届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查数学答案及评分标准.docx
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届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查数学答案及评分标准
说明:
2021届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查
数学试题参考答案及评分标准
1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,给出一种或几种解法供参考.如果考生的解法与给出的解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则.
2.对解答题,当考生的解答在某一步出现错误,但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误,则错误部分依细则扣分,并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.解答题只给整数分数,填空题不给中间分.
一、选择题:
本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分40分.
1.A2.B3.B4.B5.D6.D7.C8.A
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,有选错的得0
分,部分选对的得3分.
9.CD10.BC11.ACD12.ACD
三、填空题:
本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分.
13.[9,+∞)
14.202015.12π16.13
3
8.解:
设AB的中点为P,由NP⋅CP=0可得点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=1。
所以|MP|的最大值为
ME1516(E为NC中点),
又|MA+MB|=2|MP|,所以|MA+MB|最大值为12
12.解:
由f(x)0得
tx22x,
函数f(x)的零点个数即为函数ytx2与y
的图像交点个数.如图可知:
当t4时,有0个交点;
当t4时,有3个交点;
当2t4时,有4个交点;
当t2时,有2个交点;
当0t2时,有0个交点,
所以f(x)的零点个数的可能取值为0,2,3,4.故
A正确.
f(x)0即函数ytx2图像在y
才有f(x)0恒成立.故B不正确.
图像的上方,由上可知,当且仅当t
4时,
显然f(x)=x+
t-2x
-2(t>0为偶函数,故只需研究x∈[0,t
时的情形,此时
f(x)=x+
'
t-2x-2
x
f(x)=1-=
令f'(x)=0,解得x=
2t,
2
为减函数,
且当x∈[0,
2t]时f'(x)>0,x∈[
2
2t,t]时f'(x)<0,
2
所以x=
2t为极大值点,同理可知x=-也为极大值点,故C正确;
所以f(x)
2
极大值
=f(
2
2t)=-2,
2
又f(0)=-2,f(t)=-2,
所以f(x)的值域为[
故选ACD.
-2,
-2],D正确.
B也可通过t=3时的情形予以排除.本题还可通过三角换元求解
15.解:
设AB的中点为O1,则O1为Rt∆SAB外接圆的圆心由已知可得CO1⊥平面SAB
等边∆ABC外接圆的圆心即为外接球的球心O
设AB=2x
则S∆ABC=
3(2x)2=
4
3x2
三棱锥S-ABC高的最大值为x
所以VS-ABC
解得x=3
2
的最大值为
3x3=93C
38
所以球O的半径R=2⨯3⨯2x=
32
所以球O的表面积为12π
16.
解:
设双曲线C的左焦点为F',连结AF',BF',设BF
所以AF'=2a+2t,BF'=2a+t.
由对称性可知,四边形AF'PF为平行四边形,故∠F'AB=
=t,则AF
。
=2t,
在∆F'AB中,由余弦定理得,(2a+t)2=(2a+2t)2+(3t)2-2⨯(2a+2t)⨯3t⨯cos60,
解得t=a.
3
故AF'=8a,AF=2a.
33
在∆F'AF中,由余弦定理得,
64a2
4a2
8a2a
52a2
4c2=+-2⨯⨯⨯cos60=,
99339
解得:
e=
13.
3
三、解答题:
本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分10分.
解:
选条件①
2cba
由①
cosB
cosA
及正弦定理可得
(2sinC
sinB)cosA
sinAcosB,………………………………………………………1分
2sinCcosA
2sinCcosA
sinAcosB
sin(AB)
cosAsinB,
……………………………………………………………3分
因为sin(AB)sinC0,
所以cosA
1
,……………………………………………………………………………4分
2
因为A
(0,π),所以A=600.………………………………………………………………5分
由S1bcsinA93得bc=9,………………………………………………………6分
∆ABC
2164
又b+c=3,可得b=c=3,………………………………………………………………8分
2
所以∆ABC是等边三角形,从而a
3.……………………………………………………10分
2
另解:
a2=b2+c2-2bccosπ
3
…………………………………………………………7分
=(b+c)2-3bc
…………………………………………………………………8分
=9,………………………………………………………………………9分
4
则a=3
2
……………………………………………………………………………10分
选条件②
由②mn可得mn=0,
即2acoCs+c-2b=……………………………………………………………………1分
由正弦定理可得
2sinAcosC+sinC-2sinB=0………………………………………………………2分因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
所以sinC
2cosAsinC
0,……………………………………………………………3分
因为sinC
0,cosA
1,………………………………………………………………4分
2
因为A
(0,π),所以A=60.
