关于点直线对称的圆的方程高中数学知识点讲解含答案.docx
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关于点直线对称的圆的方程高中数学知识点讲解含答案
关于点、直线对称的圆的方程（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共4小题）
1．（2020•怀柔区一模）已知圆与圆关于原点对称，则圆的方程为
C（x1）2y21C（）
A．B．C．D．
x2y21x2（y1）21x2（y1）21（x1）2y21
2．（2019•北京模拟）已知点是圆上的任意一点，那么点与原点距离的最小值为
Px2y24x30P（）
A．1B．2C．3D．4
3．（2017秋•海淀区校级期末）已知圆，圆C与圆C关于直线x10对称，则圆C的方程
C1:
（x1）（y1）1
22
212
为（ ）
A．B．
（x3）2（y1）21（x3）2（y1）21
C．D．
（x3）2（y1）21（x3）2（y1）21
4．（2009•东城区二模）若圆C与圆（x2）2（y1）21关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．B．
（x2）（y1）1（x1）2（y1）21
22
C．D．
（x1）（y2）1（x1）2（y2）21
22
二．填空题（共6小题）
5．（2019秋•海淀区校级期中）已知圆1:
（2）
（1）1，圆与圆关于直线对称，则圆的标准
Cx2y2Cyx1
CC
212
方程是 ．
6．（2017•西城区二模）已知圆:
1．圆与圆关于直线对称，则圆的方程是 ．
Ox2y2OOxy20O
7．（2010春•东城区月考）如果直线1与圆交于、两点，且、关于直线
ykxx2y2kxmy40MNMN
xy0对称，那么可求得圆心的横坐标为 ，直线被圆所截得的弦MN的长度为 ．
8．（2009春•西城区校级期末）圆x2y2ax2y10关于直线xy1对称的圆的方程是x2y210，则实数
a的值是 ．
9．（2008•海淀区二模）设圆x2y22x0关于直线xy0对称的圆为C，则圆C的圆心坐标为 ．再把圆C
沿向量平移得到圆，则圆的方程为 ．
a（1,2）DD
10．（2007秋•西城区校级期中）圆x2y22关于直线x3y50对称的圆的方程为 ．
三．解答题（共1小题）
第1页（共7页）
11．（2011秋•朝阳区期末）已知圆C:
xyx2y0
22
（I）
1
求由点P（，l）向圆C所引的切线长；
2
（Ⅱ）求圆关于直线对称的圆的方程．
Cl:
xy10
第2页（共7页）
关于点、直线对称的圆的方程（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2020•怀柔区一模）已知圆C与圆（x1）2y21关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．x2y21B．x2（y1）21C．x2（y1）21D．（x1）2y21
【分析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心关于原点的对称点，则答案可求．
【解答】解：
圆（x1）y1的圆心坐标为（1,0），半径为1．
22
点关于原点的对称点为，
（1,0）（1,0）
则所求圆的方程为．
（x1）y1
22
故选：
D．
【点评】本题考查圆关于点的对称圆的求法，是基础题．
2．（2019•北京模拟）已知点P是圆x2y24x30上的任意一点，那么点P与原点距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】求得原点到圆心（2,0）的距离为2，半径为1，可得点P与原点距离的最小值为211．
【解答】解：
可知原点在圆外，
x2y24x30
又原点到圆心（2,0）的距离为2，半径为1，
P211
点与原点距离的最小值为．
故选：
A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，属于基础题．
3．（2017秋•海淀区校级期末）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程
Cx2y2
1:
（1）
（1）1CCx10C
212
为（ ）
A．（x3）（y1）1B．（x3）2（y1）21
22
C．（x3）（y1）1D．（x3）2（y1）21
22
【分析】由题意，圆与圆关于直线对称，可得半径相等，圆心对称，即可求解；
CCx10
21
【解答】解：
由题意，圆与圆关于关于直线对称，可知圆的半径为，
CCx10Cr1
212
第3页（共7页）
圆的圆心为则关于直线对称的坐标为，设圆C的圆心（a,b），可得
C1:
（x1）（y1）1（1,1）x10（3,1）
22
2
ab1
3．．
得圆的方程为．
C（x3）2（y1）21
2
故选：
A．
【点评】本题考查圆与圆关于直线对称的求法，利用点对点的对称即可求解．
CCx10
21
4．（2009•东城区二模）若圆与圆关于原点对称，则圆的方程为
C（x2）2（y1）21C（）
A．B．
（x2）2（y1）21（x1）2（y1）21
C．D．
（x1）2（y2）21（x1）2（y2）21
【分析】圆与圆关于原点对称，先求圆的圆心坐标，再求半径即可．
C（x2）2（y1）21C
【解答】解：
由题意可知圆的圆心，半径为1，
（x2）2（y1）21（2,1）
关于原点对称的圆心，半径也是1，所求对称圆的方程：
（2,1）（x2）2（y1）21
故选：
．
A
【点评】本题考查关于点对称的圆的方程，是基础题．
二．填空题（共6小题）
5．（2019秋•海淀区校级期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准
Cx2y2
1:
（2）
（1）1CCyx1C
212
方程是 ．
x2（y1）21
【分析】求出圆C的圆心坐标，又圆C和圆C的半径相等，即可得到其方程．
212
【解答】解：
