比例解行程问题题库版.docx
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比例解行程问题题库版
比例解行程问题
教学目标
.理解行程问题中的各种比例关系1.
掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．2.
知识精讲
比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一”的角色。
个小学“压轴知识点的得天独厚”从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。
比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们常常会应用比例的工具分析2时间、路程分别用我们将甲、乙的速度、stv,vts,大体可分为以来表示，；；乙乙乙甲，甲甲下两种情况：
1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
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v?
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ss，这里因为时间相同，即t?
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t,所以由甲甲甲甲乙?
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乙甲乙甲s?
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乙乙乙乙甲ssvst内的路程之比等于速度比甲乙在同一段时间得到，，甲甲甲乙?
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vvsv乙乙乙甲2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
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乙乙乙vts上的时间之比等于速，甲乙在同一段路程，得t?
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甲乙?
乙乙甲甲vt乙甲度比的反比。
．
模块一：
比例初步——利用简单倍比关系进行解题
ABA城出发，两城相向而行，、甲车先从甲、乙两车从相距330千米的】1【例5B。
城出发，并且甲车的速度是乙车速度的过一段时间后，乙车才从
6当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出
千米，乙车才出发。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【关键词】2010年，第8届，希望杯，5年级，1试
两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行【解析】驶的路程，可得甲车行驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是5可以知道，当乙车行驶150乙车速度的千米的时候，甲车实际只行驶
65了千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了125?
150?
6180-125=55千米。
【答案】55千米
甲乙两地相距12千米，上午10：
45一位乘客乘出租车从甲地出发前往】【例2乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：
1加上未走路程的2已走路程的倍，恰好等于已走的路程，又知出租车
3的速度是30千米/小时，那么现在的时间是。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
【关键词】2006年，第4届，希望杯，6年级，1试
XX）千米。
12-可设已走路程为千米，未走路程为（【解析】1X-列式为：
XXX=9
=（12-解得：
）×2
3分钟，现在时间是0311:
?
30?
6018?
9【答案】0311:
上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去3】【例追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
画一张简单的示意图：
【解析】图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
注意：
小明第2个4千米，也就是从到的过程中，爸爸一共走12千BA米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．
【答案】8点32分
【巩固】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7:
40，欢欢从家出发骑车去学校，7:
46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:
00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，她调头后速度提高到原来的2倍，【解析】根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了20-6-3-6
=5分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始她追上贝贝用了
6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走14×（6÷4）=21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是7点25分出发的．
【答案】7点25分
ABA地95千米处甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离】4【例B25地相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离
AB两地间的距离？
、千米处相遇．求【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：
【解析】AB两地间距离，第二次相、可以发现第一次相遇意味着两车行了一个AB两地间的距离．当甲、乙两车共行了一、遇意味着两车共行了三个ABAB两、两地间的距离时，甲车行了95个千米，当它们共行三个、地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这AB两地间的距离多25千米，可米285千比一个得、：
95×3-25=285-25=260（千米）．
【答案】260千米
AB两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从【巩固】地铁有，ABA站800，两站同时出发，他们第一次相遇时距米，第二次相遇B站500米.问：
两站相距多远？
时距【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二【解析】次迎面相遇地点，两人共同完成3个全长，一个全程中甲走1段800
米，3个全程甲走的路程为3段800米.画图可知，由3倍关系得到：
AB两站的距离为800×3－500=1900米，
【答案】1900米
ABAB点同时出发点，乙在，是圆的直径的两端，甲在如右图，【巩固】
CDCA已知点第二次相遇.反向而行，两人在点第一次相遇，在离DB有60米，求这个圆的周长.有80米，离
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240米，两人的总路【解析】程和为一周半，又甲所走路程比一周少60米，说明乙的路程比半周多
60米，那么圆形场地的半周长为240-60=180米，周长为180×2=360
米.
