九连环中的数学.docx
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九连环中的数学
九连环中的数学
石嘴山市第三中学
高二年级七班
郭婉婷
●课题：
探索九连环中的数学规律
●研究人：
郭婉婷
●研究方法：
通过网络和书籍查找相关资料，收集，整理，得出结论
●研究时间：
2011年9月1日
●研究过程：
1.提出问题
2.做出假设
3.查找资料
4.验证假设
5.概括整理
6.得出结论
●研究成果：
九连环中蕴含着深刻的数学思想，与数学中的二进制，N次方，数列等知识具有紧密联系。
●总结体会：
研究性学习让我明白了探讨问题的基本方法，即提出问题、做出假设、解决问题、得出结论。
从研究学习的过程中既能够锻炼能力，增长知识，最重要的是获得探索的乐趣，使我明白了重点不在于结果而在于过程。
九连环中的数学
——探索九连环中的数学规律
石嘴山市第三中学高二年级七班郭婉婷
【摘要】九连环是我国的一种传统智力玩具，历史悠久，流传广泛，征服了古今中外无数爱好者，是中国传统文化中的一颗璀璨明珠。
而本文主要探索九连环中的数学规律。
【关键词】九连环；数学；规律；
九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性。
九连环能既练脑又练手，对于开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处。
同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜。
●九连环的发展历史
九连环历史非常悠久，据说发明于战国时代。
它是人类所发明的最奥妙的玩具之一。
宋朝以后，九连环开始广为流传。
在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。
很多著名文学作品都提到过九连环，《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的记载。
在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。
后来，数学家华利斯对九连环做了精辟的分析。
格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。
九连环主要由九个圆环及框架组成。
每一个圆环上都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用板或圆环相对固定住。
圆环在框架上可以解下或套上。
玩九连环就是要把这九个圆环全部从框架解下或套上。
九连环的玩法比较复杂，无论解下还是套上，都要遵循一定的规则。
19世纪的格罗斯经过运算，证明共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。
1975年国外出了一本关于离散数学的书，其中收录了这样一个数列：
1,2,5,10,21,42,85,170,341……这就是"九连环"的数列。
实际上，解下或套上n连环所需步数可用CM公式算出：
f（n）=[2^（n1）-0.5*（-1）^n-1.5]/3。
九连环的确环环相扣，趣味无穷。
在第一次玩时，需要分析与综合相结合，不断进行思考和推理。
复杂的玩法需要耐心和在困难面前不急躁的作风，切不可心浮气躁，使用暴力。
玩九连环的次数多了，就会越来越熟练，也会对玩法有更加深刻的理解，能更好地体会其中的内在思想。
●九连环的特点
九连环是我国的一种传统智力玩具，历史悠久，流传广泛，征服了古今中外无数爱好者，是中国传统文化中的一颗璀璨明珠，与七巧板、华容道并称为我国古代三大智力玩具。
九连环在其上千年的发展中，产生了许许多多的变种，形成了一大类——连环类玩具。
我国研究和收藏连环类玩具的专家周伟中先生指出，连环类玩具的种类至少在1000种以上，他本人收藏的就达600余种。
连环类玩具有三大特点：
一是挑战性。
任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。
因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。
二是规律性。
智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。
三是趣味性。
伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。
苏霍姆林斯基说：
“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。
”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。
挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。
由于这三大特点，连环类玩具具有良好的教育功能，首先是开发智力，这一点很明显，无庸赘述。