依题意，设圆C的圆心坐标为（a,b），
2
则因为圆，的圆心为，
C1:
（x2）（y1）1（2,1）
22
12
ba
1,
0
a22
所以解得，
b1b1
1,
a2
所以圆的标准方程是：
，
Cx2（y1）21
2
故答案为：
，
x2（y1）21
【点评】本题考查了圆的标准方程，考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题．
6．（2017•西城区二模）已知圆:
1．圆与圆关于直线对称，则圆的方程是
Ox2y2OOxy20O
第4页（共7页）
（x2）（y2）1
22
．
【分析】求出关于直线对称点的坐标，即可得出结论．
（0,0）xy20
b
1
a
【解答】解：
设关于直线对称点的坐标为，则，
（0,0）xy20（a,b）
ab
20
22
ab2，
O（x2）2（y2）21
圆的方程是，
故答案为．
（x2）2（y2）21
【点评】本题考查圆的方程，考查点关于直线对称点的求法，比较基础．
7．（2010春•东城区月考）如果直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M、N两点，且M、N关于直线
xy1
0对称，那么可求得圆心的横坐标为 ，直线被圆所截得的弦MN的长度为 ．
2
【分析】直线ykx1与圆x2y2kxmy40交于M、N两点，且M、N关于直线xy0对称，直线
xy0过圆心，且与直线ykx1垂直；求出k再求m，弦长可以求解．
【解答】解：
由题意可知，直线xy0过圆心，且与直线ykx1垂直，k1，圆x2y2kxmy40的圆
k1
心的横坐标为，
22
1mxy0m1（11）
圆心坐标（，）在直线上，所以，圆心坐标，，它在直线yx1上，
2222
32
圆的半径是，因而弦长是直径32．
2
1
故答案为：
、32．
2
【点评】本题考查对称知识，圆的一般方程，弦长的求法等知识；是中档题．
8．（2009春•西城区校级期末）圆x2y2ax2y10关于直线xy1对称的圆的方程是x2y210，则实数
a的值是 2 ．
【分析】先分别将圆的方程化为标准方程，根据对称性可知两圆的圆心连线的斜率为1，半径相等，可求实数a的
值
aa
2
【解答】解：
由题意，将圆的方程化为标准方程为：
（）
（1），
x2y2x2y21
24
Qx2y2ax2y10xy1x2y210
圆关于直线对称的圆的方程是
第5页（共7页）
1a
2
1,1
a
4
2
a2
故答案为：
2
【点评】本题以圆的一般方程为载体，考查圆的对称性，解题的关键是将圆的方程化为标准方程，将对称性转化为
两圆的圆心连线的斜率为，半径相等
1
9．（2008•海淀区二模）设圆x2y22x0关于直线xy0对称的圆为C，则圆C的圆心坐标为 （0,1） ．再
把圆沿向量平移得到圆，则圆的方程为 ．
Ca（1,2）DD
【分析】①求圆关于直线的对称圆，只需求圆心关于该直线的对称点即可（因为对称圆的半径相等）；
而求点关于直线的对称点的基本方法是列方程组（其中一个方程是根据直线与直线
Aaxbyc0BAB
axbyc0垂直，则斜率乘积等于1得之；另一个方程由线段AB的中点在直线axbyc0上，代入得
之．）．
②由平移变换可知方程为f（x,y）0的图象平移a（m,n），则对应的方程为f（xm,yn）0，由此可求圆D的方
程．
【解答】解：
①圆的方程可化为，
x2y22x0（x1）2y21
所以圆心坐标为（1,0），半径为1．
t
1
s0
s1
设圆的圆心坐标为，那么，解得
C（s,t）
s1tt1
0
22
所以圆的圆心坐标为；
C（0,1）
②由①知圆的方程为，
Cx2（y1）21
再把圆沿向量平移得到圆，
Ca（1,2）D
则圆的方程为，即．
D（x1）2（y12）21（x1）2（y1）21
【点评】本题考查圆关于直线的对称及图象的平移变换．
10．（2007秋•西城区校级期中）圆关于直线对称的圆的方程为 ．
x2y22x3y50（x1）2（y3）22
【分析】求出已知圆的圆心关于直线x3y50对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．
【解答】解：
设关于直线对称的点为：
（0,0）x3y50（a,b）
第6页（共7页）
a3b
50
22
则解得a1，b3，
1b
1
3a
因为圆的半径为：
2
所以圆关于直线对称的圆的方程为：
x2y22x3y50（x1）2（y3）22
故答案为：
（x1）2（y3）22
【点评】本题是基础题，考查圆关于直线对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，注意垂直、
平分的应用是解决对称问题的基本方法．
三．解答题（共1小题）
11．（2011秋•朝阳区期末）已知圆C:
xyx2y0
22
（I）
1
求由点，向圆所引的切线长；
P（l）C
2
（Ⅱ）求圆关于直线对称的圆的方程．
Cl:
xy10
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心的坐标和半径，再根据，可得切线长为
（I）CC|PC|2|PC|2R2
的值．
1
（Ⅱ）设圆心C（，1）关于直线l:
xy10的对称点为D（a,b），则由垂直和中点在轴上2个条件，解方程组求
2
得对称圆的圆心D的坐标，即可求得对称圆的方程．
（I）C:
x2y2x2y0（x1）2（y1）25（1
C1）R
5
【解答】解：
圆即，表示以，为圆心，半径等于的
2422
圆．
11
Q|PC|2|PC|2R2
，故切线长为．
2
b1
1
1
a
a2
1
2
（Ⅱ）设圆心，关于直线的对称点为，则由，求得，
C
（1）l:
xy10D（a,b）
321b
ab
2
1
210
22
3
故（2,），故对称圆的方程为．
D
（2）2（3）25
xy
224
【点评】本题主要考查求圆的切线长的方法，求一个圆关于一条直线的对称圆的方程的方法，属于中档题．
第7页（共7页）
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