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教案2

第二章点、直线及平面的投影

目的要求：

1）建立中心投影与平行投影的明确概念

2）掌握点、线、面在第一角中各种位置的投影特性和作图方法

3）掌握直线上点的投影特性以及在平面上作点和直线的方法

4）掌握直线与直线的相对位置及其投影特性

5）了解直角定理的原理及其运用

6）掌握直线与平面、平面与平面相交的作图及可见性的判断

重点难点：

1）熟练的运用点、线、面在各种位置的投影规律进行作图

2）掌握和正确运用直线上的点和平面上的点和直线的投影规律

3）熟练求出直线与平面、平面与平面相交的交点、交线并完成及可见性的判断

授课学时：

6学时

本章主要作图练习：

1）已知点的两投影，完成其第三投影，或已知点的三坐标，完成其三面投影和轴测投影；

2）判断两点的相对位置和作重影点的投影，并判断重影点的可见性。

3）完成直线的三面投影及找出直线上点的投影。

4）判断两直线的位置关系，利用直线的相对位置关系完成直线的投影作图，并作出交叉直线的重影点的投影。

5）直角投影定理的应用，两直线是否垂直的判断。

6）完成平面的三投影并判断平面相对投影面的位置关系。

7）已知点或直线在平面上，而且已知其一个投影，完成其另外两投影及判断点或直线是否在平面上（尤其是特殊位置平面）。

8）求直线与平面、平面与平面的交点和交线并判断可见性。

授课内容：

§2-1投影法基本知识

一、投影法及其分类

1、投影法的建立

在一定投影条件下，求得空间形体在投影面上的投影的方法，称为投影法。

投影中心、投影面、投射线、投影

2、投影法的分类

中心投影法（投射线相交于一点，投影随物体与投影中心和投影面的距离变化而改变大小，故不反映空间形体表面的真实大小和形状，但富有真实感）

平行投影法（投射线相互平行，当物体平行移动时，投影的形状和大小不改变）——斜投影和正投影。

本课程研究平行投影且主要是正投影，以后“投影”指正投影。

图2-1中心投影法及平行投影法

二、正投影的基本性质

1、实形性

当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2、积聚性

当直线或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成点或直线。

3、类似性

当直线或平面图形既不平行也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图形的类似形，但直线或平面图形的投影小于实长或实形。

此外，正投影还有平行性（即空间平行线段的投影仍然平行）；定比性（即空间平行线段的长度比在投影中保持不变）；从属性（即几何元素的从属关系在投影中不会发生改变，如属于直线的点的投影必属于直线的投影，属于平面的点和线的投影必属于平面的投影）等性质。

