事件的概率与随机变量的分布函数.docx

1、事件的概率与随机变量的分布函数实验1 事件的概率与随机变量的分布函数一、实验目的熟悉事件与随机变量的概念，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布。理解事件概率、随机变量分布函数、分位数的计算。熟悉sas系统求事件概率、随机变量分布函数、分位数的命令。二、实验准备（1） probnorm(x) 功能：标准正态分布函数,计算标准正态随机变量小于x的概率。（2） probchi(x,df,nc) 功能：计算服从自由度为df,非中心参数为nc的卡方分布的随机变量小于x的概率。（3） probgam(x,a)功能：计算服从形状参数为a的伽玛分布的随机变量小于给定x的事件的概率。（4）probbeta

2、(x,a,b)功能：计算服从形状参数为a和b的贝塔分布的随机变量小于给定x的事件的概率。（5）probf(x,ndf,ddf,nc) 功能：计算服从分子自由度ndf,分母自由度ddf的F分布的随机变量小于x的概率。当分布是中心F分布时，取nc=0或省略。自由度可以是小数。（6）Probt(x,df,nc)功能：计算服从自由度df，非中心参数nc的t分布的随机变量小于x的概率，如果参数nc等于0或没有规定，计算的是中心t分布。（7）Probbnml(p,n,m) 功能：计算服从参数p和n的二项分布随机变量小于等于m的概率。（8）Poisson(,n)功能：计算服从参数的泊松分布随机变量小于等于n

3、的概率。（9）probnegb（p,n,m）功能：计算服从参数p和n的负二项分布随机变量小于等于m的概率。（10）probhypr(nn,m,n,x)功能：超几何分布的概率分布函数。设有nn件产品，其中m件是次品，随机取出n件，n件中的次品数目服从超几何分布。该函数给出次品数目小于等于x的概率。（11）cinv(p,df,nc) 功能：计算自由度df，非中心参数nc的卡方分布的p分位数，取nc=0或此项不写表示中心卡方分布。（12）betainv(p,a,b)功能：计算参数为a和b的贝塔分布的p分位数。（13）Finv(p,ndf,ddf,nc) 功能：计算分子自由度ndf，分母自由度ddf，

4、非中心参数nc的f分布的p分位数。中心f分布的情况，取nc=0或不规定nc。（14）Tinv(p,df,nv) 功能：计算自由度df，非中心参数nc的t分布的p分位数，中心t分布的情况，取nc=0或不规定nc。（15）Probit(p) 功能：计算标准正态分布函数的分位数，它是概率函数probnorm的反函数（16）gaminv(p,a)功能：计算伽玛分布的分位数。三、实验任务 基础实验部分：数学软件sas命令操作1、设随机变量XN(0,1)，计算（1）P(X-1.2) （2）P(1.2X3) （3）P(|X|10)（6）P(X15)4、设随机变量X服从参数为3的泊松分布，计算（1）P(X=2

5、) （2）P(X=3) （3）P(X6) （4）P(X10) （5）P(X8)5、设随机变量X服从自由度为5的卡方分布，计算（1）P(X10)6、设随机变量X服从自由度为3和4的F分布，计算（1）P(X12)7、设随机变量X服从自由度为5的t分布，计算（1）P(X3)8、设随机变量X服从标准正态分布 N(0，1），（1）P(Xa)=0.3，求a （2）P(Xb)=0.1，求b （3）P(|X|c)=0.9，求c探索实验部分：9、用sas系统检验卡方分布的上分位数具有下列性质：当n充分大时，（提示：对，90n100进行检验）10、用sas系统检验F分布的上分位数具有下列性质： （提示：对，1n1

6、，n210进行检验）11、用sas系统检验泊松定理：当p很小（一般要求p0.1），n较大（通常n10）时， （提示：对，n=100，k=10,20进行检验）应用实验部分：12、一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？13、对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？14、设有 80 台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由 4人维护，每人负责 20 台

7、 其二，由 3 人,共同维护 80 台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。四、实验过程1、（1）data a1;y=round(probnorm(-1.2),0.0001);put y ;run;结果为：0.1151（2）data a2;x=probnorm(3)-probnorm(1.2);y=round(x,0.0001);put y ;run;结果为：0.1137（3）data a3;x=2*probnorm(2)-1;y=round(x,0.0001);put y ;run;结果为：0.95452、（1）data a4;x=probnorm(4-1)/2)-pr

8、obnorm(1.2-1)/2);y=round(x,0.0001);put y;run;结果为：0.3934（2）data a5;x=probnorm(0-1)/2);y=round(x,0.0001);put y;run;结果为：0.3085（3）data a6;x=1-probnorm(4-1)/2);y=round(x,0.0001);put y;run;结果为：0.06683、（1）data a7; x=probbnml(0.4,20,0);put x;run;结果为：0.0000365616（2）data a8; x=probbnml(0.4,20,1)- probbnml(0.4

9、,20,0);put x;run;结果为：0.0004874878（3）data a9; x=probbnml(0.4,20,2)- probbnml(0.4,20,1);put x;run;结果为：0.0030874227（4）data a10; x=probbnml(0.4,20,6);put x;run;结果为：0.2500106719（5）data a11; x=1-probbnml(0.4,20,10);put x;run;结果为：0.1275212461（6）data a12; x=1-probbnml(0.4,20,14);put x;run;结果为：0.00161152464、