【答案】360米
AB两地同时步行出发，相向而行，丙、甲、乙两人从相距490米的5】【例A遇到乙立即返回，遇（出发，在甲、乙二人之间来回跑步与甲同时从
到甲也立即返回）．已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】填空
如图所示：
【解析】假设乙、丙在处相遇，然后丙返回，并在处与甲相遇，此时乙则从DC走处到处．根据题意可知米．由于丙的速度是甲的速度的6E210?
DEC倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从到再AC到的长度是的6倍，那么，，可ADDAD?
3.5ACAD?
AD）?
2?
2.5CD?
（6AD55，那么见所用时间的到．那么丙从到所用的时间是从CCADACCD?
77这段时间内乙、丙所走的路程之和（加）是前一段时间内乙、丙所CECD55，所以，即全程）的走的路程之和（加，而BCAC350490?
?
CD?
CE?
77，可得，．70CECD?
280?
CD?
CE?
DE?
210相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的倍，所以丙的速度是乙的速度的4470?
280?
倍，那么乙的速度为（米/分），即乙每分钟走60米．604?
240?
当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之2103间的距离改变了，变为原来的，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关?
49073系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的，为73米．90?
210?
7【答案】米90AAB两地之间．、地出发，不停地往返行驶于已【巩固】甲、乙两车同时从知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中
C地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
AC这一段路；第二次第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了【解析】CBC地，也地到地再到相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从
BC段．由于两次的总行程相等，2个所以每次乙车走的路程也相就是ACBC的长．而从第一次相遇到第二次相遇之倍的长等于2所以等，AC甲车、速度比等于路程的比，根据时间一定，段，个2甲车走了间，
ACBC?
2:
12，所以甲车的速度是乙车速度的:
22乙车的速度比为倍．
【答案】2倍
【巩固】甲、乙两人同时地出发，在、两地之间匀速往返行走，甲的速BAA度大于乙的速度，甲每次到达地、地或遇到乙都会调头往回走，除BA此以外，两人在之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地AB点距离地米，第三次的相遇点距离地米，那么第二次相遇的8001800BB地点距离地。
B【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】填空
【关键词】2008年，学而思杯，4年级
设甲、乙两人的速度分别为【解析】、全程为，第二次相遇的地点距离地-，Bvsv21米。
x由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达地并B调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相v?
v2s，那么第一次相遇的遇的地点与地的距离为B21v?
s?
s?
1vv?
v?
v2121v?
v；地点到地的距离与全程的比为B21v?
v21两人第一次相遇后，甲调头向地走，乙则继续向地走，这样BB一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到地的距离，即米。
根据上面的分析可知第二次B1800相遇的地点到地的距离与第一次相遇的地点到地的距离的比BBv?
v；类似分析可知，第三次相遇的地点到地的距离与第二为B21v?
v21v?
v800x那么，次相遇的地点到地的距离的比为；B，得到21?
vv?
x180021，故第二次相遇的地点距离地米。
1200x?
1200B【答案】1200AAB两地之间匀速往返行走，甲的、甲、乙两人同时从地出发，在【例】6AB地或遇到乙都会调头往回走，地、速度大于乙的速度，甲每次到达AB之间行走方向不会改变，、除此以外，两人在已知两人第一次相遇BB地800第三次相遇点距离1800米，米，那么第二次相地点距离
B地多少米？
遇的地点距离
【题型】星3【难度】【考点】行程问题之比例解行程
解答
设甲、乙两人的速度分别为sB【解析】，第二次相遇的地点距离、，全程为vv21x米．地B地并调头由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达【解析】B第一次相遇的地点与往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，v?
v2sB地的距离地的距离为，那么第一次相遇的地点到21vs?
?
s?
1vv?
v?
v2121vv?
B地走，乙则继续与全程的比为；两人第一次相遇后，甲调头向21
vv?
