初中二次函数知识点汇总.docx
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初中二次函数知识点汇总
★二次函数知识点汇总^
1.定义：
一般地，如果yax2bxc（a,b,c是常数，a0），那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数yax2的性质
（1）抛物线yax2（a0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
（2）函数yax2的图像与a的
符号关系.
1当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点
3.
二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.
2
b.4acb，k
2a4a
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
1
axh2k:
⑤yax2bxc.
yax2:
②yax2k:
③yaxh2:
④y
6.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点
①a决定抛物线的开口方向：
当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
2平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的
开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
222
（1）公式法：
yax2bxcax—似b，二顶点是（—，曲b），对称轴是直线
2a4a2a4a
b
x.
2a
⑵配方法：
运用配方法将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为（h,k），对
称轴是xh.
⑶运用抛物线的对称性：
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用
⑴a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.
⑵b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线x上,
2a
故：
①b0时，对称轴为y轴；②bo（即a、b同号）时,对称轴在y轴左侧；
a
3b0（即a、b异号）时,对称轴在y轴右侧.
a
⑶c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.
当x0时，yc,：
抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0,c）:
①c0，抛物线经过原点；②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则卫0.
a
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当a0时
开口向上
当a0时
x0（y轴）
（0,0）
x0（y轴）
（0,k）
（h,0）
（h,k）
开口向下
2
/b4acb、（c，,）
2a4a
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：
yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
⑵顶点式：
yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：
已知图像与x轴的交点坐标花、X2，通常选用交点式：
yax人xX2.
12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线yax2bxc得交点为（0,c）
（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点（h,ah2bhc）.
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标Xj、x?
，是对应一元二次方程
ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
1有两个交点0抛物线与x轴相交；
2有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；
3没有交点0抛物线与x轴相离.
（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标
相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.
（5）一次函数
由方程组
ykxnk0的图像1与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，
ykx
n的解的数目来确定：
yax2bxc
1方程组有两组不同的解时I与G有两个交点；
2方程组只有一组解时I与G只有一个交点；③方程组无解时I与G没有交点.
⑹抛物线与x轴两交点之间的距离：
若抛物线yax2bxc与x轴两交点为
A%,0，
BX2,0，由于X1、X2是方程ax2bxc0的两个根，故
bc
x1%
_,x1X?
一aa
13．二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程yax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值为0时的情况．
（2）二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当
y0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0的根．
（3）当二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程yax2bxc有两个不相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2bxc0没有实数根
14.二次函数的应用：
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：
分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；
运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．
15.解决实际问题时的基本思路：
（1）理解问题；
（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：
一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做
二次函数。
这里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b,c可
以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.二次函数yax2bxc的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：
yax2的性质：
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
y轴
x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小
值0.
向下
y轴
x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大
值0.
质:
上加下减。
a的绝对值越大,
抛物线的开口越
小。
2.
yax
的性
a的符号
的符号
开口方
向
顶点坐
对称
轴
性质
3.
向上
开口方
顶点坐
x0时，y随x的增大而增大；x0时,
y随x的增大而减小；x0时，y有最小
的性
质：
左加右减。
向上
对称x
轴轴
0时，y随x的增大而减小;
性质
x0时,
刃随x的增大而增大;x0时，y有最大
xh时，y随x的增大而增大；xh时,
值c.
X=h
y随x的增大而减小；xh时，y有最小
向下
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时,
y随x的增大而增大；xh时，y有最大
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
xh时，y随x的增大而增大；xh时，
y随x的增大而减小；xh时，y有最小
值k.
2
4.yaxhk的性质:
向下
X=h
xh时，y随x的增大而减小；xh时,
y随x的增大而增大；xh时，y有最大
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2
，确定其顶点坐标h,k；
⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h,
处，具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移,概括成八个字“左加右减，上加下减”•
方法二：
负下移”.
⑴yax2bx
c沿y轴平移：
向上（下）平移m个单位，y
ax2bxc变成
yax2bxc
m（或yax2bxcm）
⑵yax2bx
c沿轴平移：
向左（右）平移m个单位,
ax2bxc变成
ya（xm）b（xm）c（或ya（xm）b（xm）
c化为顶点式ya（xh）2k,确定其开口方般我们选取的五点为：
顶点、2h,c、与x轴的交点为,0,x2,0（若
x轴的交点，与y轴的交点.
五点绘图法：
利用配方法将二次函数yax2bx
向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与
六、二次函数yax2bxc的性质
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向,
a的正负决定开口方向，a的大小决
y有最小值4a^-b-
4a
大;
大.
定开口的大小.
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a0的前提下，
当b0时，
b
2a
_b_
2a
0，即抛物线的对称轴在y轴左侧;
0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b
0时，
当b
0时，
b
2a
0,
即抛物线对称轴在y轴的右侧.
