版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程教学案理北师大版.docx

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版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程教学案理北师大版

第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

一、知识梳理

1．直线的倾斜角

（1）定义：

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．

（2）倾斜角的范围为[0，π）．

2．直线的斜率

（1）定义：

一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线没有斜率．

（2）过两点的直线的斜率公式

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝＝.

3．直线方程的五种形式

名称

已知条件

方程

适用范围

点斜式

斜率k与点（x1，y1）

y－y1＝k（x－x1）

不含直线x＝x1

斜截式

斜率k与直线在y轴上的截距b

y＝kx＋b

不含垂直于x轴的直线

两点式

两点（x1，y1），（x2，y2）

＝

（x1≠x2，y1≠y2）

不含直线x＝x1（x1＝x2）和直线y＝y1（y1＝y2）

截距式

直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b

＋＝1

（a≠0，b≠0）

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

（A2＋B2≠0）

平面直角坐标系内的直线都适用

常用结论

1．直线倾斜角和斜率的关系

不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tanα，当α∈时，α越大，斜率k就越大，同样α∈时也是如此，但当α∈[0，π）且α≠时就不是了．

2．五种特殊位置的直线方程

（1）x轴：

y＝0.

（2）y轴：

x＝0.

（3）平行于x轴的直线：

y＝b（b≠0）．

（4）平行于y轴的直线：

x＝a（a≠0）．

（5）过原点且斜率存在的直线：

y＝kx.

二、教材衍化

1．若过点M（－2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为________．

解析：

由题意得＝1，解得m＝1.

答案：

1

2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．

解析：

令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.

答案：

－24

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大．（　　）

（2）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.（　　）

（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．（　　）

（4）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示．（　　）

（5）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）√

二、易错纠偏

（1）由直线方程求斜率的思路不清；

（2）忽视斜率和截距对直线位置的影响；

（3）忽视直线斜率不存在的情况；

（4）忽视截距为0的情况．

1．直线l：

xsin30°＋ycos150°＋a＝0的斜率为________．

解析：

设直线l的斜率为k，则k＝－＝.

答案：

2．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．

解析：

由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

答案：

三

3．过直线l：

y＝x上的点P（2，2）作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．

解析：

①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k（x－2），令y＝0，得x＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝（x－2），即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.

答案：

x－2y＋2＝0或x＝2

4．过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．

解析：

当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，

则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.

答案：

3x－2y＝0或x＋y－5＝0

[学生用书P150]

　　　　　　直线的倾斜角与斜率（典例迁移）

（1）直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A.　　　　　　　B．∪

C.D．∪

（2）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

【解析】　

（1）设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤或≤θ＜π，故选B.

（2）如图，因为kAP＝＝1，

kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈∪.

【答案】　

（1）B　

（2）∪

【迁移探究1】　（变条件）若将本例

（2）中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

解：

因为P（－1，0），A（2，1），B（0，），所以kAP＝＝，kBP＝＝.

如图可知，直线l斜率的取值范围为.

【迁移探究2】　（变条件）若将本例

（2）中的B点坐标改为（2，－1），其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．

解：

如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°）．

（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤

①求出斜率k＝tanα的取值范围；

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．

（2）斜率的求法

①定义法：

若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；

②公式法：

若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝（x1≠x2）求斜率．

[提醒]　直线倾斜角的范围是，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分，与三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈时，斜率k∈；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈.

1．若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a的值为________．

解析：

因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.

答案：

4

2．已知点（－1，2）和在直线l：

ax－y＋1＝0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．

解析：

点（－1，2）和在直线l：

ax－y＋1＝0同侧的充要条件是（－a－2＋1）>0，解得－

答案：

　　　　　　求直线的方程（师生共研）

根据所给条件求直线的方程：

（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；

（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；

（3）直线过点（5，10），且与原点的距离为5.

【解】　

（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sinα＝（0≤α＜π），

从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.

故所求直线方程为y＝±（x＋4），

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

（2）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，

又直线过点（－3，4），

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；

当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k（x－5），即kx－y＋10－5k＝0.

由点线距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

求直线方程的注意事项

（1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．

（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零）．

（3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．　

　求满足下列条件的直线方程：

（1）经过点A（－5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；

（2）经过点B（3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

解：

（1）当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将（－5，2）代入所设方程，解得a＝－，

所以直线方程为x＋2y＋1＝0；

当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，

则－5k＝2，解得k＝－，

所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

（2）由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点（3，4），由点斜式得y－4＝±（x－3）．

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

　　　　　　直线方程的综合问题（典例迁移）

（一题多解）已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

【解】　法一：

设直线l的方程为＋＝1（a>0，b>0），将点P（3，2）代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

法二：

依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，

可设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k<0），

则A，B（0，2－3k），

S△ABO＝（2－3k）

＝

≥

＝×（12＋12）＝12，

当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.

【迁移探究1】　（变问法）若本例条件不变，求|OA|＋|OB|的最小值及此时l的方程．

解：

法一：

由原例题法一知＋＝1.

因为|OA|＋|OB|＝a＋b，

所以（a＋b）＝5＋＋≥5＋2.

当且仅当a＝b，且＋＝1，

即a＝3＋，b＝2＋时，

|OA|＋|OB|的最小值为5＋2.

此时，直线l的方程为＋＝1，

即x＋3y－6－3＝0.

法二：

由原例题解法二知

|OA|＋|OB|＝3－＋2－3k（k<0）

＝5＋＋（－3k）

≥5＋2＝5＋2.

当且仅当－＝－3k，即k＝－时，

|OA|＋|OB|取最小值5＋2.

此时直线l的方程为y－2＝－（x－3），

即x＋3y－6－3＝0.

【迁移探究2】　（变问法）若本例条件不变．求·的最大值及此时直线l的方程．

解：

由原例题法二知A（3－，0），B（0，2－3k），·＝（－，－2）·（－3，－3k）＝＋6k＝－[（－）＋（－6k）]≤－2＝－12，

当且仅当－＝－6k时，即k＝－1时等号成立，此时直线l的方程为x＋y－5＝0.所以·的最大值为－12，所求直线l的方程为x＋y－5＝0.

（1）给定条件求直线方程的思路

①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况；

②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程；

③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的