第十六课时至第二十课时 一元二次方程根与系数的关系及运用.docx

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第十六课时至第二十课时一元二次方程根与系数的关系及运用

第十六课时一元二次方程的根与系数的关系

第一课时一元二次方程根与系数的关系

一、学习目标：

1、知识与技能：

引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用。

2、过程与方法：

通过观察、实践、讨论等活动，让学生经历发现问题，发现关系的过程。

3、情感态度价值观：

在探索过程中培养学生自主探索能力及合作交流能力。

二、学习重难点：

学习重点：

指导学生自主探索一元二次方程的两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。

学习难点：

对根与系数的关系这一性质的应用。

三、学习流程：

（一）问题指向、预习先行：

1、写出一元二次方程的一般式和求根公式

2、解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

⑴　x2+２x=0　　⑵　x2+３x－４=0⑶　x2－５x+６=0

方程

x1

x2

x1+x2

x1x2

⑴　x2+２x=0　　

⑵　x2+３x－４=0

⑶　x2－５x+６=0

3、尝试探索，发现规律：

完成上表猜想一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

请与小组中的同学交流你的看法，并总结你们的观点。

（二）呈现目标、任务导学：

推导验证：

设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．

x1+x2=x1.x2=

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）

如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么

x1+x2=_____________（）

x1.x2=_______（）

（三）互动探究、合作求解：

1、不解方程，求出方程两根的和与两根的积

①　x2+３x－１=0　　②　x2+６x+２=0③　３x2－４x+１=0

2、已知方程x2-4x+C=0的一个根为

，求另一根及c的值.

（四）交流展示、适度拓展：

设方程x2+3x+1=0的两根为x1,x2,求下列各式的值：

（1）x12+x22

（2）

+

（3）（x1-3）（x2-3）

（4）（x1-x2）2（5）｜x1-x2｜

（五）强化训练、当堂达标：

1、如果方程

的两个实根互为相反数，那么

的值为_______

2、设

、

是方程

的两根，则①

＝；②

＝；③

＝。

3、已知方程

的两实根差的平方为144，则

＝。

4、已知方程

的一个根是1，则它的另一个根是，

的值是。

5、反比例函数

的图象经过点P（

、

），其中

、

是一元二次方程

的两根，那么点P的坐标是。

6、已知

、

是方程

的两根，则

的值为。

7、已知

≠0，方程

的系数满足

，则方程的两根之比为（）

A、0∶1B、1∶1C、1∶2D、2∶3

8、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于

的方程：

的根，则

的值为（）

A、－3B、5C、5或－3D、－5或3

9、已知关于

的方程

的两个实数根的倒数和等于3，关于

的方程

有实根，且

为正整数，求代数式

的值。

四、课堂小结：

1.根与系数的关系：

如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=

x1.x2=

2.根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程；

（2）判别式大于等于零.

5、作业布置：

1、求下列方程两根的和与积：

（1）x2-3x+2=10

（2）5x2+x-5=0（3）x2+x=5x+6

2、已知关于

的方程

（1）当

取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设

、

是方程的两根，且

，求

的值

六、板书设计：

一元二次方程根与系数的关系

1.根与系数的关系：

如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=

x1.x2=

2.根与系数关系使用的前提是：

（1）是一元二次方程；

（2）判别式大于等于零.

七、课后反思：

第十七课时实际问题与一元二次方程

第1课时一元二次方程的实际应用

（一）

一、学习目标：

1、知识与技能：

根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解；能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。

2、过程与方法：

进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。

3、情感态度价值观：

培养学生理论联系实际的能力。

二、学习重难点：

学习重点：

会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解；.

学习难点：

如何分析具体问题中的数量关系并列一元二次方程求解.

三、学习流程：

（一）问题指向、预习先行：

问：

1、解一元二次方程的方法有哪几种？

2、列一元一次方程解应用题有哪些步骤？

（二）呈现目标、任务导学：

例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

；

思考并回答：

（1）设每轮传染中一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了人？

；第一轮传染后，共有人患了流感。

（2）在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每个人有传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感。

（3）根据等量关系列方程并求解。

为什么要舍去“一”解？

（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？

（5）完成材料思考：

如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？

（三）互动探究、合作求解：

1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

2、某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，求每轮繁殖中平均每个细菌繁殖多少个细菌？

（四）强化训练、当堂达标：

1、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

3、一容器装满20L纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？

四、课堂小结：

列一元二次方程的步骤，即审、设、找、列、解、答。

这里要特别注意的是在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。

类似这种传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式：

若传播速度为x，传播前基数是1，传播两次后是b，则（1+x）²=b，x取正。

五、作业布置：

1、2006年中国内地部分养鸡场突出禽流感疫情，某养鸡场一只带病毒的小鸡，经过两天的传染后使鸡场共有169只小鸡遭感染患病（假设无死鸡），问在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只鸡？

六、板书设计：

一元二次方程的应用---传播问题

列一元二次方程的步骤，即审、设、找、列、解、答。

这里要特别注意的是在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。

类似这种传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式：

若传播速度为x，传播前基数是1，传播两次后是b，则（1+x）²=b，x取正。

七、课后反思：

第十八课时实际问题与一元二次方程

第2课时一元二次方程的实际应用

（二）

一、学习目标：

1、知识与技能：

（1）进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法

（2）进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力。

2、过程与方法：

通过实际问题体会增长率的解决办法。

3、情感态度价值观：

进一会培养学生理论联系实际的能力。

二、学习重难点：

学习重点：

学会用列方程的方法解决有关形积问题．

学习难点：

了解增长率与减少率相关应用题的求解。

三、学习流程：

（一）问题指向、预习先行：

1、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？

2、某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?

