最新中考数学复习专题四函数与图像一.docx

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最新中考数学复习专题四函数与图像一

专题四函数与图像

（一）

知识归纳

基本定义：

在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量称为常量．

　　变量：

变化的量　常量：

不变的量

　一、一次函数

基本概念：

一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。

表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。

可表示为y=kx

即，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：

y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。

定义域：

自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。

函数性质

　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：

y=kx+b（k≠0）

　2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为（0,b）.

　3.当b=0时（即y=kx），一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

　4.函数图像性质：

当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交

　图像性质

1．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：

y=kx+b（k≠0）。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

2．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

3．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比）

　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　y=kx+b时：

　　当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限。

　　当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限。

　　当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限。

　　当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。

　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

　　4、特殊位置关系

　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

二：

反比例函数

反比例函数概念：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-1.

1k≠0;②一般情况下，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数③函数y的取值范围也是一切非零实数.

反比例函数图象

反比例函数的图象是一组双曲线,曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）。

反比例函数性质

  1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。

  2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。

k>0时，

函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

  3、定义域为x≠0；值域为y≠0。

  4、.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

   5、在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

 6、.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

 7、若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

  8、.反比例函数y=k/x的渐近线：

x轴与y轴。

9、.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

三：

二次函数

1.二次函数的一般形式：

y=ax2+bx+c.（a≠0）

2.二次函数的几个概念：

二次函数的图象是抛物线，也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过（0，c）点.

3.y=ax2（a≠0）的特性：

当y=ax2+bx+c（a≠0）中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2（a≠0）;

这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：

（1）图象关于y轴对称；

（2）顶点（0，0）；

4．求二次函数的解析式：

已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法.

5．二次函数的顶点式：

y=a（x-h）2+k（a≠0）；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h,k），对称轴方程x=h和函数的最值y最值=k.

6．求二次函数的解析式：

已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a（x-h）2+k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.

7.二次函数图象的平行移动：

二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a（x-h）2+k的图象平行移动时，改变的是h,k的值,a值不变，具体规律如下：

k值增大<=>图象向上平移；k值减小<=>图象向下平移；

（x-h）值增大<=>图象向左平移；（x-h）值减小<=>图象向右平移.

8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及几个重要点的公式：

9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：

（1）a＞0<=>抛物线开口向上；a＜0<=>抛物线开口向下；

（2）c＞0<=>抛物线从原点上方通过；c=0<=>抛物线从原点通过；c＜0<=>抛物线从原点下方通过；

（3）a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧；a,b同号<=>对称轴在y轴的左侧；b=0<=>对称轴是y轴；

（4）b2－4ac＞0<=>抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac=0<=>抛物线与x轴有一个交点（即相切）；

b2－4ac＜0<=>抛物线与x轴无交点.

10．二次函数图象的对称性：

已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

函数与图像专题练习

一、选择题（每小题4分，共52分）

1．一次函数y=3x-1的图象不经过（）。

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）。

A．I＝B．I＝－C．I＝D．I＝

3．函数和函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（）。

A.1个B.2个C.3个D.0个

4．设A（x1,y1）、B（x2,y2）是反比例函数y=图象上的两点，若x1

A.y2y1>0D.y1>y2>0

5．已知方程组的解为，则函数y=2x+3与y=x+的交点坐标为（）。

A．（l，5）B．（－1，1）C．（l，2）D．（4，l）

6．反比例函数的图象在二、四象限，则k的取值范围是（）。

A．K≤3B．K≥-3C．K＞3D．K＜-3.

7．当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是图中的（）。

8．如图，正比例函数y=x和y=mx的图象与反比例函数y＝的图象分别交于第一象限内的A、C两点，过A、C分别向x轴作垂线，垂足分别为B、D.若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为S1、S2，则S1与S2的关系为（）。

A．S1>S2B.S1=S2C.S1

9．抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（）。

A．直线x=1　　　（B）直线x=-1　　（C）直线x=2　　　（D）直线x=-2

10．抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（）。

A.y=x2+4x+3B.y=x2+4x+5C.y=x2－4x+3D.y=x2－4x－5

11．无论m为任何实数，二次函数y=x2+（2－m）x+m的图象总过的点是（）。

A.（－1，0）B.（1，0）C.（－1，3）D.（1，3）

12．无论m为何实数，直线与的交点不可能在（）。

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

13．在反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=kx2+2kx的图像大致是（）。

14、（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）

A．1

图4图5

15．如图5，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）

A．1B．C．D．2

16．函数y=与y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）

17．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（）

A．y1

18．（2008，山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）

A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

二、填空题

1．（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

2．（2005，山东省）已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．

3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．

4．（2005，温州市）若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，则c=_______（只要求写出一个）．

5．（2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．

6．若y=中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，则a=______．

三：

解答题：

1、如图，