…………………………………………………………5分
下同选择①.选条件③
由③asinAcosC+1csin2A=
2
3bcosA及正弦定理可得
sinA(sinAcosC
cosAsinC)3sinBcosA,
……………………………………………1分
sinAsin(AC)3sinBcosA,……………………………………………………………2分
因为sin(AC)sinB0,………………………………………………………………3分
所以sinA
所以tanA
3cosA,
3.
…………………………………………………………………4分
因为A
(0,π),所以A=60.
…………………………………………………………………5分
下同选择①.
18.本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识,考查运算求解能力,逻辑推理能力,化归与转化思想等.满分12分.
解法一:
(1)设{an}的公比为q,由题意得
⎧⎪a1+a1q=3
⎪⎩11
⎨aq+aq2=6
⎧a1=1
………………………………………………………………………2分
⎩
解得:
⎨q=2
………………………………………………………………………4分
所以an
(2)因为a
=1⨯2n-1=2n-1…………………………………………………………………5分
=2n-1
n
⎧⎪20-2n-1,
n<6,
所以bn
=2n-1-20=⎨
⎪⎩2n-1-20,
n≥6.
………………………………………………6分
所以n<6时,Tn=20n-(2+2+
01
1⨯(1-2n)n
=20n-=20n-2+11-2
……………………………………8分
n≥6时,Tn
56n-1
=T5+(2+2++2)-20(n-5)
525(1-2n-5)
………………………………9分
=100+1-2
+-20(n-5)
1-2
………………………………10分
=2n-20n+137………………………………………………………11分
⎧⎪20n-2n+1,n<6,
所以Tn=⎨
⎪⎩2n-20n+137,
n≥6.
………………………………………………………12分
解法二:
(1)同解法一
(2)因为an
=2n-1
所以bn
⎧⎪20-2n-1,
=2n-1-20=⎨
⎪⎩2n-1-20,
n<6,
n≥6.
……………………………………………………6分
n
设数列{2n-1-20}的前n项和为S
1-2nn
则Sn=1-2-20n=2-20n-1
S5=-69………………………………………………………………………8分
当n<6时,T=-S
=20n+1-2n…………………………………………………………9分
nn
当n≥6时,
T=S-2S=2n-20n-1+138=2n-20n+137
………………………………………11分
nn5
⎧⎪20n-2n+1,n<6,
所以Tn=⎨
⎪⎩2n-20n+137,
n≥6.
………………………………………………………12分
19.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,考查考生分析问题和解决问题的能力,满分12分.
解法一:
x2y2
1E:
+=>>
F(1,0)
c=1.1
()因为椭圆
a2b2
1(ab
0)的焦点为
,所以
………………分
又a+c=b2,a2=b2+c2,…………………………………………………………3分所以a2=4,b2=3.………………………………………………………………4分
x2+y2=
即椭圆方程为
43
1.……………………………………………………………5分
(2)由题可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的解析式为x=my+2,
则C点为(0,-2).…………………………………………………………………………6分
m
⎧x2+y2=
⎨
1,可得:
(3m2+4)y2+12my=0,…………………………………7分
⎪⎩x=my+2
解得:
y
=-12m
,……………………………………………………………8分
B4+3m2
故S=1FAy,S=1FAy
……………………………………………………10分
12B22C
由此可得:
S⋅S=1⋅FA2⋅y⋅y
124BC
=6
3m2+4
.……………………………………………………………11分
所以S1⋅S2
∈(0,)
2
.……………………………………………………………………12分
解法二:
(1)同解法一
(2)由题可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的解析式为y=k(x-2),
则C点为(0,-2k).…………………………………………………………………………6分
⎨
⎧x2+y2=
由⎪431,可得:
(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0…………………………7分
⎩
⎪y=k(x-2)
设A(x1,y1),B(x2,y2)
16k2
由韦达定理得:
x1+x2=3+4k2
x1x2=
16k2-12
3+4k2
………………………………………8分
则AB=
12⋅
3+4k2
,点F到直线l的距离为:
d=,
所以S
=1⋅AB⋅d=1⋅12⋅
⋅=6k
1223+4k23+4k2
S=1⨯1⨯2k=k.…………………………………………………………10分
22
6k2
由此可得:
S1⋅S2=k⋅3+4k2=3+4k2.………………………………………………11分
故S1⋅S2
∈(0,)
2
.………………………………………………………………………12分
20.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,空间角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想
等.满分12分.P
(1)连接BD,DE,
因为AD⊥AB且AD=2,AB=1,
解得BD=,又PD=2,PB=3,
则PD2+BD2=PB2,C
所以PD⊥BD.……………………………………1分又PD⊥AD,BDAD=D,
所以PD⊥平面ABCD,………………………2分AB
又PD⊂平面PAD
所以平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,………………………………………………3分又AB⊥AD,AB⊂平面ABCD,
所以AB⊥平面PAD,又DE⊂平面PAD,
则AB⊥DE.……………………………………………………………………4分又PD=AD,E为PA的中点,
所以DE⊥PA,又PAAB=A,
所以DE⊥平面PAB,………………………………………………………………………5分则DE⊥PB..………………………………………………………………………6分
(2)由
(1)得,PD⊥平面ABCD,
且AD⊥CD,如图建立空间直角坐标系D-xyz
A(2,0,0),B(2,1,0),D(0,0,0),P(0,0,2).…………………………………………………7分
易知,平面DEA的一个法向量为n1=(0,1,0),……………………………………………8分假设存在满足题意的点E
设AE=λAP(0≤λ≤1)
AE=(-2λ,0,2λ)
DE=DA+AE=(2-2λ,0,2λ)………………………………9分
DB=(2,1,0),
设平面BDE的一个法向量为n2=(x,y,z),
⎧⎪DBn=0,⎧2x+y=0,
⎨2则⎨
⎪⎩DEn2=0,
⎩(2-2λ)x+2λz=0.
