相似三角形中考专题复习.docx

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相似三角形中考专题复习

相似三角形

——中考专题复习

在《义务教育数学课程标准》中对相似图形的具体要求有：

会利用图形的相似解决一些简单的实际问题等。

模型思想是《数学课程标准（2011版）》新增的核心概念，是近年中考数学考查的要点和热点题型，主要考查建立数学模型解决实际应用问题的能力.其意图是引领学生建立数学与生活的联系，让学生明确数学是解决现实生活和生产实践问题的有效工具，并能利用所学的数学知识解决生活中的实际问题.

关于数学建模与问题解决的中考试题，是把在实际中出现的相关问题从数学的角度去分析和解决，目的是让学生明确数学是解决现实生活和生产实践问题的有效工具.

数学建模与问题解决的中考试题是近年来中考的必考题．其中一类是就是建立几何模型（主要是“相似三角形模型”与“直角三角形模型”）解决问题.它们或以三角形为背景，或以四边形为背景，通常还会与图形变换、平面直角坐标系等知识结合起来，在解决此类问题时，最终要根据题目中的内容抽象成数学问题中相似三角形模型与直角三角形的模型，根据其性质使得问题得到解决．

在近几年的中考中，关于数学建模与问题解决的中考试题，占比都很大，通常结合方程、函数、不等式和几何图形，考查学生数学建模、几何直观、推理能力、运算能力、阅读素养和应用意识.在解决此类问题时，要根据题目中的数据抽象成数学模型问题，根据所学数学知识进行解答．

专题示例：

【例题精讲】

例1:

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家在世界数学史上，也占有杰出的地位.他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝责的数学遗产。

《海岛算经》的体例亦是以应用问题集的形式。

研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。

所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。

此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。

在《海岛算经》中，记载着这样一个问题:

“今有望海岛，立两表，齐高三文，前后相去千步.令后表与前表参相直。

从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。

从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。

问岛高及去表各几何?

”大意是:

在如图所示的示意图中要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD=1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A。

点A、C、F也成一线，从D处退行127步到点G处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A，E，G也成一线，求AH有多少丈，HB有多少步（这

里1步=6尺，1丈=10尺）

解:

根据题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，

∴∠AHF=90°，∠CBF=90°.

∴∠AHF=∠CBF，

∵∠AFB=∠CFB，

∴△CBF∽△AHF

∴

同理可得

∵BF=123,BD=1000,DG=127,

∴HF=HB+123,HG=HB+1000+127=HB+1127.

∴

∴

解，得HB=30750，HA=753

答:

AH为:

753丈，HB为30750步。

专题解析：

在实生活中求高是综合性较强的-类考试试题，其中一种情况就是构建相三角形的模型使问题得到解决。

重点考查把“实际问题中的求距离”抽象成“几图形中的求线段长”，然后根据有关特殊三角形的性质以及相三角形的性质和中位线定等进行解答，解答时，一定要在观察图形的基础上认真分析每一个条件可能得到的结论，同时还要考虑从问的角度出发探手解决问题可用的思路，所以根题意得出△FCB∽△FAH,△EDG∽△AHG解决此题的关键。

例2:

《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题“今有勾五步，股十ニ步，问勾中容方几何?

”其意思为:

“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?

”

解:

如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，

设ED=x，

∵S△ABC=

AC·BC=

AB·CP，

∴12×5=13CP.

∴CP=

∵四边形DGFE是正方形，

∴DG∥AB.

∴△CDG∽△CAB

∴

∴

。

解得

＜

∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是

步。

专题解析：

在实际问题中求距高是综合性较强的一类考试试题，其中一种情况就是构建相似三角形的模型使问题得到解决。

重点考查把“实际问题中的求距离”抽象成“几何图形中的求线段长”，然后根据有关特殊三角形的性质以及相似三角形的性质和中位线定理等进行解答.解答时，一定要在观察图形的基础上认真分析每一个条件可能得到的结论，同时还要考虑从问题的角度出发探寻解决问题可用的思路.解决此类问題常用的思路是通过添加辅助线构造相似三角形.