其次，也许更重要的是非智力因素的培养。
解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，也需6分钟一8分钟（目前世界记录是1分54秒）。
一般人就可能需要加倍的时间了。
这对于培养信心、耐心、细心、恒心都是很有功效的，对于儿童来说尤其重要。
本文综合已经得到的研究成果，看看九连环中的数学问题，希望能够提高各位玩家的兴趣。
●九连环的解法
顾名思义，九连环有9个环，环环相连。
这九个环套在一个剑形的环柄上，从最左边起，依次叫1号环、2号环、…、9号环。
环柄的把叫柄把，形似剑叶的部分叫柄钗。
环可以从柄钗这一端套上或取下，但不能从柄把这一端套上或取下。
每一个环都连有一根环杆，1号环的环杆穿过2号环，2号环的环杆穿过3号环，…，8号环的环杆穿过9号环。
环杆的另一端都穿过一块底板。
这样环通过杆连在一起，杆又通过底板连在一起，形成一个叠错扣连的封闭体系。
九连环的奥妙就来自它的这种结构。
解九连环首先要掌握以下两种基本操作。
1.单环和双环上、下法
单环上、下法就是把1号环装上或取下的方法。
上环时首先将环转90°，自下而上从环柄的两根杆中穿过；然后将环再转90°，向左移过环柄的左端，套到环柄上。
下环的过程是上环的逆过程。
双环的上、下法与单环相同，只是需同时拿住两个环操作（只适用于1、2号两个环）。
2.3号环的上、下法
大于2号的环，其上、下法都相同，这里我们以3号环作代表来说明。
上环时，2号环必须在柄上。
1号环必须在柄下。
操作方法是，先将在柄上的2号环左移，退出环柄，推到柄钗的上方；再按照单环的上法将3号环套人柄钗；最后将2号环下降，套入柄钗复位。
下环时，首先也用同样的操作将2号环“浮”到柄钗的上方；然后下3号环，其路线与上的路线恰好相反；最后要用同样的操作将2号环复位。
根据九连环的结构，我们来分析一下每一环套上柄钗和从柄钗上取下的情况。
对于1号环，由于没有别的环的环杆约束它，所以它可以自由上、下。
对于2号环，由于1号环的环杆从其中穿过，把它与l号环连起来，所以它可以随1号环一起上下；如果要单独下，那么l号环必须在柄上，否则的话，由于1号环在柄下，它的环杆已在柄外，而这根环杆是穿过2号环的，它就会阻止2号环在左移过柄钗后返回，重新从两根横杆中间落下，这样2号环就无法下环。
2号环的上环与下环却有所不同，这时1号环在柄上、柄下均可。
在柄上时，上法相同；在柄下时，由于其环杆穿过2号环，在2号环上时，会连带着把l号环也带到柄钗上方“浮”着，解决的方法是只要把它向左推过柄钗的左端即可。
对于3号环的下，可以发现，若1、2号环都在柄上，则1号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗；若l、2号环都在柄下，则2号环的环杆将阻止3号环在左移过柄钗后从两根横杆之间落下，所以都无法实现下环。
当且仅当1号环在柄下、2号环在柄上时，3号环才能取下。
3.其他各环的情况
以下依此类推，4号环、5号环、……的上下，都与3号环类似，当且仅当它前面相邻的环在柄上，再前面的所有环都在柄下时，这个环才能上下。
因此，要取下9号环，8号环必须在柄上，1—7号环必须在柄下；要取下8号环，7号环必须在柄上，1—6号环必须在柄下；……由此可知，解九连环时，第一步应取下1号环，而不可将1、2号环同时取下，否则就无法取下3号环，而在不影响3号环上下的情况下，1、2号环可同时上下，以便加快速度。
从上面的分析可知，九连环的9个环中，1号环可自由上、下，1、2号环可以同时自由上、下；2号环可以自由上，但只有1号环在柄上时才能下；其他的环都只能在严格的条件限制下单独上、下。
这就是解九连环的规则，按照这一规则就可顺利地解九连环。
●九连环与二进制
二进制数是九连环中蕴藏的最惊人的数学理念。
1号环可以随意穿进穿出，这就相当于二进制中的0和1。
事实上，9个环中，只有1号环能够随意进出，其他的环都必须在满足一定条件的情况下，才能被取下和套上。
如果要取下3号环，则1、2号环必须安装上；如果要取下4号环，则1-3号环必须安装好。
同理，如果要取下N号环，则1-（N-1）号环必须安装好才可以实现。
同样的，如果想取下第N个环，必须保留N-1环的情况下，将其余的1-（N-2）号环清零，这种思路，就是二进制的思路。
前面所有位数全满的情况下，才能向最高位进位。
现在，我们分析一下解九连环的完全解法。
由于每次只动一个环，故两步只有一个数字不同。
为简单起见，我们先以五个环为例分析。
左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环，如11000就表示第一环第二环在上面。
第二列是把这个表示次序反转后得到的五位数，可以看成二进制数。
第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。
最右边一列才是步数的二进制表示。
环的状态顺序
序数反转
步数十进制
步数二进制
00000
00000
0
00000
