五年级数学拔高之巧解平均数问题 2.docx
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五年级数学拔高之巧解平均数问题2
第3讲巧解平均数问题
（二）
I多个部分平均与全体平均
方法和技巧
（1）用“总数量÷总份数=平均数”直接求平均数。
（2）借助“整体思考法”巧解题。
（3）用“移多补少法”巧解题。
（4）借助“整数化”巧解题。
例题精讲
A级基础点睛
一、运用平均数的概念解题
【例1】小张、小李两人的平均身高是1.70米，小李、小王两人的平均身高是1.74米，小王、小张两人的平均身高是1.60米。
问：
小张、小李、小王三人的平均身高是多少米？
分析与解
小张+小李=1.70×2，小李+小王=1.74×2，小王+小张=1.60×2
上面三式相加得
2×（小张+小李+小王）=1.70×2+1.74×2+1.60×2
即小张+小李+小王=（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2
故小张、小李、小王的平均身高为
[（1.70×2+1.74×2+1.60×2）÷2]÷3=1.68（米）
答：
小张、小李、小王三人的平均身高是1.68米。
做一做1A，B，C，D四位小朋友在一次测验中，A，B，C三人的平均成绩是80分；B，C，D三人的平均成绩是85分；C，D，A三人的平均成绩是83分；D，A，B三人的平均成绩是82分。
问：
A，B，C，D四人的平均成绩是多少分？
二、“整体思考”巧解题
【例2】赵、钱、孙、李四个小朋友，每两人合称一次体重，一共称了6次，其平均体重分别是34.5、33.5、36.0、35.0、37.5、36.5（单位：
千克）。
问：
这四位小朋友的平均体重是多少千克？
分析与解1依照例1的解法，每一个人与其他三个人都可以配对合称。
因此，在上面6个平均数中，每个人的体重都被计算了3次，详细地说，有
（赵+钱）的体重=34.5×2………………………………………①
（赵+孙）的体重=33.5×2………………………………………②
（赵+李）的体重=36.0×2………………………………………③
（钱+孙）的体重=35.0×2………………………………………④
（钱+李）的体重=37.5×2………………………………………⑤
（孙+李）的体重=36.5×2………………………………………⑥
将上面6个式子相加，得
（赵+钱+孙+李）的体重×3=6次平均体重分别乘2的和
即（赵+钱+孙+李）的体重×3为
34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2
（赵+钱+孙+李）的体重为
（34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2）÷3
故赵、钱、孙、李四人的平均体重为
[（34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2）÷3]÷4=35.5（千克）
分析与解2求四个小朋友的平均体重，根据“总量÷总份数=平均数”，若能找到四个小朋友的总重量，问题即迎刃而解。
方法1：
四人体重和：
①+⑥
（赵+钱）的体重+（孙+李）的体重=34.5×2+36.5×2（千克）
四人平均体重：
（34.5×2+36.5×2）÷4=35.5（千克）
方法2：
四人体重和：
②+⑤
（赵+孙）的体重+（钱+李）的体重=33.5×2+37.5×2（千克）
四人平均体重：
（33.5×2+37.5×2）÷4=35.5（千克）
方法3：
四人体重和：
③+④
（赵+李）的体重+（钱+孙）的体重=36.0×2+35.0×2（千克）
四人平均体重：
（36.0×2+35.0×2）÷4=35.5（千克）
答：
四位小朋友的平均体重是35.5千克。
做一做2甲、乙、丙三个物体，两两合称一次，一共称三次，分别是30千克、28千克、26千克。
问：
这三个物体平均重多少千克？
三、“移多补少”巧解题
【例3】有1000名大学毕业生参加公务员考试，录取了150人。
录取者的平均成绩与未录取者的平均成绩相差38分，全体考生的平均成绩是55分。
已知录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分，问：
录取分数线是多少分？
分析与解1根据题意可知，未录取者的平均成绩比全体考生的平均成绩少38×150÷1000=5.7（分），未录取者的平均成绩是55－5.7=49.3（分），录取者的平均成绩比未录取者的多38分，即49.3+38=87.3（分），录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分，即87.3－6.3=81（分）。
