≥2＝4，

当且仅当即时取得等号．

故的最小值为4.]

二、线性规划问题

5．（2017·全国卷Ⅲ）设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是（　　）

A．[－3,0]B．[－3,2]

C．[0,2]D．[0,3]

B　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝x－z过点A（2,0）时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B（0,3）时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.

所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．

故选B.]

6．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是（　　）

【导学号：

04024157】

A．4　B．9

C．10D．12

C　[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A（3，－1），由图易得（x2＋y2）max＝|OA|2＝32＋（－1）2＝10.故选C.]

7．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

A.B.

C.D.

B　[根据约束条件作出可行域如图阴影部分，

当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A（1,2），联立方程组求得B（2,1），可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B.]

8．（2015·全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件则的最大值为________．

3　[画出可行域如图阴影所示，∵表示过点（x，y）与原点（0,0）的直线的斜率，

∴点（x，y）在点A处时最大．

由得∴A（1,3）．

∴的最大值为3.]

[B组　“12＋4”模拟题提速练]

一、选择题

1．（2017·成都模拟）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A.＞　　　　B．＜

C.＞D.＜

B　[由c＜d＜0得－＞－＞0，又a＞b＞0，则－＞－＞0，即＜，故选B.]

2．（2016·长春一模）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为，则f（ex）＞0的解集为（　　）

A．{x|x＜－1或x＞－ln3}

B．{x|－1＜x＜－ln3}

C．{x|x＞－ln3}

D．{x|x＜－ln3}

D　[f（x）＞0的解集为，

则由f（ex）＞0得－1＜ex＜，

解得x＜－ln3，即f（ex）＞0的解集为{x|x＜－ln3}．]

3．（2017·平顶山一模）若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．a≥B．a＞

C．a＜D．a≤

A　[由x＞0得＝≤＝.

当且仅当x＝1时等号成立，则a≥，故选A.]

4．已知g（x）是R上的奇函数，当x＜0时，g（x）＝－ln（1－x），函数f（x）＝若f（2－x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（　　）

【导学号：

04024158】

A．（－∞，1）∪（2，＋∞）

B．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

C．（1,2）

D．（－2,1）

D　[设x＞0，则－x＜0，所以g（－x）＝－ln（1＋x），因为g（x）是R上的奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝ln（1＋x），所以f（x）＝易知f（x）是R上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x2＞x，解得－2＜x＜1.故选D.]

5．（2016·德阳模拟）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z＝2x－y的最大值是（　　）

A．6　　　B．0

C.2　　　D．2

A　[由作出可行域如图，

易求得A（a，－a），B（a，a），

由题意知S△OAB＝·2a·a＝4，得a＝2.

∴A（2，－2），

当y＝2x－z过A点时，z最大，zmax＝2×2－（－2）＝6.故选A.]

6．（2017·郑州二模）已知直线y＝k（x＋1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（　　）

【导学号：

04024159】

A．[0，＋∞）B.

C.D.

C　[不等式组表示的平面区域是以点（0,0），（4,0），（1,3）为顶点的三角形区域（不包含x轴上的点）（图略）．当直线经过点（1,3）时，k取得最大值，因为直线恒过定点（－1,0），所以直线与不等式组表示的区域有公共点，k必须大于0，所以0＜k≤，故选C.]

7．若变量x，y满足约束条件则（x－2）2＋y2的最小值为（　　）

A.B.

C.D．5

D　[作出不等式组对应的平面区域如图，

设z＝（x－2）2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2,0）的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小．

由得

即C（0,1），

此时zmin＝（x－2）2＋y2＝4＋1＝5，故选D.]

8．（2016·石家庄模拟）已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx（m＞0）的最大值为1，则m的值是（　　）

【导学号：

04024160】

A．－B．1

C．2D．5

B　[作出可行域，如图所示的阴影部分．

∵m＞0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A（1,2），∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]

9．（2017·江西师大附中模拟）若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为（　　）

A．1或B.或

C．1或D.或

D　[可行域由三条直线x＝0，x＋y＝0，kx－y＋1＝0所围成，因为x＝0与x＋y＝0的夹角为，所以x＝0与kx－y＋1＝0的夹角为或x＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为.当x＝0与kx－y＋1＝0的夹角为时，可知k＝1，此时等腰三角形的直角边长为，面积为；当x＋y＝0与kx－y＋1＝0的夹角为时，k＝0，此时等腰三角形的直角边长为1，面积为，所以选D.]

10．（2017·泰安模拟）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值是（　　）

A．0B.

C．2D.

C　[＝＝－3＋≥2－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时等号成立．

此时z＝x2－3xy＋4y2＝（2y）2－3·2y·y＋4y2＝2y2.

∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2（y－1）2＋2，

∴当y＝1，x＝2，z＝2时，x＋2y－z取最大值，最大值为2，故选C.]

11．（2016·武汉二模）设m＞1，x，y满足约束条件且目标函数z＝x＋my的最大值为2，则m的取值为（　　）

【导学号：

04024161】

A．2B．1＋

C．3D．2＋

B　[因为m＞1，由约束条件作出可行域如图，

直线y＝mx与直线x＋y＝1交于B，目标函数z＝x＋my对应的直线与直线y＝mx垂直，且在B处取得最大值，

由题意可知＝2，

又因为m＞1，解得m＝1＋.]

12．已知x，y满足时，z＝＋（a≥b＞0）的最大值为2，则a＋b的最小值为（　　）

A．4＋2B．4－2

C．9D．8

A　[由约束条件作出可行域如图，

联立解得A（2,6），

化目标函数z＝＋为y＝－x＋bz，

由图可知，当直线y＝－x＋bz过点A时，

直线在y轴上的截距最大，z有最大值为＋＝2，

即＋＝1.

所以a＋b＝（a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝4＋2.

当且仅当

即a＝＋1，b＝3＋时取等号．]

二、填空题

13．（2016·全国卷Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．

－5　[不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

由z＝x－2y得y＝x－z.

平移直线y＝x，易知经过点A（3,4）时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.]

14．（2016·青岛模拟）定义运算“⊗”：

x⊗y＝（x，y∈R，xy≠0），当x＞0，y＞0时，x⊗y＋（2y）⊗x的最小值为________.

【导学号：

04024162】

　[当x＞0，y＞0时，x⊗y＋（2y）⊗x＝＋＝≥＝.所以所求的最小值为.]

15．设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：

y＝k（x＋2）上存在区域M内的点，则k的取值范围是________．

　[作出不等式组对应的平面区域，如图所示．

直线y＝k（x＋2）过定点D（－2,0），

由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，

当经过点B时，直线斜率最小，

由解得

即A（1,3），此时k＝＝＝1，

由解得

即B（1,1），此时k＝＝，

故k的取值范围是.]

16．（2017·武汉联考）已知函数f（x）＝若f（a）＝f（b）（0＜a＜b），则＋取最小值时，f（a＋b）＝________.

1－2lg2　[由题意知，0＜a＜1＜b，由f（a）＝f（b）得－lga＝lgb，即lga＋lgb＝0，所以ab＝1，从而＋≥2＝4，当且仅当即时等号成立，所以f（a＋b）＝f＝lg＝1－2lg2.]