初中二次函数知识点汇总.docx

1、初中二次函数知识点汇总二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果y ax2 bx c（a,b,c是常数，a 0），那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y ax2的性质（1）抛物线y ax2（ a 0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.1当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当a 0时 抛物线开口向下 顶 点为其最高点3.二次函数y ax2 bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.2b . 4ac b ，k2 a 4 a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：1a x h 2 k : y ax2 bx c .y ax2 : y ax

2、2 k : y a x h 2 : y6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点a决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.2平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 .8.求抛物线的顶点、对称轴的方法2 2 2（1） 公式法：y ax2 bx c ax 似 b ，二顶点是 （ ，曲 b ），对称轴是直线2a 4a 2a 4abx .2a配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y ax

3、 h2 k的形式，得到顶点为（h, k），对称轴是x h. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线 的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 .用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线y ax2 bx c中，a, b,c的作用a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样.b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x 上,2a故：b 0时，对称轴为y轴；b o（即a、b同号）时,对称轴在y轴左侧；a3b 0（即a、b异号）时,对称轴在y轴右侧.ac的大小决定抛物线

4、y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,：抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0 , c）:c 0，抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 卫0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当a 0时开口向上当a 0时x 0( y 轴)(0,0)x 0( y 轴)(0, k)(h,0)(h, k)开口向下2/ b 4ac b 、 (c，, )2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：y ax2 bx c .已知图像

5、上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 顶点式：y ax h2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标 花、X2，通常选用交点式：y ax人x X2 .12.直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0 , c )(2)与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点 (h , ah 2 bh c).(3)抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标Xj、x?，是对应一元二次 方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根 的判别式判

6、定：1有两个交点 0 抛物线与x轴相交；2有一个交点(顶点在x轴上) 0 抛物线与x轴相切；3没有交点 0 抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.(5) 一次函数由方程组y kx n k 0的图像1与二次函数y ax2 bx c a 0的图像G的交点，y kxn 的解的数目来确定：y ax2 bx c1方程组有两组不同的解时 I与G有两个交点；2方程组只有一组解时 I与G只有一个交点；方程组无解时 I与G没有交点. 抛物线与x轴两交点之

7、间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点为A % ,0，B X2,0 ，由于X1、 X2是方程ax2 bx c 0的两个根，故b cx1 %_,x1 X? 一 a a13二次函数与一元二次方程的关系：(1) 一元二次方程 y ax2 bx c 就是二次函数 y ax2 bx c 当函数 y 的值为 0 时的情 况(2)二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y 0时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2 bx c 0 的根(3)当二次函数 y ax2 bx c

8、 的 图象与 x 轴有两个交点时， 则一元二次方程 y ax2 bx c有两个不相等的实数根；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有一 个交点时，则一元二次方程ax2 bx c 0有两个相等的实数根；当二次函数 y ax2 bx c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程 ax2 bx c 0没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大 (小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函 数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 (小)值15.解决实际问题时的基本思路： (1) 理解问题；

9、(2) 分析问题中的变量和常量； (3) 用函数 表达式表示出它们之间的关系； (4) 利用二次函数的有关性质进行求解； (5) 检验结果 的合理性，对问题加以拓展等二次函数知识点一、 二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c( a，b，c 是常数， a 0)的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b,c可以为零二次函数的定义域是全体实数2.二次函数y ax2 bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2 .a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、 二次函数的基

10、本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质向上y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时， y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 .向下y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时， y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .质:上加下减。a的 绝对 值越 大,抛物 线的 开口 越小。2.y ax的性a的符号的符号开口方向顶点坐对称轴性质3.向上开口方顶点坐x 0时，y随x的增大而增大；x 0时,y随x的增大而减小；x 0时，y有最小的性质：左 加右 减。向上对称x轴轴0时，y随x的增大而减小;性质x 0时,刃随 x的增大而增大;x 0时，y

11、有最大x h时，y随x的增大而增大；x h时,值c .X=hy随x的增大而减小；x h时，y有最小向下X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时,y随x的增大而增大；x h时，y有最大a的符号开口方 向顶点坐 标对称 轴性质向上X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值k .24. y a x h k的性质:向下X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时,y随x的增大而增大；x h时，y有最大三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y ax h2，确定其顶点坐标h, k ；保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移

12、到 h ,处，具体平移方法如下:2.平移规律在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k值正上移, 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：负下移”. y ax2 bxc沿y轴平移：向上（下）平移m个单位，yax2 bx c变成y ax2 bx cm (或 y ax2 bx c m) y ax2 bxc沿轴平移：向左（右）平移 m个单位,ax2 bx c变成y a(x m) b(x m) c (或 y a(x m) b(x m)c化为顶点式y a（x h）2 k ,确定其开口方 般我们选取的五点为： 顶点、 2h , c、与x轴的交点为,0 , x2, 0 （若x轴的交点，与y轴的交点.五

13、点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 与y轴的交点 0, c、以及0, c关于对称轴对称的点 与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与六、二次函数y ax2 bx c的性质总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向，a的大小决y有最小值4a-b-4a大;大.定开口的大小.2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴. 在a 0的前提下，当b 0时，b2a_b_2a0，即抛物线的对称轴在y轴左侧;0，即抛物线的对称轴就是y轴；当b