（二）呈现目标、任务导学：

1、原始量a、现在量b、增长率为x、增长次数为n则增长率公式为________

2、原始量a、现在量b、下降率为x、减少次数为n则减少率公式为________

（三）互动探究、合作求解：

两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元，生产一吨乙种药品的成本是6000元。

随着生产技术的进步，现在生产一吨甲种药品的成本是3000元，生产一吨乙种药品的成本是3600元。

哪种药品生产的年平均下降率较大？

分析:

甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000（元）

乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600）÷2=1200（元）

乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）

解:

设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元,两年后甲种药品成本为5000（1-x）2元,依题意得：

5000（1-x）2=3000，

解方程,得

答:

甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.

算一算:

乙种药品成本的年平均下降率是多少?

比较:

两种药品成本的年平均下降率22.5%（相同）经过计算,你能得出什么结论?

成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗?

应怎样全面地比较对象的变化状况?

经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.

（四）交流展示、适度拓展：

请同学们认真阅读下面的题目，说出这道题与前面所做例题的区别与联系，然后根据相等关系列出方程。

市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.

（五）强化训练、当堂达标：

1、某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田,2009年粮食产量上升到60.5吨.求平均每年增长的百分率.

2、某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为（）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为（）。

3、某林场现有的木材蓄积量为

立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为

那么两年后该临场木材蓄积量为（）立方米。

4、某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为700吨，平均每月增长率为x,列方程，得（）.

A.500（1+2x）=720B.500（1+x）

=720C.500（1+x

）=720D.720（1+x）

=500

5、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

6、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。

已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。

7、哈尔滨市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44

，这两年平均每年面积的增长率是（）。

8、江阴市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,计划到2010年共捐款4.75万元,问该厂捐款的平均增长率是多少?

四、课堂小结：

1、原始量a、现在量b、增长率为x、增长次数为n则增长率公式为________

2、原始量a、现在量b、下降率为x、减少次数为n则减少率公式为________

五、作业布置：

1、某工厂一月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？

2、某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月平均增长的百分率.

3、为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）

6、板书设计：

一元二次方程的应用----增长率（或下降率）

1、原始量a、现在量b、增长率为x、增长次数为n则增长率公式为：

a（1+x）n=b

2、原始量a、现在量b、下降率为x、减少次数为n则减少率公式为：

a（1-x）n=b

七、课后反思：

第十九课时实际问题与一元二次方程

第3课时一元二次方程的实际应用（三）

一、学习目标：

1、知识与技能：

（１）掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

（２）理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。

2、过程与方法：

通过实际问题探讨如何用一元二次方程来解决实际问题，并体会其实用性。

3、情感态度价值观：

培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、学习重难点：

学习重点：

掌握列出一元二次方程解应用题；

学习难点：

能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性

三、学习流程：

（一）问题指向、预习先行：

1、说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式。

2：

一根长22cm的铁丝：

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32cm2的矩形？

并说明理由。

（二）呈现目标、任务导学：

设计一本书的封面,封面长27cn,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形,如果要使四周的彩色边衬占面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？

思考：

（1）本体中有哪些数量关系？

（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

（4）你有几种解法？

解法一：

设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：

解法二:

设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。

（三）互动探究、合作求解：

1、、如图所示

（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m。

若墙的长度为18m，鸡场的长、分别是多少？

（2）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？

（3）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？

通过计算说明理由。

（4）如果墙的长为15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？

通过计算并画草图说明。

2、如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：

3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

（四）交流展示、适度拓展：

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。

点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。

如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。

那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?

（五）强化训练、当堂达标：

1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．

A．

B．5C．

D．7

2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．

A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;

B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;

C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;

D．以上都不对

3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．

A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm2

图22-10

4、用长为100cm的金属丝制作一个矩形框子。

框子各边多长时，框子的面积是600cm2？

能制成面积是800cm2的矩形框子吗？

5、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

四、课堂小结：

1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？

2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？

五、作业布置：

1、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？

如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

2、把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于200cm2,该怎么剪？

（2）这两个正方形面积之和可能等于488cm2吗？

6、板书设计：

一元二次方程的应用----方案设计

方案设计思路与数学模型；

例题

七、课后反思：

第二十课时实际问题与一元二次方程

第4课时一元二次方程的实际应用（四）

一、学习目标：

1、知识与技能：

（1）使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．

2、过程与方法：

以简单的商品交易问题引入如何用一元二次方程来解决商品的销售问题。

3、情感态度价值观：

进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。

二、学习重难点：

学习重点：

学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题．

学习难点：

如何找出商品的销售问题中的等量关系。

三、学习流程：

（一）问题指向、预习先行：

1、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？

2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。

如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

（二）呈现目标、任务导学：

1、月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本

2、商品总利润=单件产品的利润×销售总量=（单件产品的销售价-单件产品的进价）×销售总量

（3）互动探究、合作求解：

1、利用

（二）中的公式，合作求解

（一）中的题目。

2、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

（四）交流展示、适度拓展：

某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。

为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。

调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。

商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？

（五）强化训练、当堂达标：

1、某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件。

如果商店销售这批服装要获利润12000元，那么这种服装售价应定为多少元？

该商店应进这种服装多少件？

2、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：

这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。

为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？

这时应进台灯多少个？

3、某水果批发市场经销一种高档水果。

如果每千克盈利10元，每天可出售500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量奖减少20千克，现该市场保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

四、课堂小结：

1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．

2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．

五、作业布置：

1、西瓜经营户以2元/kg的价格购进一批小型西瓜，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0、1元/kg，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，该经营户要想每天盈利润200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

2、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。

如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

6、板书设计：

一元二次方程的应用--商品销售

1、月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本

2、商品总利润=单件产品的利润×销售总量=（单件产品的销售价-单件产品的进价）×销售总量

七、课后反思：