弹塑性理论习题.docx

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弹塑性理论习题

2-1

有应力。

主应力的大小。

2-3有两个坐标系，试证明二x「二八二z「；「x卞y=不变量。

222”_

2-4M点的主应力为-1=75N/cm,6=50N/cm，匚3=-50N/cm。

一斜截面

的法线v与三个主轴成等角，求PV、二v及v

'0TT

2-5已知某点的应力状态为（W）=t01，求该点主应力的大小和主

芒T0」

轴方向。

向。

习题2

受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。

试证明齿尖上完全没

P

方向余弦为（l,m,n）,试求斜截面上切应力v的表达式

s0

2-8物体中某点的应力状态为（0i,j）=00TyZ求该点主应力的大小

和主轴方向。

2-9已知物体中某点的应力状态为匚j,斜截面法线的方向余弦为

」_、1_、1二，试求斜截面上切应力的大小。

、3、3

2-10半径为a的球，以常速度v在粘性流体中沿Xx轴方向运动。

球面上点

__.X3V-y-z

A（X,y,z）受到的表面力为PxPo，PyPo，PzPo，式中Po

为流体的静水压力。

试求球所受的总力量。

2-11已知物体中某点的应力状态为二ij，斜截面法线的方向余弦为

一、二、二，试证明斜截面上的正应力J及剪应力8分别为二*Ji、

、3、3、、33

习题3

3-1若位移u、v、w是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是一样的，这种变形叫均匀变形。

设有以0为中心的曲面，在均匀变形后成为球面，

2222

x'+y+z=r

问原来的曲面f（x,y,z）=o是怎样的一种曲面？

3-2证明x二k（xy），=k（yz），xy=k'xyz，

上二yz=zx=0（其中k和k'是微小的常数），不是一个可能的应变状态。

3-3将一个实体非均匀加热到温度T,而T是x、y、z的函数。

如果假设每一单元体的热膨胀都不受约束，那么各应变分量为；x-；y-；z=〉T，xy=yz=zx=0，其中用是热膨胀系数，是常数。

试证明，这种情况只有当T

是x、y、z的线性函数时才会发生。

3-4参照下图，

2

设AoBo=dSo，AE=dS,而AE=ABACAD,试证：

2222

dS-dS=2巳2：

12E22d：

22E33d：

324E12d：

24E23d：

2d：

34E31d：

3d：

\

=2Ed：

：

ijij

3-5已知欧拉应变q的6个分量，证明小变形的线应变和剪应变为

4-

2ei2

xy

试求：

（a）主应变;

（b）最大主应变对应的主轴方向;

（c）最大剪应变分量En.

3-9刚性位移与刚体位移有什么区别？

3-10试用应力分量写出轴对称极坐标平面应变状态条件下的协调方程。

3-11如图3-11所示，试用正方体（axaxa）证明不可压缩物体的泊松比丄

—。

2

3-12将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖上面承受均匀压力p的作用，如图3-12所示。

假设铁盒与铁盖可以看作为刚体,

在橡皮与铁之间没有摩擦力，试求铁盒内侧面所受到的压力以及橡皮块的体积应

3-13设s,s,S3为主应力偏量，试证明用主应力偏量表示米泽斯屈服条件,

其形式为

值。

习题4

4-1设已知对各向同性材料的应力应变关系为F「ej2G，试证其应力主轴与应变主轴是一致的。

4-2设体积力为常量，试证明

i2e=0,宀-0。

式中e=；x.；y•；Z，八-z

4-3设体积力为常量，试证明：

'4Ui=0「？

--a=0,新叮“=0。

5-4试推导，用应力法把有体积力问题化成无体积力问题的基本方程和边界条件。

4-5用应力法解释弹性力学问题，基本方程为什么也是9个而不6个?