14、0时，当b0时，b2a0 ,即抛物线对称轴在y轴的右侧.在a0的前提下,结论刚好与上述相反，即当b0时，b2a0 ,即抛物线的对称轴在y轴右侧;当b0时，_b_2a0 ,即抛物线的对称轴就是y轴；当b0时，b2a0 ,即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.ab的符号的判定：对称轴x 在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0,概2a括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0 ； 当c 0时，抛物线与y

15、轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a , b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数 的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几 种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 .九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五

16、种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；2 2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2.关于y轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；2 2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是y ax h k ；3.关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c ；2 2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是 y a x h k ；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）b2y ax2 bx

17、 c关于顶点对称后，得到的解析式是 y ax2 bx c 一 ；2a2 2y a x h k关于顶点对称后，得到的解析式是 y a x h k .5.关于点m , n对称2 2y a x h k关于点m, n对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择 合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向, 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：1.

18、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：1次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离ABX2 为当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点, 0，B x?，0 （为x?），其中的为，x?是一元二2当 0时，图象与x轴只有一个交点;3当 0时，图象与x轴没有交点1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .22.抛物线y ax bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为

19、（0，c）;3.二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a，b，c的符号，或由二次函数中a， b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内抛物线

20、与x轴 有两个交点二次三项式的值可 正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实 根抛物线与x轴 只有一个交点二次三项式的值为 非负一元二次方程有两个相等的实 数根抛物线与x轴 无交点二次三项式的值恒 为正一元二次方程无实数根.在联系:图像参考:十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y (m 2)x2 m2 m 2的图像经过原点， 则m的值是_2综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直 角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择

21、题，如：如图，如果函数y kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y kx2 bx 1的图像5已知一条抛物线经过(0,3) ，(4,6)两点，对称轴为x -，求这条抛物线的解析式。34考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答 题，如：已知抛物线y ax2 bx c (0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3，与y轴交点的纵3坐标是2(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、 对称轴和顶点坐标. 5 考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 (1) 二次函数y ax2 bx c的图像如图

22、1，则点M (b,C)在()aA 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限(2)已知二次函数 y=ax2+bx+c (a 0)的图象如图2所示，？则下列结论：a、b 同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0;当y=-2时，x的值只能取0.其 中正确的个数是()A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个(1)(2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a, b, c之间的关系，是解决问题的关键.例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，0)、(xi, 0)，且1xi2，与y轴的正半轴的交点在点 (0, 2)的下方.下列结论：ab04a+c0,其中正确

23、结论的个数为()A 1 个B. 2 个C. 3 个D . 4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为()A(2 , -3) B.(2 , 1) C(2 , 3) D . (3, 2)答案：C例4、( 2006年烟台市)如图(单位：m,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正 方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3) 当重叠部分的面积是正方

24、形面积的一 半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐 标、对称轴.例5、已知抛物线y= x2+x-.2 2(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A B,求线段AB的长.【点评】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查，第(2)问主要考查二次函数与 一元二次方程的关系.例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4, 10),交x轴于A(x1,0) , B(x2,0)两点(冷X2)，交y轴负半轴于C点，且满足3A0=0B(1)求二次函数的解析式； 在二次函数的图象上是否存在点 M使锐角/ MC0Z AC0若 存在，请你求出M点的横坐标的

25、取值范围；若不存在，请你说明理由.(1)解：如图抛物线交x轴于点A(X1 , 0) , B(x2 , 0),则 X1 X2=30,又 t X10, X10, / 30A=0B X2=-3x1.2 2 X1 X2=-3x 1 =-3 . X1 =1.x 10,二 X1=-1 . X2=3.点A(-1 , 0), P(4, 10)代入解析式得解得a=2 b=3.二次函数的解析式为 y-2x 2-4x-6 .存在点M使/MC0 AC0解：点A关于y轴的对称点A (1 , 0),直线A, C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0 , -6) , (5 , 24).符合题意的x的范围为-1x0或

26、0x5当点M的横坐标满足-1x0或0x5时，/ MC07AC0例7、 “已知函数y x2 bx c的图象经过点A （c，- 2）, I I2求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无 法辨认的文字。（）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请 写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补 充完整。点评： 对于第（）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式， 就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图

27、象经过点 A（ c，- 2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中 的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是所以所求二次函数解析式为y（2）在解析式中令y=0，得-x22x22 3x3x2.图象如图所示。0，解得 x 3 .5,X2 3 . 5.可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标第（）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考 虑再给图象上的一个任意点的坐标， 等。所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+ . 5,0） ”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3 . 5,0）.令x=

28、3代入解析式，得y 5,22 5所以抛物线y - x 3x 2的顶点坐标为（3,-）,2 25所以也可以填抛物线的顶点坐标为（3, 5）等等。2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实 背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想； 关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE如图），其中AF=2 BF=试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起， 能很好考查学生的综合应用能力同时，也

29、给学生探索解题思路留下了思维空间.例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x （元）？与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x （元）152030y （件）252010若日销售量y是销售价x的一次函数.（1） 求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2） 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ ？此时每日销售利 润是多少元？15k b 25【解析】（1）设此一次函数表达式为 y=kx+b 则 b 解得k=-1，b=40, ?2k b 20即一次函数表达式为y=-x+40 .（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元2 2w= （x-10 ） （40-x） =-x +50x-400=- （x-25） +225.产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为 225元.【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似， 也有区别，主要有