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高中数学必修二
第一章空间几何体
1.1空间几何体的结构
1、棱柱
定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：
用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
ABCDEA'B'C'D'E'
几何特征：
两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
2、棱锥
定义：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五
棱锥等
表示：
用各顶点字母，如五棱锥PA'B'C'D'E'
几何特征：
侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
3、棱台
定义：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：
用各顶点字母，如四棱台ABCD—A'B'C'D'
几何特征：
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
4、圆柱
定义：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
5、圆锥
定义：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
6、圆台
定义：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
球体
定义：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
※空间几何体的结构特征：
面（侧面、上底面、下底面）、棱、顶点、轴
1.2空间几何体的三视图和直观图
1、中心投影与平行投影
中心投影：
把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。
平行投影：
在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。
2、三视图
正视图：
从前往后
侧视图：
从左往右
俯视图：
从上往下
画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
3、直观图：
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
用斜二测画法画出长方体的步骤：
（1）画轴
（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3空间几何体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h'为斜高，l为母线）
S
ch
S圆柱侧
2
rh
S正棱锥侧面积
1ch'
S圆锥侧面积rl
直棱柱侧面积
1（c1
2
S正棱台侧面积
c2）h'
S圆台侧面积
（r
R）l
2
r2
rlRlR2
S圆柱表2
rr
l
S圆锥表
rr
l
S圆台表
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
r2h
1Sh
1
2h
V柱
Sh
V圆柱Sh
V锥
V圆锥
r
1（S'
3
1
3
V台
1（S'
S'SS）h
V圆台
S'SS）h
（r2
rRR2）h
3
3
4
3
R
3
R2
（4）球体的表面积和体积公式：
V球=3
；S球面=4
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
平面：
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在
此平面内。
公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只只有一条过改点的公共直线
线线关系：
1空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：
同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：
同一平面内，没有公共点；异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点。
公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：
设a、b、c是三条直线
a∥b=>a∥c
c∥b
强调：
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：
判断空间两条直线平行的依据线面位置关系
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
4、面面关系
平行——没有公共点；α∥β
相交——有一条公共直线。
α∩β＝b
2.2直线、平面平行的判定及其性质
1、线面平行判定
定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，符号表示：
作用：
直线与平面的判定定理
2、面面平行
定理：
一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行，
作用：
证面面平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
1、线面垂直
定理：
一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
作用：
证线面垂直
线面角：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。
※在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：
（1）斜线上一点到面的垂线；
（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
2、面面垂直
（1）定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
作用：
证面面垂直
（2）二面角：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
（3）二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
（4）直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；
反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角
（5）求二面角的方法
定义法：
在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面两个面的交线所成的角为二面角的平面角
3、垂直关系的性质定理
①线面垂直性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别
地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即ktan。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，
k不存在。
ky2y1（x1x2）
②过两点的直线的斜率公式：
x2x1
注意：
（1）当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角
为90°；
（2）k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
3.2直线的方程
①点斜式：
yy1k（xx1）直线斜率k，且过点x1,y1
注意：
当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：
ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：
④截矩式：
y
y1
x
x1
y2
y1
x2
x1（x1
x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2
x
y
1
a
b
其中直线l与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即l与x轴、y轴的截距
分别为a,b。
⑤一般式：
AxByC
0（A，B不全为0）
注意：
○1各式的适用范围
○2特殊的方程如：
平行于x轴的直线：
y
b（b为常数）；
平行于y轴的直线：
xa（a为常数）；
（5）直线系方程：
即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线A0xB0y
C00（A0,B0
是不全为0的常数）的直线
系：
A0x
B0yC0（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：
y
y0
kxx0
，直线过定点x0,y0；
（ⅱ）过两条直线l1:
A1xB1y
C1
0，l2:
A2xB2yC2
0的交点的直
线系方程为
A1xB1yC1
A2xB2yC2
0（为参数），其中直线l2
不在直线系
中。
（6）两直线平行与垂直
当l1:
yk1x
b1，l2:
yk2x
b2时，
l1//l2k1
k2,b1b2；l1l2
k1k2
1
注意：
利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
3.3直线的交点坐标与距离公式
1、两条直线的交点
l1:
A1xB1yC1
0l2:
A2xB2yC2
0相交
A1x
B1yC1
0
交点坐标即方程组
A2x
B2yC2
0
的一组解。
方程组无解
l1//l2
；
方程组有无数解
l1与l2重合
2、两点间距离公式：
设
A（x1,y1），（Bx2
y2）
是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|
（x2x1）2
（y2
y1）2
3、点到直线距离公式：
一点
Px0,y0
到直线l1:
AxBy
C0的距离
Ax0
By0C
d
B2
A2
4、两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
第四章圆与方程
4.1圆的方程
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
（2）一般方程
x
a2
y
b2
r2
，圆心a,b，半径为r；
x2
y2
Dx
Ey
F
0
D
E
当D2
E2
4F
0时，方程表示圆，此时圆心为
，半径为
2
2
r
1
D2
E2
4F
2
当D2
E2
4F
0时，表示一个点；
当D2
E2
4F
0时，方程不
表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条
件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：
如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
4.2直线、圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线l:
AxByC
0
2
2
2
，圆心Ca,b到l
，圆C:
xa
ybr
AaBbC
d
的距离为A2B2
drl与C相交
，则有drl与C相离；drl与C相切；
（2）设直线l:
AxBy
C0，圆C:
xa2
y
b2
r2
，先将方程联立消
元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为
，则有
0l与C相离
；
0l与C相切
；
0
l与C相交
2
注：
如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx0
yy0
r去解直线与圆相
切的问题，其中x0,y0
表示切点坐标，r表示半径。
（3）过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为
xx0yy0r2
②圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为
（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2
2、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆C1:
xa12yb12r2，C2:
xa22yb22R2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；
当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当R
r
dRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切
线；
r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当d
R
当d
R
r时，两圆内含；
当d0时，为同心圆。
4.3空间直角坐标系
（1）定义：
如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，
分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴
x轴.y轴.z轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1）O叫做坐标原点
2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.
3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
（2）右手表示法：
令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。
大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
（3）任意点坐标表示：
空间一点M的坐标可以用有序实数组（x,y,z）来表示，有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）
（4）空间两点距离坐标公式：
d（x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2
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