令x=1,则y=-2,z=λ-1,
λ
则n=(1,-2,λ-1..………………………………………………………………………10分
2λ)
cos=
=-2
若二面角B-DE-A的余弦值为2,
3
则=2
3
解得λ=1或λ=-1(舍去)………………………………………………………………11分
3
2
所以棱PA上存在点E,使二面角B-DE-A的余弦值为3,此时
=1…………12分
3
21.本小题主要考查频率分布直方图、二项分布、正态分布等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查统计思想、化归与转化思想.满分12分.
解:
(1)由题意可得
P(57≤d≤
5=8)P
<(6d2≤=3=
63)
100
P(61100
=0.1
P(592
所以a=0.03=0.03,b=0.1=0.1,c=0.35=0.35.……………………………3分
111
x=(57.5+62.5)⨯0.03+58.5⨯0.14+(59.5+60.5)⨯0.35+61.5⨯0.1=59.94≈60
…………………………5分
(2)由
(1)可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件,长度d在(59,61]的概率
P=2⨯0.35=0.7
且随机变量ξ服从二项分布ξ
B(3,0.7),
3
3
3
所以P(ξ=0)=C0⨯(1-0.7)3=0.027,P(ξ=1)=C1⨯0.7⨯(1-0.7)2=0.189P(ξ=2)=C2⨯0.72⨯(1-0.7)=0.441
3
P(ξ=3)=C3⨯0.73=0.343……………………………………………………………7分所以随机变量ξ分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343
…………………………………………………………8分
Eξ=0⨯0.027+1⨯0189+2⨯0.441+3⨯0.343=2.1
(另解:
Eξ=3⨯0.7=2.1).……………………………………………………………9分
(3)由
(1)及题意可知x=60,σ=1.
所以P(x-σP(x-σ…………………10分
P(x-2σP(x-2σ所以能让该批零件出厂.………………………………………………………………12分
22.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、
创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.满分12分.
'kekx⋅x-ekxekx(kx-1)
解:
(1)f(x)==,…………………………………………………1分
x2
定义域为(-∞,0)
x2
……………………………………………………………2分
当k=0时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),无增区间;
………………………………………………3分
当k>0时,由f'(x)<0得x<1且x≠0;由f'(x)>0得x>1,
kk
11
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,),递增区间为(,+∞);……………4分
kk
当k<0时,由f'(x)<0得x>1且x≠0;由f'(x)>0得,x<1
kk
所以函数f(x)的单调递减区间为(1,0)和(0,+∞),递增区间为(-∞1
.……………5分
kk
综上,当k=0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞),无增区间;
11
当k>0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(0,),递增区间为(,+∞);
kk
当k<0时,函数f(x)的单调递减区间为(1,0)和(0,+∞),递增区间为(-∞1.
kk
(未考虑定义域扣2分)
2g(x)≥f(x)
ex-1-x≥ex-
()由
,即e,
lnxx
ex-1-xe(ex-1-x)
从而,
lnxx
即(ex-1-x)(1-e)≥0,
lnxx
(ex-1-x)(x-elnx)
x⋅lnx0
.…………………………………………………………………7分
设p(x)=ex-1-x(x>0),
令p'(x)=ex-1-1=0,得x=1,
当x∈(0,1)时,p'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,p'(