完整版二次根式及经典习题与答案.docx

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完整版二次根式及经典习题与答案

二次根式的知识点汇总

知识点一：

二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：

因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：

取值范围

1.   二次根式有意义的条件：

由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.   二次根式无意义的条件：

因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：

二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：

因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：

二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：

二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：

若，则，如：

，.

知识点五：

二次根式的性质

文字语言叙述为：

一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：

与的异同点

1、不同点：

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：

当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

二次根式

21.1二次根式：

1.使式子有意义的条件是。

2.当时，有意义。

3.若有意义，则的取值范围是。

4.当时，是二次根式。

5.在实数范围内分解因式：

。

6.若，则的取值范围是。

7.已知，则的取值范围是。

8.化简：

的结果是。

9.当时，。

10.把的根号外的因式移到根号内等于。

11.使等式成立的条件是。

12.若与互为相反数，则。

13.在式子中，二次根式有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

14.下列各式一定是二次根式的是（）

A.B.C.D.

15.若，则等于（）

A.B.C.D.

16.若，则（）

A.B.C.D.

17.若，则化简后为（）

A.B.

C.D.

18.能使等式成立的的取值范围是（）

A.B.C.D.

19.计算：

的值是（）

A.0B.C.D.或

20.下面的推导中开始出错的步骤是（）

A.B.C.D.

21.若，求的值。

22.当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

23.去掉下列各根式内的分母：

24.已知，求的值。

25.已知为实数，且，求的值。

21.2二次根式的乘除

1.当，时，。

2.若和都是最简二次根式，则。

3.计算：

。

4.计算：

。

5.长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为（精确到0.01）。

6.下列各式不是最简二次根式的是（）

A.B.C.D.

7.已知，化简二次根式的正确结果为（）

A.B.C.D.

8.对于所有实数，下列等式总能成立的是（）

A.B.

C.D.

9.和的大小关系是（）

A.B.C.D.不能确定

10.对于二次根式，以下说法中不正确的是（）

A.它是一个非负数B.它是一个无理数

C.它是最简二次根式D.它的最小值为3

11.计算：

12.化简：

13.把根号外的因式移到根号内：

21.3二次根式的加减

1.下列根式中，与是同类二次根式的是（）

A.B.C.D.

2.下面说法正确的是（）

A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式

B.与是同类二次根式

C.与不是同类二次根式

D.同类二次根式是根指数为2的根式

3.与不是同类二次根式的是（）

A.B.C.D.

4.下列根式中，是最简二次根式的是（）

A.B.C.D.

5.若，则化简的结果是（）

A.B.C.3D.-3

6.若，则的值等于（）

A.4B.C.2D.

7.若的整数部分为，小数部分为，则的值是（）

A.B.C.1D.3

8.下列式子中正确的是（）

A.B.

C.D.

9.在中，与是同类二次根式的是。

10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

11.一个三角形的三边长分别为，则它的周长是cm。

12.若最简二次根式与是同类二次根式，则。

13.已知，则。

14.已知，则。

15.。

16.计算：

⑴.⑵.

⑶.⑷.

17.计算及化简：

⑴.⑵.

⑶.

⑷.

18.已知：

，求的值。

19.已知：

，求的值。

20.已知：

为实数，且，化简：

。

21.已知的值。