（55－38×150÷1000）+38－6.3=（55－5.7）+38－6.3=81（分）
分析与解2用长度代表人数，宽度代表分数，根据题意作出符合题意的图。
38
I
J
D
M
A
根据题意：
S长方形AJFM=S长方形GHDF6.3
FG
55
H
设DH=x，有
850
C
x×850=（38－x）×150
150
B
E
850x=5700－150x
x=5.7
易知录取分数线为38－5.7－6.3+55=81（分）
答：
录取分数线是81分。
做一做3200名小学生参加英语竞赛，有24名学生获奖。
获奖者的平均成绩与未获奖的平均成绩样差35分，全体参赛学生的平均成绩是60分。
已知获奖分数线比获奖者的平均成绩少5.8分，问：
获奖分数线是多少分？
B级更上层楼
四、“整数化”巧解题
【例4】某学校在报考的学生中只录取了考生人数的
，被录取考生的平均分比录取分数线高10分，没有被录取考生的平均分比录取分数线低26分。
已知考生的平均成绩是70分，问：
录取分数线是多少？
分析与解由于有
的考生被录取，因此可以把被录取的学生人数算作1，没有被录取的学生人数算作3。
以录取分数线作为基数，没有被录取的考生的分数总共比录取分数线少了26×3=78（分），被录取学生的平均分总共比录取分数线多了10×1=10（分），合起来就得到所有考生的平均分总共比录取分数线少了
26×3－10×1=68（分）
因此，对所有学生来说，每人的平均成绩比录取分数线少了
（26×3－10×1）÷（3+1）=17（分）
即每一个考生的平均分70分比录取分数线少了17分，实际录取分数线是70+17=87（分）。
综合算式得：
70+（26×3－10×1）÷（3+1）=70+17=87（分）
答：
录取分数线是87分。
小结有人的解答过程如下，你能说出他的道理吗？
70－（26+10）÷4+26=70－9+26=87（分）
此外，你能给出本题的长方形图解法吗？
做一做4某校进行入学考试，所有考生的平均成绩是65分，从考生中录取了
，这些考生的平均成绩比录取分数线高10分，其他没有被录取的学生平均分比录取分数纸低15分。
那么，录取分数线是多少？
五、发散思考一题多解
【例5】A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余3个数求平均数，这样算了4次，得到这样4个数：
45，60，65，70。
问：
A，B，C，D这四个数的平均数是多少？
分析与解我们先分别去掉其中的一个数，可以求出其他三个数的和，即
B+C+D=45×3=135
A+C+D=60×3=180
A+B+D=65×3=195
A+B+C=70×3=210
再把这四个式子相加得到3个A、3个B、3个C、3个D的总和，这样就可以求出A，B，C，D四个数的和，进而可求得A，B，C，D这四个数的平均数。
（45×3+60×3+65×3+70×3）÷3÷4=（45+60+65+70）×3÷3÷4
=（45+60+65+70）÷4
所以，可直接列出算式（45+60+65+70）÷4来解答。
其道理是将3个数求平均数，就是用每个数的
相加，在4次计算中，每个数只出现了3次，也就是每个数的
加了3次，正好是原数。
因此把45，60，65，70相加，恰好是A，B，C，D这四个数的总和，再除以4当然就是A，B，C，D的平均数了。
做一做5有五个数A，B，C，D，E，每次去掉一个数，将其余4个数求平均数，这样计算了5次，得到这样5个数：
17，25，27，32，39。
求A，B，C，D，E这五个数的平均数。
【例6】有四个数，每次选取其中的两个数，算出它们的和，再减去另外两个数的平均数。
用这种方法计算了六次，得到这样六个数：
43，53，57，63，69，78。
问：
原来四个数的平均数是多少？
分析与解由前几例的解法知，每次计算两个数的和，计算六次，等于每个数计算了三次，即四个数之和的3倍；每次计算两个数的平均数，计算六次，等于每个数计算了1.5次，即四个数之和的1.5倍，则有
（六次“两个数的和”之和）－（六次“两个数的平均数”之和）=43+53+57+63+69+78变为3×（四个数之和）－1.5×（四个数之和）=43+53+57+63+69+78
即1.5×（四个数之和）=43+53+57+63+69+78
四个数之和=（43+53+57+63+69+78）÷1.5
故四个数的平均数为
[（43+53+57+63+69+78）÷1.5]÷4=60.5
答：
原来四个数的平均数是60.5。
做一做6有四个数，每次选取其中的三个数算出它们的平均数，再加上另外一个数，用这种方法计算了四次，分别得到这样四个数：
86，92，100，106。
问：