21B地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“向全程”为B地的距离，即1800米．根据上面的分析可知第第一次相遇的地点到BB地的距离的比地的距离与第一次相遇的地点到二次相遇的地点到
v?
vB为地的距离与第二次相；类似分析可知，第三次相遇的地点到21
v?
v21v?
v800xB那么；遇的地点到地的距离的比为，得到，故211200?
x?
v?
vx180021B地1200米．第二次相遇的地点距离【答案】1200米
每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相】【例7向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早
7分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70米，张大爷步行速度是每分钟40米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
比平时早7分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚【解析】和张大爷7分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了（70+40）×7=770米，因此小刚比平时早出门770÷70=11分钟．
【答案】11分钟
AB两地同时出发，，3甲、乙两人步行速度之比是∶2，甲、乙分别由【例】8若相向而行，则1时后相遇。
若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
xx千米／时。
由题意可2千米／时和3时。
解：
设甲、乙速度分别为5【解析】．
ABxxxxx－（。
追及时间为53）×1＝5知÷，两地相距（3（千米）＋2x）=5（时）2。
【答案】5时
一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才】【例9能继续通行．已知小汽车的速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度1，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍．如是各自速度的
5果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时?
【考点】行程问题之比例解行程【难度】3星【题型】解答
如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒车的车可立即通过．
99大卡车倒车的路程为小汽车倒车的路程为千米，?
1?
?
4?
7.21.8
4?
14?
1千米．
1小汽车倒车的路程为千米／小时，大卡车倒车的速度为10?
?
50
51110千米/小时?
50?
?
353O.727.2÷10=小时，而行驶过狭路需当小汽车倒车时，倒车需9÷50=0.18小时，共需小时；0.9?
0.72?
0.181050倒车需当大卡车倒车时，而行驶过狭路需小时，?
0.5491.8?
?
?
0.54
33小时，共小时．1.08?
0.54?
0.54显然当小轿车倒车时所需时间最少，需0.9小时．
【答案】0.9小时
一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货。
已知装满货】10【例物每时行50千米，空车每时行70千米。
不计装卸货物时间，9时往返五次。
求甲、乙两地的距离。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
52.5千米。
解：
因为满车与空车的速度比为50∶70＝5∶7，所以9时中【解析】72121，两地距离为（时）满车行的时间为的时间为（千9?
550?
?
?
52.5?
4?
745米）。
【答案】千米52.5．
AB两地之间。
甲车去时的速度为60，甲、乙两车往返于千米／时，返【例11】回时的速度为40千米／时；乙车往返的速度都是50千米／时。
求甲、乙两车往返一次所用时间的比。
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
AB两地相距600。
提示：
设千米。
，25∶24【解析】【答案】25∶24AB地，乙比丙晚出发5甲、乙、丙三辆车先后从分，出发后地开往12】【例
45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。
甲出发后多长时间追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
乙459甲603，75。
分。
提示：
行驶相同路程所需时间之比为：
【解析】?
?
?
?
5010丙甲804【答案】75分
甲火车4分行进的路程等于乙火车5分行进的路程。
乙火车上午8：
00】【例13BAAB站。
上午9站，开出若干分后，甲火车从从：
站开往站出发开往AB两站的距离的比是15∶两列火车相遇，相遇的地点离16，。
甲火00A站发车的时间是几点几分？
车从
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
8点15分。
解：
从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4【解析】AB两站的距离的比是15∶16，而相遇点距，说明相遇前乙，＝15∶1211时所走路程的车所走路程等于乙火车?
?
也就是说已走了，1?
16?
1216?