4-6推导密切尔——贝尔特拉米方程的过程中，曾用过平衡方程，为什么解题时，用应力法，基本方程中还有平衡方程？

习题5

5-1已知理想弹塑性材料的受弯杆件，设计截面为：

（a）正方形，（b）圆

形，（c）内外径比为■.=a的圆环，（d）正方形沿对角线受弯,b

图5-17

5-

2h，宽度为b受外力作

2设有理想弹塑性材料的矩形截面杆件的高度为

用，当弹性核he=~时，试求此时弯矩值为多少？

2

6-3已知矩形截面的简支梁，其高为2h，宽为b，在梁上2d范围内承受均

布载荷的作用如图5-18所示。

试求此梁中间截面开始进入塑型时的外载荷qo以

及极限载荷q*的值，分别求出xd和x：

：

：

d两种情况时的弹塑性分界线的表达式。

5-4若已知理想弹塑性材料的剪切屈服极限为k，如用此材料支撑半径为R

RR

的受扭圆轴，试求当心二一和rs=—s时，扭矩M值的大小。

rs为弹塑性分解半

32s

径。

y

（b）

图5-18

5-5试求外半径为b,内半径为a的圆管（如图5-19所示）。

在扭矩的作用下，塑性极限扭矩和弹性极限扭矩之比为多大？

如为薄壁管，则扭矩之比又为多大？

5-

6已知理想弹塑性材料制成的空心圆轴（如图5-20所示），内半径为a，外半径为b,若内外半径之比为［，即，试求使截面最外层屈服时的Me和使截面达到完全屈服时的扭矩Mp的值各为多少？

并写出使塑性区扩展到r二rs时所需

5-7在题5-6中，当M二Mep时，试给出卸载后，在弹性区和塑性区应力的表达式。

5-8已知内半径为a,外半径为b的自由旋转环盘（如图5-21所示），材料的屈服极限为，试用特雷斯卡屈服条件求出此旋转环盘在极限状态时的表达式，并求出的最大值。

给出a趋近于零或趋近于b（薄环情况）的的最大值。

b

图5-21

5-9如已知材料的屈服极限按如下规律变化二二^s（V-），试求此等厚度

b

自由旋转圆盘在极限状态下的转速•.。

以及径向和环向的应力表达式。

5-10已知理想均质弹塑性材料制成的圆盘，此材料服从特雷斯卡屈服条件，如⑷为极限状态时的转速，而⑷为盘中某一点进入塑性时的转速，试分别

pe

求出带中心圆孔圆盘和不带中心圆孔圆盘的Bp/叽值各为多少？

5-11已知半径为b的等厚度的实心旋转圆盘，由不可压缩材料制成，材料服从特雷斯卡屈服条件，如盘中所有点都同时进入塑性状态，则屈服条件的表达式应取何形式？

此时极限转速ae应为多大？

5-12设有理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a,外半径为b,承

受内压pi的作用，试求此后圆筒开始进入塑性状态时和完全进入塑性状态时的压力比值为多少？

5-13已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a,外半径为b,承受内压pi的作用，若rs为厚壁圆筒中弹塑性分界半径，试求rs和内压pi之间的关系，已知k为材料的剪切屈服极限。

5-14已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a,外半径为b,材

料的屈服极限为化，试求筒内壁进入塑性状态时内压的值pi为多大？

（a）两端为封闭；（b）两端为自由，即；（c）两端受刚性约束，即；z=0

习题6

6-1在薄中心0,加一对反向力Q,测得板两端A、B二点的伸长为J,

习题8

8-1轴线水平的圆柱，由于自重产生的应力为"--qys.~--qy,x^0.圆柱的两端被限制在两个光滑的固定刚性平面之间，以维持平面应变状态。

试用草图表明作用于它表面（包括两端）的力。

见图8-9。

图8-9

8-2悬臂梁（0Wx<1,—c

23.2I3>

而上边界和右端不受载荷时，可用应力函数①叫孙詈缶+Q右丿得出解答。

这个解答在哪些方面是不完善的？

将应力表达式与由拉伸和弯曲的初

等公式得到的表达式作一比较，见图8-10。

图8-10

图8-11

图8-12

8-4有简支梁长21，高2c，受均布荷重q的作用，求应力分布，见图8-12。

8-5简支梁长21，高2c,试证由于自重-g所产生的应力分布为

二半12—x2y学|y^fc2y，

JzJz35

=-'gc-y3-c2y2c3•巾c_y，

Jz33

提示:

y=C-y，.xy=0是方程组的一组特解，然后把有

体积力的问题变为无体积力的问题求解。

8-6悬臂梁长丨，高2c,求由于自重为所产生的应力。

8-7试从密切尔一贝尔特拉米方程推导平面应变问题的协调方程。

9-1尖劈顶角2,受轴向力P的作用，求应力分布，见图9-220

9-2尖劈顶角2,受水平横向力P的作用，求应力分布，见图9-23

9-3尖劈顶角2,受力偶矩M的作用，求应力分布，见图9-24。

9-4半无限平面，边界上某切点受切力P的作用，求应力分布，见图9-25

9-5很大的矩形板，中央有一半径为的小圆孔，左右边界受均匀法向压力p,上下边界受均匀法向拉力p,见图9-26,求小圆孔引起的应力集中。

9-7开口圆环，内半径为a,外半径为b,内边界上有均匀法相压力P作用,求应力分布，见图9-28。

「P22y

xyarctgxy

2二_

题的解，见图9-29

P

P

图9-28

图9-29