专题挑战练习：

1.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度。

若标杆BE的高为1.5m。

测得AB=2m。

BC=14m.则楼高CD为m

2.（2018年绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置。

已知AB⊥BD，CD⊥BD。

垂足分别为,D.AO=4m,AB=1.6m.则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）

A、0.2mB、0.3mC、0.4mD、0.5m

3.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示。

其中BA=CD，BC=20cm。

BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm。

为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm。

那么横梁EF应为多长？

（材质及其厚度等暂且忽略不计）

4.如图，为了测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3cm的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合。

小亮的眼睛离地面的高度EF=1.5m，量的CE=2m,EC1=6m,C1E1=3m.

（1）△FDM∽△，△F1D1N∽△

（2）求电线杆AB的高度.

5.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120m，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.

（1）求证:

△AEF∽△ABC;

（2）求这个正方形零件的边长;

（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少?

6.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1:

2，顶部A处的高AC为4m.B、C在同一水平面上.

（1）求斜坡AB的水平宽度BC

（2）若矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高.（

≈2.236，结果精确到0.1m）

【参考答案】

1.12

2.解:

∵AB⊥BD，CD⊥BD

∴∠ABO=∠CDO=90°

∵∠AOB=∠COD。

∴△ABO∽△CDO.

则

∵AO=4m。

AB=1.6m,CO=1m

∴

解得CD=0.4

3.解：

过点C作解:

过点C作CM∥AB，交EF、AD于N、M，作CP⊥AD，交EF、AD于0、P

由题意，得BC∥EF∥AD，

∴四边形ABCM是平行四边形，四边形EBCN是平行四边形.

∴EN=AM=BC=20.

∴MD=AD-AM=50-20=30.

由题意知CP=40，PQ=8，

∴CQ=32

∵EF∥AD，

∴△CNF∽△CMD

∴

即

解，得NF=24.

∴EF=EN+NF=20+24=44.

答：

横梁EF应为44cm.

4.解析：

这道题考查的也是利用图形的相似解决一些简单的实际问题

（1）利用平行线分线段成比倒定理可以得到答案;

（2）利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得BC的长，加上1.5即为AB的高.

解:

（1）FBGF1BG

（2）∵△F1D1N∽△F1BG，∴

∵△FDM∽△FBG，∴

.

∵D1N=DM

∴

，即

.

∴GM=16

∵

∴

∴BC=13.5.∴AB=BG+GA=13.5+1.5=15（m）

答:

电线杆AB的高度为15m

5.解:

（1）证明:

∵四边形EGHF是正方形，

∴EF∥BC.

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.

∴△AEF∽△ABC

（2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D，交EF于点K

∴∠ADC=90°，∠ADB=90°

∵四边形EGHF是正方形

∴EF∥BC、EF=EG，∠EGH=90°

∴∠EKD=∠ADC=90°.

∴AK⊥EF，且四边形EGDK是矩形.

∴EG=KD.

则EF=KD

设EF=xmm，则AK=AD-KD=（80-x）mm.

由

（1）知△AEF∽△ABC，

∴

即

解得x=48

∴这个正方形零件的边长为48mm.

（3）过点A作AD⊥BC，垂足为点D，交于点K，

∴∠ADC=90°，∠ADB=90°.

∵四边形EGHF是矩形，

∴EF∥BC，∠EGH=90°，

∴∠EKD=∠ADC=90°，

∴AK⊥EF，且四边形EGDK是矩形.

∴EG=KD.

设EG=amm，矩形EGHF的面积为ymm2，

则AK=AD-KD=（80-a）mm.

∵EF∥BC

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.

∴△AEF∽△ABC

∴

即

∴EF=

（80-a）

∴y=a·

（80-a）=-

（a-40）2+2400.

∵a=-

＜0.∴当a=40时，y有最大值为2400

答:

这个矩形的最大面积是2400mm2.

6.解:

（1）∵斜坡AB的坡度为i=1:

2，

∴

∵AC=4m.

∴BC=8m.

（2）过点D作BC的垂线，垂足为点H，交AB于点M，

在矩形DEFG中，∠DGM=90°，DG=EF=2m，GF=DE=2.5m

∴∠DGM=∠BHM=90°

∵∠DMG=∠BMH

∴△DMG∽△BMH.

∴坡度

∴GM=1.

∴FM=1.5.DM=

∴BM=FM+BF=5.

在Rt△BHM中，BM2=MH2+BH2，BH=2MH，

∴MH=

∴DH=2

m≈4.5

答:

点D离地面的高是约4.5m