44时。
所以甲火车发车时间是点分。
158【答案】8点15分
一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，【例14】某人走这三段路所用的时间之比是4∶5∶6。
已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米。
此人走完全程需多长时间？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
20.5时。
提示：
先求出上坡的路程和所用时间。
【解析】【答案】20.5时
【巩固】一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是已知他走平。
4∶5∶6某人骑车走这三段路所用的时间之比是，5∶3∶2．
路时速度为4.5千米／时，全程用了5时。
问：
全程多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
21.25千米。
提示：
先求出走平路所用的时间和路程。
【解析】【答案】21.25千米
BA站，当走到站开往∶4。
乙车先从【巩固】甲、乙两列火车的速度比是5BAB站。
如果两列火车相站发车开往站72离千米的地方时，甲车从ABAB两站之间的距离为多，那么，，4两站距离的比是3∶遇的地方离少千米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
315千米。
解：
从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4【解析】AB两站的距离之比是3∶4＝15∶20＝15∶12，而相遇点距，说明相，20?
1288所以全程为，遇前乙车走的千米占全程的（千米）72315?
72?
?
15?
203535【答案】315千米
【巩固】大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4∶5，两车开出后60分相遇，并继续前进。
问：
大客车比小客车晚多少分到达目的地？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
54分。
解：
大客车还需72【解析】（分）。
大（分）、小客车还需48?
75?
?
6060?
45客车比小客车晚到（分）2748?
75?
【答案】27分
2。
一辆汽车上从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的【例】15
3山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时。
这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
8时。
解：
根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为，所【解析】21:
3用时间比为?
?
?
?
。
因为从甲地到乙地共行7时，所以上4:
32:
?
23?
21:
?
?
2时。
3时，下山用4山用．
如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。
【答案】8时
AB地去，出发后6丙三辆车同时从分甲车超过了一地出发到甲、乙、】【例16名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。
已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
680米。
提示：
先求长跑运动员的速度。
【解析】【答案】680米
ABC地。
甲8点出发，乙8地经点地到45分出发。
甲、乙两人都从17】【例BBC分。
两人刚好同时到达20地9点45分到达地时，甲已经离开乙C地时是什么时间？
地。
问：
到达【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
B地甲用85分，乙用6033分。
解：
到达分，也就是说，甲走8510点【解析】分的路程，乙至少走25分。
由此推知，乙要比甲少走45分，甲要走45C地的时间为10点分。
所以两人同时到33分。
（分）=时332?
85?
153
2510点33分【答案】AA站的距离点整甲车距站开出，10甲、乙两车先后以相同的速度从18】【例AAA站分甲车距站的距离是乙车距是乙车距10站距离的三倍，点10A站出发的？
距离的二倍。
问：
甲车是何时从【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
A站的距离之比30分。
提示：
因为两车速度相同，故甲、乙两车距9点【解析】x分，用车行驶10点时乙车行驶了等于甲、乙两车行驶的时间之比。
设xxx＋10。
（＋10）=3了3分，据题意有2【答案】9点30分
某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：
“后面有骑自行车的19】【例
人吗？
”司机回答：
“10分前我超过一个骑自行车的人。
”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。
如果自行车的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答．
7倍。
提示：
汽车行10分的路程，等于步行10分与骑车20分行的路程【解析】之和。
【答案】7倍
兄弟两人骑马进城，全程51千米。
马每时行12千米，但只能由一个人【例20】骑。
哥哥每时步行5千米，弟弟每时步行4千米。
两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行。
而步行者到达此地，再上马前进。
若他们早晨6点动身，则何时能同时到达城里？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
xx）千米。
51分。
解：
设哥哥步行了－千米，则骑马行了（下午1点45【解析】xx千米。
由哥哥骑马与－而弟弟正好相反，步行了（51）千米，骑马行x=30（千米）解得。
步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程
x51?
x51?
xx所以两人用的时间同为.早晨6点动身，下午1点45?
?
?
512412分到达。
【答案】下午1点45分
模块二：
时间相同速度比等于路程比
ABAB米，甲、乙分别从两地同时出发，结果，、两地相距7200【例21】B地2400米处相遇．如果乙的速度提高到原来的在距3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？
【考点】行程问题之比例解行程【难度】2星【题型】解答
第一种情况中相遇时乙走了2400米，根据时间一定，
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