10000
00001
1
00001
11000
00011
2
00010
01000
00010
3
00011
01100
00110
4
00100
11100
00111
5
00101
10100
00101
6
00110
00100
00100
7
00111
00110
01100
8
01000
10110
01101
9
01001
11110
01111
10
01010
01110
01110
11
01011
01010
01010
12
01100
11010
01011
13
01101
10010
01001
14
01110
00010
01000
15
01111
00011
11000
16
10000
10011
11001
17
10001
11011
11011
18
10010
01011
11010
19
10011
01111
11110
20
10100
11111
11111
21
10101
由上表可以看出，二进制数从00000到11111相当于十进制的32，而九连环的变化只有21步！
并非严格按照二进制来的，更无法将环的状态序数码和步数挂钩。
我们发现，右边一列数恰好是0到21的二进制数的Grey码！
格雷码（英文：
GrayCode,GreyCode，又称作葛莱码，二进制循环码）是1880年由法国工程师Jean-Maurice-EmlleBaudot发明的一种编码，因FrankGray于1953年申请专利“PulseCodeCommunication”得名。
当初是为了机械应用，后来在电报上取得了巨大发展，现在则常用于模拟－数字转换和转角－数字转换中。
典型格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码，它的循环、单步特性消除了随机取数时出现重大误差的可能，它的反射、自补特性使得求反非常方便。
格雷码属于可靠性编码，是一种错误最小化的编码，因为它大大地减少了由一个状态到下一个状态时电路中的混淆。
由于这种编码相邻的两个码组之间总是只有一位不同，因而在用于模－数转换中，当模拟量发生微小变化而可能引起数字量发生变化时，格雷码仅改变一位，这样与其它码同时改变两位或多位的情况相比更为可靠，即可减少出错的可能性．这就允许代码电路能以较少的错误在较高的速度下工作。
而普通二进制编码则有可能存在同时变化多位的情况，如从1110变成1000就要求四位码同时变化，因而也变得非常不可靠，在模数电路中很少采用。
如何才能从二进制数转换为格雷码呢？
将一个二进制数，从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变。
二进制数11011的格雷码是10110。
由格雷码表示变为二进制数：
从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变（0变为1，1变为0）。
如格雷码10101表示为二进制数是11001。
根据以上规律，我们将5位二进制数依次写完，并将第二列数字用二进制数的格雷码来表示，同时将序号反转，求得第一列，也就是五个环的排列状态，如下表：
10111
11101
22
10110
00111
11100
23
10111
00101
10100
24
11000
10101
10101
25
11001
11101
10111
26
11010
01101
10110
27
11011
01001
10010
28
11100
11001
10011
29
11101
10001
10001
30
11110
00001
10000
31
11111
我们很惊奇的发现，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步！
而所谓的状态00001正是只有第五环的情况，也就是说，此时我们可以上第六环了！
这是一种奇怪的步进方式，并非严格的二进制数，却是九连环的步进方式。
现在，已经有数学家指出，可以通过格雷码直接算出十进制数，也许冥冥之中，九连环就是最古老的计算工具和模型！
以此类推，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多（即将柄全部套上九环），到状态000000001才是最多，用511步，而此时，又准备将第十环（虚拟环）装上，也就是进位了。
由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。
由于第二环和第一环的解法既可以视为两步，也可以将二者合二为一，看做一步，所以九连环的简单解法步数其实只有256步！
这个数字也许看上去更加神奇，因为它是2的8次方！
也就是（9-1）次方！
设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步？
过程如何？
初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141。
