福建省宁德宁市同心顺六校联盟屇高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案.docx

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福建省宁德宁市同心顺六校联盟屇高三上学期期中考试数学理试题Word版含答案

宁德“同心顺”2018届高三上期中联考

数学（理）试题

（考试时间：

120分钟；满分：

150分）

命卷：

茂华学校审卷：

福鼎二中

一、选择题（12*5=60分）

1.已知复数满足，则（）

A．B．C．D．

2.已知集合,则（）

A．B．C．D．

3.等差数列的前项和为，若公差，则当取得最大值时，的值为（）

A．B．C．D．

4．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（）

A．B．C．D．

5．等比数列{an}的各项均为正数，且，则（）

A．12B．10C．8D．

6．已知函数，则的图象大致为（）

7.设D为ABC所在平面内一点，则（）

A．B．

C．D．

8．若，，则的大小关系（）

A．B．C.D．

9．《张丘建算经》上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：

现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为（　　）

A．55B．52C．39D．26

10.已知，其中为自然对数的底数，则（）

A．B．

C．D．

11.平行四边形中，,点在边上，则的取值范

围是（）

A．B．C.D．

12.已知实数满足,则的最小值为（）

A．B．C.D．

二、填空题（4*5=20分）

13．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，，则a＝________.

14．已知向量满足，记向量的夹角为，则__________．

15.已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是__________.

16.已知，删除数列中所有能被整除的数，剩下的数从小到大排成数列，

则_________.

三、解答题（70分）

17、（本题满分12分）

在在中，角的对边分别为，若

（1）求角；

（2）求的面积。

18．（本小题满分12分）

已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设数列的前项和，证明

19．（本小题满分12分）

已知函数，其中，．若函数相邻两对称轴的距离等于．

（1）求的值；并求函数在区间的值域；

（2）在△中，、、分别是角、、的对边，若，求边、的长．

20.（本小题满分12分）

右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：

m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：

m2）．

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；

（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

21.（本小题满分12分）

设函数

（1）若，求的单调递增区间；

（2）当时，存在，使成立，求实数的最小值，（其中e是自然对数的底数）

请考生在第22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线

以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；

（2）若射线与曲线，分别交于两点，求.

23.（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求的解集;

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.

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宁德“同心顺”2018届高三上期中联考

数学（理）参考答案

一、单项选择

一、选择题（12*5=60分）

1.已知复数满足，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

由题意得，设，由可得，，故选A．

考点：

复数的性质.

2.已知集合,则（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

考点：

集合的运算.

3.等差数列的前项和为，若公差，则当取得最大值时，的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

试题分析：

由得，，又因为，故当时，取最大值，故选D．

考点：

等差数列的性质.

4．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是

A．B．C．D．

【答案】D

5．等比数列{an}的各项均为正数，且，则（）

A．12B．10C．8D．

【答案】B

6．已知函数，则的图象大致为（）

4.【答案】A

【解析】当时，，函数在为增函数，故排除B、D；当时，

，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故排除C，故选A．

7.设D为ABC所在平面内一点，则（）

（A）（B）

（C）（D）

【答案】A

【解析】试题分析：

由题知=，故选A.

8．若，，则的大小关系（）

A．B．C.D．

【答案】B

9．《张丘建算经》上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：

现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为（　　）

A．55B．52C．39D．26

【答案】B

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，由等差数列前n项和公式求出d=，由此利用等差数列通项公式能求出a14+a15+a16+a17．

【解答】解：

设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，

则=390，

解得d=，

∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d

=4a1+58d

=4×5+58×

=52．

故选：

B．

10.已知，其中为自然对数的底数，则（）

A．B．

C．D．

【答案】D

11.平行四边形中，,点在边上，则的取值范

围是（）

A．B．C.D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

由题意得，∵，∴，∴，∴，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，

考点：

平面向量的数量积的运算.

【方法点睛】本题主要考查的是平面向量的数量积的运算，建模思想，二次函数求最值，数形结合，属于中档题，先根据向量的数量积的运算，求出，再建立坐标系，得，构造函数，利用函数的单调性求出函数的值域，问题得以解决，因此正确建立直角坐标系，将问题转化成二次函数最值问题是解题的关键.

12.已知实数满足,则的最小值为（）

A．B．C.D．

【答案】C

【解析】

考点：

1.利用导数研究曲线的切线性质；2.点到直线距离公式.

【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线的切线性质，点到直线的距离公式，推理能力与计算能力，属于难题，通过换元法可转化成函数间的问题，通过变形发现变成求的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值，因此在曲线上找到一个和平行的直线与之间的距离最小，因此将点到直线距离最小值转化成直线与直线距离最小值，因此此类题目将已知条件合理转换是解决问题的关键.

二、填空题（4*5=20分）

13．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，，则a＝________.

【答案】

14．已知向量满足，记向量的夹角为，则__________．

【答案】

15.已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意，得，当时,令解得,故在上有个零点，∴在上有个零点.当时,令得.∴实数的取值范围是.

考点：

函数零点的判定定理.

16.已知，删除数列中所有能被整除的数，剩下的数从小到大排成数列，

则_________.

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意，得，∵，，，∵,删除数列中所有能被整除的数,剩下的数从小到大排成数列，∴.

考点：

数列性质的合理运用.

【方法点睛】本题主要考查的是数列的第项的求法，属于中档题，解题时要认真审题，注意对数列性质的合理运用，对于本题而言，求出数列的前项，由不能被整除，剩下的数从小到大排成数列，则，由此可得到答案，因此对于解此类题目，熟练灵活的运用数列的性质是解决问题的关键.

三、解答题（70分）

17、（本题满分12分）

在在中，角的对边分别为，若

（1）求角；（6分）

（2）求的面积。

（6分）

18．（本小题满分12分）

已知正项数列的前项和为，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设数列的前项和，证明

18.解：

（1）由题意，，成等差数列，，

当时……………………1分

当时……………………2分

两式相减得由为正项数列，……………………4分

因此数列{an}是以为首项，以2为公比的等比数列．即……………6分

（2）证明由

（1）知……………………7分

……………………8分

则，……………………11分

即……………………12分

19．（本小题满分12分）

已知函数，其中，．若函数相邻两对称轴的距离等于．

（1）求的值；并求函数在区间的值域；

（2）在△中，、、分别是角、、的对边，若，求边、的长．

18．解：

（1）．

，∵，∴，∴．

即的值域是．

（2）∵，∴．

∵，∴，∴．

∴．∵，∴．

20.（本小题满分12分）

右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OPAB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：

m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：

m2）．

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设∠POF＝θ（rad），将S表示成θ的函数；

（ii）设MN＝x（m），将S表示成x的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

20.解：

（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．

在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，

故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．

即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．

…………4分

（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

在Rt△ONF中，NF＝＝＝．

在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，

故S＝EF×FG＝x．

即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5．…………8分

（2）方法一：

选择（i）中的函数模型：

令f（θ）＝sinθ（20cosθ