原来四个数的平均数是多少？
C级勇夺冠军
【例7】从若干个连续自然数1，2，3，…中去掉三个后，剩下的数的平均数是19
。
如果去掉三个数中有两个是质数，问：
这两个质数的和最大是多少？
解因为1~39的平均数是20，所以剩下的数的个数应不大于39，又因为剩下的数的个数应为9的倍数，而不大于39的9的倍数最大是36，即剩下36个数，所以原有36+3=39（个）数。
1+2+3+…+39=780
19
×36=716
780－716=64
去掉三个数之和是64，64=4+29+31，因此两个质数的和最大为29+31=60
做一做7黑板上写着从1开始的若干个连续自然数，擦去其中的一个后，其余各数的平均数是35
，擦去的数是。
巧练习——温故知新（三）（I）
A级基础点睛
1．设有A，B，C三个数，其中A和B相加是200，A和C相加是150，B和C相加是160。
求A，B，C这三个数的平均值。
2．某班第一小组有8位同学，第二小组有12位同学。
某次数学考试中，两组同学的平均分为83.8分，第一组同学的平均分比第二组同学的平均分高2分，求每一组同学的平均分。
3．某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次，结果前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分。
一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成绩加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班同学的平均成绩。
这样做全班的平均成绩是提高了，还是降低了？
请算出提高多少或降低多少。
4．某班女同学的人数是男同学人数的
，男同学的平均身高是1.65米，全体男、女同学的平均身高是1.59米。
问女同学的平均身高是多少米？
5．A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了四次，得到下面四个数：
23，26，30，33。
问：
A，B，C，D四个数的平均数是多少？
B级更上层楼
6．某次外语考试，钱、钱、孙、李、周五人的平均分数比孙、李、周三人的平均分数少4分，赵、钱两人的平均分数是75分，求五个人的平均分数。
7．一次测量身高，A，B，C，D，E五人的平均身高比C，D，E三人的平均身高矮4厘米，A，B两人的平均身高为165厘米，求五个人的平均身高。
8．有A，B，C，D，E，F，G七个数成等差数列，已知A，G两数的平均数为10，那么数D为多少？
这七个数的和是多少？
9．有A，B，C，D，E，F，G，H八个数成等差数列，已知D，E两数的平均数是9，则有A，B，C，D，E，F，G，H这八个数的平均数是多少？
它们的和是多少？
10．某校数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人。
现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？
C级勇夺冠军
11．有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另一个数。
用这样的方法计算了4次，分别得到以下四个数：
26，30，36，40，那么原来的四个数中最大的一个数是多少？
12．甲、乙两人在9月份之后各取得了64次成绩，其中甲得的5分同乙得的4分一样多，甲得的4分同乙得的3分一样多，甲得的3分同乙得的2分一样多，而甲得的2分则同乙得的5分一样多（注：
采用5级记分制，5分为最高分，相当于优；4分为良；3分为及格；2分为不及格；一般没有1分）。
此外，甲、乙两人的平均成绩相同。
问：
甲得了几次2分？
13．某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人都要投球10个，每投进一个球得1分。
得分的情况如下表：
得分
10
9
8
…
2
1
0
人数
1
3
3
…
4
5
7
又知该班学生中，至少得3分的人的平均分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有人。
14．跳水比赛中，由10位评委评分，规定：
最后得分是去掉1个最高分和1个最低分后的平均数。
10位评委给甲、乙两位选手打出的平均数是9.75和9.76，其中最高分和最低分的平均数分别为9.83和9.84，那么最后得分高（填“甲”“乙”或“一样”）。
巧总结
本节我的收获是
不足之处有：
II巧用平均数求个别数
方法和技巧
解这类题要用到解方程的方法和原理，特别是“消去（元）”的方法、“代入”的方法、“几个等式两边相加（或相减）仍得等式”的原理以及和差问题的方法。