终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327。
二者差：
326－141＝186，完整解法需要186步。
简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，
对于N=141，得到N0=103；对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139。
●九连环与N次方
根据上面的分析可知，九连环的拆装都需要256步（传统的算法是341步，把两个环同时拆装看做两步）。
而如果达到只保留第九环的情况，那就是511步，恰好是2的9次方！
进一步的研究可以发现，以256步而论，一个环的拆装需1步，三个环需4步，五个环需16步，7个环需64步，而九连环恰好达到需256步；即每增加两个环步数呈4倍增长。
我们看看对应的公式：
一个环 1步 2的0次方 2的（1-1）次方 1的平方
三个环 4步 2的2次方 2的（3-1）次方 2的平方
五个环 16步 2的4次方 2的（5-1）次方 4的平方
七个环 64步 2的6次方 2的（7-1）次方 8的平方
九个换 256步 2的8次方 2的（9-1）次方 16的平方
也就是说，奇数个环的情况下，要想解开必须付出2的（N-1）次方步。
与此同时，这些数还是完全平方数。
如果是偶数个环，情况有些不同，二连环需1步，4连环需7步，6连环需31步，8连环需127步，每增加两个环步数呈4倍加3增长。
除了前两个环的情况，有其特殊性，一、二号环可以一起拆下之外，其余的集中情况均为2的（N-1）次方再减去1！
即：
四个环 7步 2的3次方-1
六个环 31步 2的5次方-1
八个环 127步 2的7次方-1
奇数个环时，拆装步数的尾数为4或6（一个环除外），而且必然是完全平方数，即一个环时步数为1的二次方，三个环为2的二次方，五个环为4的二次方，七个环为8的二次方，九个环为16的二次方；偶数个环时，拆装步数的尾数是1或7。
只要加上1，就是2的N次方的形式。
●九连环与数列
奇数个环时，拆装步数的尾数为4或6（一个环除外），而且必然是完全平方数，即一个环时步数为1的二次方，三个环为2的二次方，五个环为4的二次方，七个环为8的二次方，九个环为16的二次方；偶数个环时，拆装步数的尾数是1或7。
只要加上1，就是2的N次方的形式。
根据上面的介绍，我们可以再细化一下。
如果我们从九连环的九个环都在下边的初始状况开始，到上第一个环所用的操作次数（称作步数）记作J1，到上前两个环的步数记作J2，到上前三个环的步数记作J3，等等。
既然是讨论数学，我们完全可以设想出更多的环，这样就得到一个数列。
九连环有两种不同的玩法，即完全解法和简单解法，把数列分别记作{Jn}（完全解法）与{jn}（简单解法）。
用字母J或j，是使用九连环汉语拼音的第一个字母，也可以采用{Rn}与{rn}，九连环在英语里的名称是TheChineseRings,或TheChineseRingsPuzzle。
它们的前九项分别是
1，2，5，10，21，42，85，170，341
和
1，1，4，7，16，31，64，127，256
这两个数列也满足相应的递推方程，它们分别是
Jn=Jn-1+2Jn-2+1，J1=1，J2=2
（1）
和
jn=jn-1+2Jn-2+1，J1=1，J2=1
（2）
这两个方程可以说比汉诺塔和斐波那契数列导致的递推方程具有更丰富的内涵。
九连环导出的方程
（1）和
（2）都是二阶非齐次的递推方程，解法更复杂，也更具有一般性。
斐波那契数列如下：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……
也就是说，Fn=Fn-1+Fn-2
实际上，解下或套上n连环所需步数可用CM公式算出：
f（n）=[2^（n+1）-0.5*（-1）^n-1.5]/3。
由此，我们将前面二进制的解法简单化，采用通项公式的方式给出解环步数。
当然，种方式得出的步骤是有连续N个环（从最左边第一环开始）的情况下，所需要的步数。
而二进制则可以测算任何一种状态下的情况，因而也更加详尽。
但是，目前国内出版的组合数学的教材，在讲授递推关系时，无一例外的采用汉诺塔和斐波那契数列的例子，而忽略了在我们国家有悠久历史的传统智力玩具九连环，忽视了讨论九连环导出的数列和递推关系。
当然科学并无国界，但增加九连环的例子，似乎可以讲得更生动更深入，而且，九连环也早已传到其他国家。
为此建议，把九连环导出的两个数列
1,2,5,10,21,42,85,170,341,682,1365,2730,5461,10922,21845,43690,…
1,1,4,7,16,31,64,127,256,511,1024,2047,4096,8191,16384,32767,…
称作九连环数列；我们的教师在讲授递推关系时，可以采用九连环的例子进行讲解，也许更生动，更有趣！
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