图2-2正投影的基本性质

三、工程中常用的两种作图方法

1、多面正投影图：

采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别用正投影法获得物体的投影。

它有良好的度量性，作图简便，但直观性差。

由这些投影能确定几何形体的空间位置货物形状。

2、轴测图：

将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的具有立体感的图形。

它能反映长、宽、高的形状，但作图较繁且度量性差，作辅助图样。

§2-2三面投影体系与三视图

只根据物体的一个投影，是不能确定物体形状的。

要反映物体的完整形状，必须增加由不同投影方向得到的几个视图，互相补充，才能把物体表达清楚。

一、三投影面体系

由正立投影面V、水平投影面H和侧立投影面W三个相互垂直的投影面构成的投影面体系称为三投影面体系。

正立投影面简称为正面或V面、水平投影面简称为水平面或H面、侧立投影面简称为侧面或W面。

三投影面两两相交产生的交线OX、OY、OZ，称为投影轴，简称X轴、Y轴、Z轴。

图2-3三面投影体系

二、三视图的形成

将物体放在三投影面体系中，用正投影法，分别向三个投影面投影可得到物体的三视图。

国标规定的视图名称是：

主视图——由前向后投影，在正面上所得的视图；

俯视图——由上向下投影，在水平面上所得的视图；

左视图——由左向右投影，在侧面上所得的视图。

三、三视图的投影规律

1、三视图的位置关系

三视图的位置关系为：

主视图在上，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。

按照这种位置配置视图时，国家标准规定一律不加任何标注。

2、投影对应关系及其投影规律

每个视图只能反映物体长、宽、高中的两个方向的大小：

主视图反映物体的长（x）和高（z）；

俯视图反映物体的长（x）和宽（y）；

左视图反映物体的宽（y）和高（z）。

从物体的投影和投影面的展开过程中，还可看到：

主、左视图反映了物体上、下方向的同样高度（等高）；物体上各个面和各条线在主、左视图上的投影，应在高度方向上分别平齐。

简称“高平齐”；

主、俯视图反映了物体左、右方向的同样长度（等长）；物体上各个面和各条线在主、俯视图上的投影，应在长度方向分别对正。

简称“长对正”；

俯、左视图反映了物体前、后方向的同样宽度（等宽）；物体上各个面和各条线在俯、左视图上的投影，应在宽度方向上相等。

简称“宽相等”。

上述三条投影规律，尤其是最后一条，必须在初步理解的基础上，经过画图和看图的反复实践，逐步达到熟练和融会贯通的程度。

3、物体的方位关系

主视图反映了物体上下、左右的方位关系；

俯视图反映了物体左右、前后的方位关系；

左视图反映了物体上下、前后的方位关系。

初学者应特别注意对照直观图和平面图，熟悉展开和还原过程，以便在平面图上准确判断物体不同的方位关系，尤其是前后方位。

图2-4三视图的形成及其投影规律

§2-3点的投影

一、点的三面投影及投影规律

点的投影仍为一点，且空间点在一个投影面上有惟一的投影。

但已知点的一个投影，

不能惟一确定点的空间位置。

将点A放在三投影面体系中分别向三个投影面V面、H面、W面作正投影，得到点A的水平投影a、正面投影a′、侧面投影a″。

（关于空间点及其投影的标记规定为：

空间点用大写字母A、B、C…表示，水平投影相应用a、b、c…表示，正面投影相应用a′、

b′、c′…表示，侧面投影相应用a″、b″、c″…表示。

）

图2-5点的投影及其投影规律

将投影面体系展开，去掉投影面的边框，保留投影轴，便得到点A的三面投影图。

由图2-5可以得出点在三投影面体系的投影规律是：

（1）点A的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX；（长对正）

（2）点A的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ；（高平齐）

（3）点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的W面投影到OZ轴的距离，即aax=a″az（宽相等），可以用圆弧或45°线来反映该关系。

二、点的三面投影与其直角坐标的关系

水平投影由X与Y坐标确定；正面投影由X与Z坐标确定；侧面投影由Y与Z坐标确定。

点的任何两个投影可反映点的三个坐标，即确定该点的空间位置。

空间点在三面投影体系中有唯一确定的一组投影。

三、点的轴测投影

点的轴测投影图即根据点的投影图绘制的直观图。

可以把投影面当作坐标面，把投影轴当作坐标轴，这时O点即为坐标原点。

规定X轴从O点向左为正，Y轴从O点向前为正，Z轴从O点向上为正。

X（Y，Z）坐标用A点到W（V，H）面的距离表示。

四、两点的相对位置

在投影图上判断空间两个点的相对位置，就是分析两点之间上下、左右和前后的关系。

由正面投影或侧面投影判断上下关系（Z坐标差）；

由正面投影或水平投影判断左右关系（X坐标差）；

由水平投影或侧面投影判断前后关系（Y坐标差）。

图2-6两点的相对位置

五、重影点及其投影的可见性

当空间两点位于某一投影面的同上条投射线（即其有两对坐标值分别相等），则此两点在该投影面上的投影重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。