10、(1)data a13; x=poisson(3,2)-poisson(3,1);put x;run;结果为：0.2240418077(2) data a14; x=poisson(3,3)-poisson(3,2);put x;run;结果为：0.2240418077(3) data a15; x=poisson(3,6);put x;run;结果为：0.9664914647(4) data a16; x=1-poisson(3,10);put x;run;结果为：0.000292337(5) data a17; x=1-poisson(3,7);put x;run;结果为：0.011904

11、50395、（1）data a18; x=probchi(6,5);put x;run;结果为：0.6937810816(2) data a19; x=1-probchi(10,5);put x;run;结果为：0.07523524616、(1) data a20; x=probf(10,3,4);put x;run;结果为：0.9750897266(2) data a21; x=1-probf(12,3,4);put x;run;结果为：0.01811278657、(1) data a22; x=probt(0.9,5);put x;run;结果为：0.7953143998(2) data

12、a23; x=1-probt(3,5);put x;run;结果为：0.01504962398、(1) data a24; x=probit(0.3);put x;run;结果为：-0.524400513(2) data a25; x=probit(1-0.1);put x;run;结果为：1.2815515655(3) data a26; x=probit(0.9+(1-0.9)/2);put x;run;结果为：1.644853627data a27;do n=90 to 100;x=cinv(0.95,n);y=(probit(0.95)+sqrt(2*n-1)*2)/2;z=abs(x

13、-y);put z;end;run;结果为：0.28585672980.28585364070.28585054890.28584745570.28584436180.28584126840.28583817630.28583508630.28583199920.28582891560.2858258364很显然，当n充分大时，原分位数公式近似相等，误差不超过0.3。如果我们进一步将公式修正为效果会更好。10、data a28;do n1=1 to 10; do n2=1 to 10; x=finv(0.05,n1,n2); y=finv(0.95,n2,n1);z=x*y;put z;end

14、;end;run;结果为：1，原公式正确。该公式适用于查阅f分布分位数表。11、data a29;do k=10 to 20;x=probbnml(0.05,100,k)- probbnml(0.05,100,k-1);y=poisson(100*0.05,k)- poisson(100*0.05,k-1);z=abs(x-y);put z;end;run;运行结果为：0.00141690460.00104394910.00062440580.0003197870.00014431720.00005844530.00002151427.268483E-62.271101E-66.604449E

15、-71.7970215E-7 说明泊松定理成立。12、（1）问题分析：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，A=答对一道题目，P(A)=1/4则答5道题相当于做5重Bernoulli试验设X表示该学生答对的题数，则XB(5,0.25)则P(至少能答对4道题)=P(X4)（2）实验步骤data a30;x=1-probbnml(0.25,5,3);put x;run;结果为0.015625，即靠猜测至少能答对4道题的概率是0.015625。13、（1）问题分析对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验令：X表示300次射击中命中目标次数。由题意，XB(300,0.44)

16、我们可以求出命中k次的概率，k=0，1，300，比较大小即可。（2）实验步骤data a31;do k=0 to 300;p=probbnml(0.44,300,k);q=1-p;if k=0 then d=p;else d=probbnml(0.44,300,k)-probbnml(0.44,300,k-1);output;end;proc sort;by descending d; /* 按照变量d的降序排列 */run;data aaa1; do n=1,2;set a31 point=n; /*point语句表示观测的序号*/output; end;stop;run;proc prin

17、t noobs;var k d;run;输出结果为: K D 132 0.046362 131 0.046087即求300次射击最可能命中132次,其相应的概率是0.046362。14、（1）问题分析按第一种方法：以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”，则 X B(20，0.01）.以Ai表示事件“第i人负责的台中发生故障不能及时维修”，则80台中发生故障而不能及时维修的概率为：P(A1A2A3A4)P(A1)=P(X2)按第二种方法:：以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数， 则 YB (80，0.01）. 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：P(Y4)我们只要

18、比较二者的大小即可。（2）实验步骤data a32;x=1-probbnml(0.01,20,1);y=1-probbnml(0.01,80,3);d=x-y;put x y d;run; 在log窗口我们可以看见，x y d的取值分别为：0.0168593376 0.0086591889 0.0082001487第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以 有效地使用人力、物力资源。五、思考与提高1、如何输出二项分布表？2、如何输出标准正态分布表？3、如何验证卡方分布的可加性？4、如何考察超几何分布与二项分布的关系？六、练习内容1、设随机变

19、量XN(0,1)，计算（1）P(X1) （2）P(0X1) （3）P(|X|10)4、设随机变量X服从参数为6的泊松分布，计算（1）P(X=2) （2）P(X6) （3）P(X10) （4）P(X8)5、设随机变量X服从自由度为5和6的F分布，计算（1）P(X4)6、设随机变量X服从自由度为7的t分布，计算（1）P(X5)7、设随机变量X服从标准正态分布 N(0，1），（1）P(Xa)=0.3，求a （2）P(Xb) 0.9，求b的范围（3）P(|X|c)=0.7，求c8、由一家商店过去的销售记录知，某商品每月销售数目x服从参数为10的泊松分布，为了能以95%以上的把握保证下月该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件（假定月底无库存）？9、从积累的资料看，某厂生产的产品中，合格品为90%，现在从该厂生产的1000件产品中随机抽取20件检查，求：（1）恰有18件合格品的概率；（2）合格品不超过18件的概率10、甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为0.6，问对甲而言，才用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。