例题精讲
A级基础点睛
一、运用平均数的概念解题
【例1】七位评委给一位歌唱演员打分，平均分为9.6分。
去掉一个最高分，平均分为9.55分；去掉一个最低分，平均分为9.7分。
如果最高分和最低分都去掉，那么这位歌唱演员的平均分是多少分？
分析与解七位评委所打的总分是9.6×7=67.2（分），去掉一个最高分，剩下六位评委的总分为9.55×6=57.3（分），去掉一个最低分，剩下六位评委的总分为9.7×6=58.2（分），从而可以求出去掉一个最高分和一个最低分，剩下五位评委的总分为58.2－（67.2－57.3）=48.3（分），最后可以求出歌唱演员的平均分为
[9.7×6－（9.7×6－9.55×6）]÷5
=[58.2－（67.2－57.3）]÷5
=（58.2－9.9）÷5=48.3÷5=9.66（分）
答：
这位歌唱演员的平均分是9.66分。
小结本例根据三个已知条件，求出三个总和，再根据它们之间的数量关系，求出最后结果。
做一做1五位裁判给一名歌手打分。
去掉一个最高分，平均分为9.46分；去掉一个最低分，平均分为9.58分。
问：
这位歌手的最高分与最低分相差多少？
二、巧用“消去法”和“和差公式法”
【例2】A，B，C，D四个数的平均数是84。
已知A，B的平均数是72，B，C的平均数是76，B，D的平均数是80，求D是多少。
解法1由A，B，C，D四个数的平均数是84，知
A+B+C+D=84×4……………………………………………①
由A、B的平均数是72，B、C的平均数是76，B、D的平均数是80，知
A+B=72×2…………………………………………………②
B+C=76×2…………………………………………………③
B+D=80×2…………………………………………………④
则②+③+④得
A+3B+C+D=（72+76+80）×2=456………………………⑤
⑤－①得
2B=456－84×4
2B=120
B=60
由B，D的平均数是80，得D=80×2－60=100。
解法2由解法1得出的相关量，借助“和差法”来解决。
分析1①－②得
C+D=84×4－72×2=192
④－③得
D－C=80×2－76×6=8
所以D=（192+8）÷2
D=100
分析2①－③得
A+D=84×4－76×2=184
④－②得
D－A=80×2－72×2=16
所以D=（184+16）÷2
D=100
分析3①－④得
C+A=84×4－80×2=176
③－②得
C－A=76×2－72×2=8
所以A=（176－8）÷2=84
即D=84×4－（76×2+84）=100
答：
D是100。
做一做2已知A，B，C，D四个数的平均数是38，A，B的平均数是42，B，C，D三个数的平均数是36。
求B是多少。
【例3】某次考试，甲、乙、丙、丁四个人的成绩统计如下：
甲、乙、丙三人的平均成绩为94分，乙、丙、丁三人的成绩为92分，甲、丁两人的平均成绩是96分。
问：
甲得了多少分。
解法1甲+乙+丙=94×3=282（分）…………………………①
乙+丙+丁=92×3=276（分）……………………………………②
甲+丁=96×2=192（分）…………………………………………③
三式相加，得
2×（甲+乙+丙+丁）=282+276+192
即甲+乙+丙+丁=（282+276+192）÷2=375（分）…………④
由④－②得甲=375－276=99（分）
解法2由①－②得甲－丁=282－276=6（分）
因甲+丁=192（分）
根据和差公式知甲=（192+6）÷2=99（分）
答：
甲得了99分。
你能给出另外两种解法吗？
做一做3某次考试，A，B，C，D，E五人的成绩统计如下：
A，B，C，D四人的平均分为75分；A，C，D，E四人的平均分为70分；A，D，E三人的平均分为60分；B，D两人的平均分为65分。
求A得了多少分。
B级更上层楼
三、综合运用发散思考
【例4】如下图1，在七个圆圈内各填一个数，要求每条直线上的三个数，中间的数是两边两个数的平均数。
现在已填上两个数，求x代表的数。
图1图2
分析与解为了便于说明问题，用字母表示各个圆圈所填写的数，见图2。
根据每条直线上三个数的关系，由图示可知
A=（8+24）÷2=16，B=（16+D）÷2,B=（24+C）÷2,C=（8+D）÷2
因为16+D=24+C，所以D=8+C。
这样：
C=（8+8+C）÷2,2C=16+C,C=16,B=（24+16）÷2=20
X=20×2－8=32
小结本例为了便于理解，用字母来表示各个圆圈中所填写的数，解法巧妙、简洁。
做一做4在右图中的七个圆圈内各填一个数，要求每一条直线上的三个数，中间的数是两边两个数的平均数。