为区分重影点的可见性，规定观察方向与投影面的投射方向一致，即对V面由前向后，对H面由上向下，对W面由左向右。

因此，距观察者近之点的投影为可见，反之为不可见。

当空间两点有两对坐标值分别相等时，则该两点必有重合投影，其可见性由重影点的一对不等的坐标值来确定，坐标值大者为可见，小者为不可见。

图2-7重影点

§2-4直线的投影

一、直线的投影图

作直线投影图，只需作出直线上任意两点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影即可。

三面投影面体系中，空间形体距投影面的远近不影响投影的形状大小，所以不画投影图。

空间直线在某一投影面上的投影长度，与直线对该投影面的倾角大小有关。

二、各种位置直线的投影特性

按照直线对三投影面的相对位置，可以将直线分为三种：

一般位置直线——与三投影面都倾斜的直线；

投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另两投影面的直线；

投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另两投影面的直线。

投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。

1、一般位置直线

一般位置直线的投影特性如下（图2-15）：

（1）三面投影都倾斜于投影轴；

（2）投影长度均比实长短，且不能反映与投影面倾角的真实大小。

2、投影面平行线

投影面平行线又可分为三种：

（1）平行于V面的直线称为正平线；

（2）平行于H面的直线称为水平线；

（3）平行于W面的直线称为侧平线。

投影特性：

在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，不反映实长；在它所平行的投影面上的投影反映实长，其与投影轴的夹角，分别反映该直线对另两投影面的真实倾角。

3、投影面垂直线

投影面垂直线同样可以分为三种：

（1）垂直于正面的直线称为正垂线；

（2）垂直于水平面的直线称为铅垂线；

（3）垂直于侧面的直线称为侧垂线。

投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，反映实长。

三、直线上的点

点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线的两线段长度之比等于其投影长度之比；反之亦然。

四、两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。

1）两直线平行：

其同面投影必平行，且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。

注意：

当直线为某投影面平行线时，应检查在该投影面上的投影是否平行。

2）两直线相交：

其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律。

3）两直线交叉：

异面两直线。

注意：

当交叉直线的投影的交点为重影点时，应判别其可见性。

图2-7直线位置关系的判断

举例：

见图2-7，判断所示两直线位置关系，可以有三种方法：

1）定比性；2）补投影；3）将AD与BC相连，判断其是否相交，进而判断AB与CD是否平行。

五、直角的投影

直角投影定理

空间垂直的两直线（相交或交叉），若其中的一直线平行于某投影面时，则二直线在该投影面上的投影仍为直角。

反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。

图2-8直角投影定理

应用直角投影定理可以解决空间成直角的情况在投影图上的作图，例如求距离、直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形、菱形等的投影作图问题。

图2-9就是一个求距离的例子。

图2-9求两交叉直线间的距离

§2-5平面的投影

一、平面的表示法

由几何学可知，平面可由下列几何元素确定：

不在同一条直线上的三点；一直线及直线外一点；两相交直线；两平行直线；任意的平面图形。

二、各种位置平面的投影特性

平面对投影面的位置有三种：

一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面；

投影面垂直面——垂直于一个投影面，与另外两个投影面倾斜的平面；

投影面平行面——平行于一个投影面，垂直于另两个投影面的平面。

1、一般位置平面

倾斜于V、H、W面，是一般位置平面。

一般位置的平面的投影特性：

它的三个投影仍是平面图形，而且面积缩小，平面与三个投影面的倾角也不能在投影上反映出来。

图2-10一般位置平面的投影

2、投影面垂直面

投影面垂直面可分为三种：

（1）垂直于V面的平面称为正垂面；

（2）垂直于H面的平面称为铅垂面；

（3）垂直于W面的平面称为侧垂面。

投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，此投影与相应投影轴的夹角分别反映该平面与另两个投影面的倾角；该平面在另两个投影面上的投影均为类似性。

