湖南省衡阳县届高三联考数学理试含答案.docx

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湖南省衡阳县届高三联考数学理试含答案

高三数学试卷（理科）

考生注意：

1．本试卷考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

3．本试卷主要考试内容：

集合、函数、导数、三角函数、向量、数列、不等式、立体几何．

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若向量，，且，则（）

A．B．C．D．

2．设集合，，则（）

A．B．

C．D．

3．设函数若是奇函数，则（）

A．B．C．D．1

4．已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列判断正确的是（）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，则

5．函数的零点所在的区间为（）

A．B．C．D．

6．已知等比数列的前n项和为，且，，则（）

A．16B．19C．20D．25

7．已知函数（，）的值域为，函数，则的图象的对称中心为（）

A．（）B．（）

C．（）D．（）

8．设，则（）

A．B．C．D．

9．已知函数在R上为增函数，则的取值范围为（）

A．B．

C．D．

10．在直角坐标系xOy中，直线l：

与抛物线C：

相交于A，B两点，，且，则（）

A．7B．8C．9D．10

11．棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的内切球半径为（）

A．B．C．D．

12．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上．

13．设向量，，，则______．

14．现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______．

①若，则的最大值为；

②若，，是等差数列的前3项，则；

③“”的一个必要不充分条件是“”；

④若且，则．

15．若函数（）在内存在唯一的，使得，则的最小正周期的取值范围为______．

16．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E，F分别为棱PC，PB上一点．若BE与平面PCD所成角的正切值为2，则的最小值为______．

三、解答题：

本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．设函数．

（1）若曲线与x轴的交点为A，求曲线在点A处的切线方程；

（2）证明：

．

18．已知四棱锥的直观图如图所示，其中AB，AP，AD两两垂直，，且底面ABCD为平行四边形．

（1）证明：

．

（2）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网．

格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥的表面积．

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围．

20．如图，在三棱锥A-BCD中，，，，二面角的大小为120°，点E在棱AC上，且CE=2EA，点G为的重心．

（1）证明：

平面ABD．

（2）求二面角的正弦值．

21．已知数列满足．

（1）证明：

数列为等差数列．

（2）设，求数列的前n项和．

22．已知函数．

（1）设函数，讨论的单调性；

（2）当时，若存在，，，使，证明：

．

高三数学试卷参考答案（理科）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

C

A

D

B

B

B

A

A

C

D

B

13．7

14．①④

15．

16．

17．

（1）解：

令，得，所以A的坐标为．

因为，

所以，

故曲线在点A处的切线方程为．

（2）证明：

设函数，，

令，得；令，得．

所以，

从而，即．

18．

（1）证明：

因为AB，AP，AD两两垂直，所以，．

因为，

所以平面ABCD．

因为平面ABC，所以．

（2）解：

该四棱锥的侧视图如图所示：

依题意可得四边形ABCD为正方形．

易证平面PAD，平面PAB，所以，，

所以与的面积均为．

四棱锥的表面积为．

19．解：

（1）由，结合正弦定理可得，

即，

即，

即，

所以，

即．

因为，所以，所以．

又，所以．

（2），

因为，所以，

又，所以，

所以的取值范围是．

20．

（1）证明：

连接CG，并延长CG与BD相交于点O，连接OA．

因为点G为的重心，所以．

在中，有，

所以．

而平面ABD，平面ABD，

所以平面ABD．

（2）解：

过点O在中作，与DC相交于点F，因为，，则为二面角的平面角，则．

以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OF所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，，，，则，，，，

所以，，，．

记平面ABC的法向量为，

则

令，得到平面ABC的一个法向量．

设平面ACD的一个法向量为，

则

令，得到平面ABC的一个法向量，

．

设二面角的平面角为，则，

即二面角的正弦值为．

21．

（1）证明：

当时，，

则．

∵，∴．

又∵，，∴，

也满足，∴．

∵，∴数列为公差是2的等差数列．

（2）解：

，

设数列的前n项和为，

则，

∴，

∴，

即，

故，

∴．

22．

（1）解：

的定义域为，

．

当时，，在上单调递减．

当时，令，得，则单调递减；

令，得，则单调递增．

综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：

不妨设，由，得

，

所以．

设，则，故在上单调递增．

因为，所以，所以，

即，故，

所以，

于是，

则．