现在已经填好两个数，那么x是多少？
【例5】小明前五次考试的总分是428分，第六次至第九次的平均分比前五次的平均分多1.4分。
现在要进行第十次考试，要使后五次的平均分高于所有十次的平均分，问：
小明第十次至少要考多少分？
（注：
每次考试的分数都是整数）
分析与解第六次至第九次共得（428÷5+1.4）×4=348（分）。
如果第十次考428－348=80（分），那么，前五次与后五次总分相同，因此后五次平均分与所有十次平均分相同。
于是，要使后五次平均分高于所有十次的平均分，则小明第十次至少要考81分。
答：
小明第十次至少要考81分。
做一做5今年前5个月，小明每月平均储蓄4.2元，从6月份起，小明每月储蓄6元。
那么从哪个月起，小明每月的平均储蓄超过了5元？
【例6】有10个整数排成一个圆形，将每一个整数换成与它相邻两数的平均值，所得的结果如图所示，那么图中数e所占位置的原数是多少？
解有图知：
（a+b+c+d+e）×2=（5+3+5+8+9）×2，
a+b+c+d+e=30。
因为（a+b）+（c+d）=5×2+5×2=20,所以
e=（a+b+c+d+e）—（a+b+c+d）
=30―20
=10。
做一做6五个小朋友围坐一张圆桌边，每人想好一个数并告诉坐在他两边的人，然后，每人将他两边人告诉他的数的平均值报出来，报的结果如右图。
报8的人想的数是。
C级勇夺冠军
【例7】四个自然两两之和为如下三个数：
23，32,41（有一些和是重复的），求这四个数。
解四个自然数两两相加，不同的和可以有六个、五个、四个、三个、两个或一个。
当四个数完全相同时，它们两两相加的和只有一个；
当四个数中有三个相同时，它们两两相加不同的和有两个；
当四个数都不相同时，它们两两相加不同的和可能是六个，也可能是五个；
当四个数中有两个数相同时，它们两两相加，不同的和可能是四个，也可能是三个。
题中不同的和为三个，所以其中应恰有两个数相同，又因为23,32,41这三个数中只有32是偶数，所以四个数中两个相同的数应是
32÷2=16
设四个数中的另外两个数分别是A和B，那么由题意应有
16+A=23,16+B=41
解得A=7，B=25
所以这四个数分别是7,16,16,25。
答：
这四个数分别是7,16,16,25。
做一做7四个自然数两两相加的和为如下四个数：
7,11,14,18。
其中有一些数相加的和与另外的和相同，那么这四个数的乘积是多少？
巧练习——温故知新（三）（Ⅱ）
A级基础点睛
1．某班在11月底前进行了6次数学测验，12月和1月进行了4次数学测验。
已知后4次测验的平均分要比前6次的平均分高7.5分，且10次测验的总平均分是88.5分，那么后4次测验的平均分是多少？
2.有20个数，按照从小到大的顺序排列，它们的平均分是42，前11个数的平均分数是38.5，后10个数的平均数是46。
问：
第11个数是多少？
3.A,B,C,D四个数的平均数是75，A与B的平均数比C与D的平均数多2，A是90。
问B是多少？
4.A,B,C,D四个数的平均数是84，已知A与B的平均数是72，B与C的平均数是76，B与D的平均数是80，那么D是多少？
5.有四个少先小队拾麦穗，甲、乙。
丙三队平均每队拾24千克，乙、丙、丁三队平均每队拾26千克。
已知丁队拾了28千克麦穗，那么甲队拾了多少千克？
B级更上层楼
6.甲、乙、丙、丁四人体重各不相同，其中有两人的平均体重与另外两人的平均体重相等。
甲与乙的平均体重比甲与丙的平均体重少8千克，乙与丁的平均体重比甲与丙的平均体重重，乙与丙的平均体重是49千克。
求：
（1）甲乙丙丁四人的平均体重。
（2）乙的体重。
7.有甲、乙、丙、丁4位同学甲比乙重7千克，甲与乙的平均体重比甲、乙、丁3人的平均体重多1千克，乙、丙、丁3人的平均体重是40.5千克，乙与丙的平均体重是41千克，问：
这4人中，最重的同学体重是多少千克？
8．赵、钱、孙、李、周、吴、郑、王8位同学参加一次数学竞赛，8个人的平均得分是64分。
每人得分如下：
赵
钱
孙
李
周
吴
郑
王
74
48
90
33
60
78
其中吴与孙两位同学的得分尚未填上，吴的得分最高，并且吴的得分是其他一位同学得分的2倍。
问：
吴和孙各得多少分？
9.有五位数，每次选取其中的四个数，算出它们的平均数，再加上另外的一个数，用这样的方法计算了五次，分别得到以下五个数：
24,27,29,32,38。
求原来五个数中最小的数。
10.有五位小朋友，每两人合称一次体重，一共称了10次。
每两人的平均体重依次是27.5,28.5,29.5,30,31,31.5,32,33,34（单位：
千
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