事件的概率与随机变量的分布函数.docx
《事件的概率与随机变量的分布函数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《事件的概率与随机变量的分布函数.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
事件的概率与随机变量的分布函数
实验1 事件的概率与随机变量的分布函数
一、实验目的
熟悉事件与随机变量的概念,掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布。
理解事件概率、随机变量分布函数、分位数的计算。
熟悉sas系统求事件概率、随机变量分布函数、分位数的命令。
二、实验准备
(1) probnorm(x)
功能:
标准正态分布函数,计算标准正态随机变量小于x的概率。
(2) probchi(x,df,nc)
功能:
计算服从自由度为df,非中心参数为nc的卡方分布的随机变量小于x的概率。
(3) probgam(x,a)
功能:
计算服从形状参数为a的伽玛分布的随机变量小于给定x的事件的概率。
(4)probbeta(x,a,b)
功能:
计算服从形状参数为a和b的贝塔分布的随机变量小于给定x的事件的概率。
(5)probf(x,ndf,ddf,nc)
功能:
计算服从分子自由度ndf,分母自由度ddf的F分布的随机变量小于x的概率。
当分布是中心F分布时,取nc=0或省略。
自由度可以是小数。
(6)Probt(x,df,nc)
功能:
计算服从自由度df,非中心参数nc的t分布的随机变量小于x的概率,如果参数nc等于0或没有规定,计算的是中心t分布。
(7)Probbnml(p,n,m)
功能:
计算服从参数p和n的二项分布随机变量小于等于m的概率。
(8)Poisson(λ,n)
功能:
计算服从参数λ的泊松分布随机变量小于等于n的概率。
(9)probnegb(p,n,m)
功能:
计算服从参数p和n的负二项分布随机变量小于等于m的概率。
(10)probhypr(nn,m,n,x)
功能:
超几何分布的概率分布函数。
设有nn件产品,其中m件是次品,随机取出n件,n件中的次品数目服从超几何分布。
该函数给出次品数目小于等于x的概率。
(11)cinv(p,df,nc)
功能:
计算自由度df,非中心参数nc的卡方分布的p分位数,取nc=0或此项不写表示中心卡方分布。
(12)betainv(p,a,b)
功能:
计算参数为a和b的贝塔分布的p分位数。
(13)Finv(p,ndf,ddf,nc)
功能:
计算分子自由度ndf,分母自由度ddf,非中心参数nc的f分布的p分位数。
中心f分布的情况,取nc=0或不规定nc。
(14)Tinv(p,df,nv)
功能:
计算自由度df,非中心参数nc的t分布的p分位数,中心t分布的情况,取nc=0或不规定nc。
(15)Probit(p)
功能:
计算标准正态分布函数的分位数,它是概率函数probnorm的反函数
(16)gaminv(p,a)
功能:
计算伽玛分布的分位数。
三、实验任务
● 基础实验部分:
数学软件sas命令操作
1、设随机变量X~N(0,1),计算
(1)P(X≤-1.2)
(2)P(1.2≤X≤3) (3)P(|X|<2)
2、设随机变量X~N(1,4),计算
(1)P(1.2≤X≤4)
(2)P(X≤0) (3)P(X≥4)
3、设随机变量X~B(20,0.4),计算
(1)P(X=0)
(2)P(X=1) (3)P(X=2) (4)P(X≤6) (5)P(X>10)
(6)P(X≥15)
4、设随机变量X服从参数为3的泊松分布,计算
(1)P(X=2)
(2)P(X=3) (3)P(X≤6) (4)P(X>10) (5)P(X≥8)
5、设随机变量X服从自由度为5的卡方分布,计算
(1)P(X<6)
(2)P(X>10)
6、设随机变量X服从自由度为3和4的F分布,计算
(1)P(X<10)
(2)P(X>12)
7、设随机变量X服从自由度为5的t分布,计算
(1)P(X<0.9)
(2)P(X>3)
8、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),
(1)P(X≤a)=0.3,求a
(2)P(X>b)=0.1,求b (3)P(|X|≤c)=0.9,求c
探索实验部分:
9、用sas系统检验卡方分布的上分位数具有下列性质:
当n充分大时,
(提示:
对
,90≤n≤100进行检验)
10、用sas系统检验F分布的上分位数具有下列性质:
(提示:
对
,1≤n1,n2≤10进行检验)
11、用sas系统检验泊松定理:
当p很小(一般要求p≤0.1),n较大(通常n≥10)时,
(提示:
对
,n=100,k=10,…,20进行检验)
应用实验部分:
12、一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答案,其中只有一个答案是正确的.某
学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少?