判定：

若平面的三个投影中有一个投影是斜直线，则它一定是该投影面的垂直面。

3、投影面平行面

投影面平行面又可分为三种：

（1）平行于V面的平面称为正平面；

（2）平行于H面的平面称为水平面；

（3）平行于W面的平面称为侧平面。

投影特性：

在所平行的投影面上的投影反映实形，其它两个投影都积聚成直线且平行于相应的投影轴。

判定：

若平面的三个投影中有一个投影积聚成直线，并与该投影面的投影轴平行或垂直，则它一定是某个投影面的平行面。

小结：

平面垂直于投影面时，它的投影积聚成一条直线——积聚性。

平面平行于投影面时，它的投影反映实形——实形性（真实性）

平面倾斜于投影面时，它的投影为类似图形——类似性

平面图形的三个投影中，至少有一个投影是封闭线框。

反之，投影图上的一个封闭线框一般表示空间的一个面的投影。

三、平面内的点和直线

1）平面内的直线

直线在平面内的几何条件：

若一直线通过平面上的两点或通过平面内的一点，并且平行于平面上的另一直线，则此直线必在该平面内。

2）平面内的点

点在平面内的几何条件；若点位于平面内任一直线上，则此点在该平面内。

即平面内取点，必先在平面内作辅助线，然后在该直线上取点。

图2-11平面上的点和直线

四、直线与平面、平面与平面平行

直线与平面平行的几何条件是：

直线平行于平面内的任一直线。

平面与平面平行的几何条件是：

一平面内的两相交直线平行于另一平面内的两相交直线。

图2-12直线与平面平面与平面平行

五、直线与平面、平面与平面相交

直线与平面、平面与平面的相对位置，凡不符合平行几何条件的，则必然相交。

在此只讨论平面处于与投影面垂直的特殊位置，即平面的投影具有积聚性的情况。

1、直线与平面相交

直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点，当需判断直线投影的可见性时，交点又是直线各投影可见与不可见的分界点。

图2-13一般位置直线与特殊位置平面相交

（2）平面与平面相交

两平面相交的交线是两平面的共有线，当需要判断平面投影的可见性时，交线又是平面

图2-14投影面垂直面与一般位置平面相交

各投影可见与不可见的分界线。

两平面的交线是直线，只要求出两个共有点，交线就可以确定了。

可以利用求投影面垂直面与一般位置直线的交点的方法来求交线。

图2-15两铅垂面相交

当两铅垂面相交时，交线MN是铅垂线。

两铅垂面的H面积聚投影的交点就是交线MN的水平投影。

由此可求出交线MN的正面投影，并由水平投影直接判断出可见性。

六、直线与平面、平面与平面垂直

1、直线与平面垂直

由几何学可知：

一直线若垂直于一平面上任意两相交直线，则直线垂直于该平面，且直线垂直于该平面上的所有直线。

在此只讨论平面是投影面垂直面的特殊情况。

当直线垂直于投影面垂直面时，该直线必平行于平面所垂直的投影面。

图中直线AB垂直于铅垂面CDEF，AB必定是水平线，且ab⊥cdef。

同理，与正垂面垂直的直线是正平线，它们的正面投影相互垂直；与侧垂面垂直的直线是侧平线，而且它们的侧面投影互相垂直。

图2-16直线与铅垂面垂直

2、平面与平面垂直

两平面相互垂直的几何条件是：

若一直线垂直于平面，则包含这条直线所作的任何平面均与已知平面垂直。

直线AB⊥P，则包含AB所作的平面Q、R均与P面垂直。

反之，若两平面垂直，则由一个平面内任一点作另一平面的垂线，该垂线必然属于前一平面。

特殊情况，当两个互相垂直的平面垂直于同一投影面时，两平面有积聚性的同面投影必定垂直，交线是该投影面的垂直线。

如图2-17所示，两铅垂面ABCD、CDEF互相垂直，它们的H面具有积聚性的投影互相垂直相交，交点是两平面的交线——铅垂线的积聚投影。

图2-17两铅垂面相互垂直