在a
0的前提下,
结论刚好与上述相反，即
当b
0时，
b
2a
0,
即抛物线的对称轴在
y轴右侧;
当b
0时，
_b_
2a
0,
即抛物线的对称轴就是
y轴；
当b
0时，
b
2a
0,
即抛物线对称轴在y轴的左侧.
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.
ab的符号的判定：
对称轴x—在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概
2a
括的说就是“左同右异”
总结：
3.常数项c
⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.关于x轴对称
yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；
22
yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；
2.关于y轴对称
yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；
22
yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；
3.关于原点对称
yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；
22
yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；
4.关于顶点对称（即：
抛物线绕顶点旋转180°）
b2
yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxc一；
2a
22
yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk.
5.关于点m,n对称
22
yaxhk关于点m,n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此
a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.
图象与x轴的交点个数：
1
次方程ax2bxc0a0的两根.这两点间的距离
AB
X2为
当b24ac0时，图象与x轴交于两点,0，Bx?
，0（为x?
），其中的为，x?
是一元二
2当0时，图象与x轴只有一个交点;
3当0时，图象与x轴没有交点
1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；
2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0.
2
2.抛物线yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）;
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，
或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc（a0）本身就是所含字母x
的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内
抛物线与x轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与x轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与x轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
在联系:
图像参考:
十一、函数的应用
刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
最大面积是多少
二次函数考查重点与常见题型
1•考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y（m2）x2m2m2的图像经过原点，则m的值是_
2•综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像
5
已知一条抛物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为x-，求这条抛物线的解析式。
3
4•考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线yax2bxc（0）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3，与y轴交点的纵
3
坐标是—2
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5•考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例1
（1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M（b,C）在（）
a
A•第一象限B•第二象限C•第三象限D•第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a^0）的图象如图2所示，？
则下列结论：
①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0;④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
（1）
（2）
【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系，是解决问题的关键.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（xi,0），且1轴的正半轴的交点在点（0,2）的下方.下列结论：
①a0③4a+c<0
④2a-b+1>0,其中正确结论的个数为（）
A1个B.2个C.3个D.4个
答案：
D
会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c
的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
A（2,-3）B.（2,1）C（2,3）D.（3,2）
答案：
C
例4、（2006年烟台市）如图（单位：
m,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym.
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，
三角形移动了多长时间？
求抛物线顶点坐标、
对称轴.
例5、已知抛物线y=—x2+x--.
22
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为AB,求线段AB的长.
【点评】本题
（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第
（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.
例6.已知：
二次函数y=ax2-（b+1）x-3a的图象经过点P（4,10）,交x轴于A（x1,0）,B（x2,0）
两点（冷X2），交y轴负半轴于C点，且满足3A0=0B
（1）求二次函数的解析式；⑵在二次函数的图象上是否存在点M使锐角/MC0ZAC0若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.
（1）解：
如图•••抛物线交x轴于点A（X1,0）,B（x2,0）,
则X1•X2=3<0,又tX1X2>0,X1<0,■/30A=0BX2=-3x1.
22
•X1•X2=-3x1=-3.•X1=1.
x1<0,二X1=-1.•.X2=3.
•••点A（-1,0）,P（4,10）代入解析式得解得a=2b=3
•.二次函数的解析式为y-2x2-4x-6.
⑵存在点M使/MC0⑵解：
点A关于y轴的对称点A'（1,0）,
•直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为（0,-6）,（5,24）.
•符合题意的x的范围为-1当点M的横坐标满足-1例7、“已知函数y—x2bxc的图象经过点A（c，-2）,II
2
求证：
这个二次函数图象的对称轴是x=3。
题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。
（—）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？
若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。
（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。
点评：
对于第（—）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，-2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。
对于第
（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是
所以所求二次函数解析式为y
—
（2）在解析式中令y=0，得-x
2
—2
x
2
23x
3x
2.图象如图所示。
0，解得x—3.5,X23.5.
可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标
第（—）小题中的解析式就可以了。
而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，等。
所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+.5,0）”或“抛物线与x轴的一
个交点的坐标是（3.5,0）.
令x=3代入解析式，得y5,
2
—25
所以抛物线y-x3x2的顶点坐标为（3,-）,
22
5
所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3,5）等等。
2
函数主要关注：
通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。
用二次函数解决最值问题
例—已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE如图），其中AF=2BF=—试
在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.
【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力•同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.
例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）？
与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？
？
此时每日销售利润是多少元？
15kb25
【解析】
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b•则b'解得k=-1，b=40,?
2kb20
即一次函数表达式为y=-x+40.
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
22
w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225.
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有
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