13、对同一目标进行300次独立射击,设每次射击时的命中率均为0.44,试求300次射击最
可能命中几次?
其相应的概率是多少?
14、设有80台同类型的设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一
台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法:
其一,由4人维护,每人负责20台
其二,由3人,共同维护80台.
试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。
四、实验过程
1、
(1)data a1;
y=round(probnorm(-1.2),0.0001);
puty ;
run;
结果为:
0.1151
(2)data a2;
x=probnorm(3)-probnorm(1.2);
y=round(x,0.0001);
puty ;
run;
结果为:
0.1137
(3)data a3;
x=2*probnorm
(2)-1;
y=round(x,0.0001);
puty ;
run;
结果为:
0.9545
2、
(1)data a4;
x=probnorm((4-1)/2)-probnorm((1.2-1)/2);
y=round(x,0.0001);
puty;
run;
结果为:
0.3934
(2)data a5;
x=probnorm((0-1)/2);
y=round(x,0.0001);
puty;
run;
结果为:
0.3085
(3)data a6;
x=1-probnorm((4-1)/2);
y=round(x,0.0001);
puty;
run;
结果为:
0.0668
3、
(1)dataa7;
x=probbnml(0.4,20,0);
putx;
run;
结果为:
0.0000365616
(2)dataa8;
x=probbnml(0.4,20,1)-probbnml(0.4,20,0);
putx;
run;
结果为:
0.0004874878
(3)dataa9;
x=probbnml(0.4,20,2)-probbnml(0.4,20,1);
putx;
run;
结果为:
0.0030874227
(4)dataa10;
x=probbnml(0.4,20,6);
putx;
run;
结果为:
0.2500106719
(5)dataa11;
x=1-probbnml(0.4,20,10);
putx;
run;
结果为:
0.1275212461
(6)dataa12;
x=1-probbnml(0.4,20,14);
putx;
run;
结果为:
0.0016115246
4、
(1)dataa13;
x=poisson(3,2)-poisson(3,1);
putx;
run;
结果为:
0.2240418077
(2)dataa14;
x=poisson(3,3)-poisson(3,2);
putx;
run;
结果为:
0.2240418077
(3)dataa15;
x=poisson(3,6);
putx;
run;
结果为:
0.9664914647
(4)dataa16;
x=1-poisson(3,10);
putx;
run;
结果为:
0.000292337
(5)dataa17;
x=1-poisson(3,7);
putx;
run;
结果为:
0.0119045039
5、
(1)dataa18;
x=probchi(6,5);
putx;
run;
结果为:
0.6937810816
(2)dataa19;
x=1-probchi(10,5);
putx;
run;
结果为:
0.0752352461
6、
(1)dataa20;
x=probf(10,3,4);
putx;
run;
结果为:
0.9750897266
(2)dataa21;
x=1-probf(12,3,4);
putx;
run;
结果为:
0.0181127865
7、
(1)dataa22;
x=probt(0.9,5);
putx;
run;
结果为:
0.7953143998
(2)dataa23;
x=1-probt(3,5);
putx;
run;
结果为:
0.0150496239
8、
(1)dataa24;
x=probit(0.3);
putx;
run;
结果为:
-0.524400513
(2)dataa25;
x=probit(1-0.1);
putx;
run;
结果为:
1.2815515655
(3)dataa26;
x=probit(0.9+(1-0.9)/2);
putx;
run;
结果为:
1.644853627
data a27;
don=90to100;
x=cinv(0.95,n);
y=((probit(0.95)+sqrt(2*n-1))**2)/2;
z=abs(x-y);
putz;
end;
run;
结果为:
0.2858567298
0.2858536407
0.2858505489
0.2858474557
0.2858443618
0.2858412684
0.2858381763
0.2858350863
0.2858319992
0.2858289156
0.2858258364
很显然,当n充分大时,原分位数公式近似相等,误差不超过0.3。
如果我们进一步将公式修正为
效果会更好。
10、data a28;
don1=1to10;
don2=1to10;
x=finv(0.05,n1,n2);
y=finv(0.95,n2,n1);
z=x*y;
putz;
end;
end;
run;
结果为:
1,原公式正确。
该公式适用于查阅f分布分位数表。
11、dataa29;
dok=10to20;
x=probbnml(0.05,100,k)-probbnml(0.05,100,k-1);
y=poisson(100*0.05,k)-poisson(100*0.05,k-1);
z=abs(x-y);
putz;
end;
run;
运行结果为:
0.0014169046
0.0010439491
0.0006244058
0.000319787
0.0001443172
0.0000584453
0.0000215142
7.268483E-6
2.271101E-6
6.604449E-7
1.7970215E-7
说明泊松定理成立。
12、
(1)问题分析:
每答一道题相当于做一次Bernoulli试验,
A={答对一道题目},P(A)=1/4
则答5道题相当于做5重Bernoulli试验.
设X表示该学生答对的题数,则X~B(5,0.25)
则P(至少能答对4道题)=P(X≥4)
(2)实验步骤
data a30;
x=1-probbnml(0.25,5,3);
putx;
run;
结果为0.015625,即靠猜测至少能答对4道题的概率是0.015625。
13、
(1)问题分析
对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验.令:
X表示300次射击中命中目标次数。
由题意,X~B(300,0.44)
我们可以求出命中k次的概率,k=0,1,……,300,比较大小即可。
(2)实验步骤
dataa31;
dok=0to300;
p=probbnml(0.44,300,k);
q=1-p;
ifk=0thend=p;
else d=probbnml(0.44,300,k)-probbnml(0.44,300,k-1);
output;
end;
procsort;
bydescendingd; /* 按照变量d的降序排列 */
run;
dataaaa1;
don=1,2;
seta31point=n; /*point语句表示观测的序号*/
output;
end;
stop;
run;
procprintnoobs;
varkd;
run;
输出结果为:
K D
132 0.046362
131 0.046087
即求300次射击最可能命中132次,其相应的概率是0.046362。
14、
(1)问题分析
按第一种方法:
以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”,则X~B(20,0.01).
以Ai表示事件“第i人负责的台中发生故障不能及时维修”,则80台中发生故障而不能及时维修的概率为:
P(A1∪A2∪A3∪A4)≥P(A1)=P(X≥2)
按第二种方法:
:
以Y 记80台中同一时刻发生故障的台数, 则Y~B(80,0.01). 故80台中发生故障而不能及时维修的概率为:
P(Y≥4)
我们只要比较二者的大小即可。
(2)实验步骤
dataa32;
x=1-probbnml(0.01,20,1);
y=1-probbnml(0.01,80,3);
d=x-y;
putxyd;
run;
在log窗口我们可以看见,xyd的取值分别为:
0.01685933760.00865918890.0082001487
第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小,且维修工人减少一人。
运用概率论讨论国民经济问题,可以有效地使用人力、物力资源。
五、思考与提高
1、如何输出二项分布表?
2、如何输出标准正态分布表?
3、如何验证卡方分布的可加性?
4、如何考察超几何分布与二项分布的关系?
六、练习内容
1、设随机变量X~N(0,1),计算
(1)P(X≤1)
(2)P(0≤X≤1) (3)P(|X|<1)
2、设随机变量X~N(3,4),计算
(1)P(2≤X≤5)
(2)P(-4≤X≤10) (3)P(|X|≥2)
3、设随机变量X~B(15,0.3),计算
(1)P(X=0)
(2)P(X=5) (3)P(X≤5) (4)P(X>10)
4、设随机变量X服从参数为6的泊松分布,计算
(1)P(X=2)
(2)P(X≤6) (3)P(X>10) (4)P(X≥8)
5、设随机变量X服从自由度为5和6的F分布,计算
(1)P(X<14)
(2)P(X>4)
6、设随机变量X服从自由度为7的t分布,计算
(1)P(X<5)
(2)P(X>5)
7、设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),
(1)P(X≤a)=0.3,求a
(2)P(X>b)≥0.9,求b的范围(3)P(|X|≤c)=0.7,求c
8、由一家商店过去的销售记录知,某商品每月销售数目x服从参数为10的泊松分布,为了
能以95%以上的把握保证下月该商品不脱销,问商店在月底至少应进该商品多少件(假定月
底无库存)?
9、从积累的资料看,某厂生产的产品中,合格品为90%,现在从该厂生产的1000件产品中
随机抽取20件检查,求:
(1)恰有18件合格品的概率;
(2)合格品不超过18件的概率
10、甲乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为0.6,问对甲而言,才用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利。
设各局胜负相互独立。