行程问题专题讲义.docx
《行程问题专题讲义.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《行程问题专题讲义.docx(45页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
行程问题专题讲义
专题突破讲义行程专题
行程问题专题
一、前言............................................................................................21、学习行程问题的意义..............................................................................22、学习行程问题的障碍..............................................................................23、学习行程问题的方法..............................................................................24、基础知识列表....................................................................................2二、基础模型化行程问题..............................................................................31、相遇问题........................................................................................32、追及问题........................................................................................53、流水行程问题....................................................................................74、火车行程问题....................................................................................9三、拓展性行程问题.................................................................................111、环形跑道行程问题...............................................................................112、多次相遇行程问题...............................................................................143、时钟问题.......................................................................................154、牛吃草问题.....................................................................................165、电梯问题.......................................................................................176、接送问题.......................................................................................187、狗追兔子问题...................................................................................198、图形行程问题...................................................................................19四、小升初行程问题.................................................................................201、五升六考试题...................................................................................202、小升初考试题...................................................................................24五、竞赛训练.......................................................................................381、希望杯.........................................................................................382、华杯赛.........................................................................................40
1
专题突破讲义行程专题
一、前言
1、学习行程问题的意义
我们任意翻开一套试卷,只要是一套综合的测试,大概就会发现少则一道多则三五道的行程问题。
统计以往成
1都市“小升初”试卷和华奥赛试卷,行程问题一般占试卷分值的左右,都拥有非常显赫的地位,都是命题者偏爱5
的题型。
所以学习好这个专题很重要。
2、学习行程问题的障碍
小学生“行程问题”的学习障碍,主要源于以下几个的原因:
1)行程分类较细,变化较多。
行程问题一般分为:
基础模型化行程问题(如相遇问题、追及问题、流水问题、火车过桥问题、环形路线问题等等);复合型行程问题(如多人同行、走走停停、不断往返等等);拓展性行程问题(如牛吃草问题、爬电梯问题、最短路线问题、最长路线问题、效率问题);特殊行程问题等等。
同时行程跟工程不一样,工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题,但是行程则没有一个关键点可以抓住,因为每一个类型重点都不一样。
比如相遇问题关键要抓住速度和,追击问题则要抓住速度差。
2)行程问题是动态过程进行演绎和推理。
奥数中静态的知识学生很容易学会。
比如:
例1:
数线段,一段线段被均分成4部分,请问一共有多少条线段。
教给学生方法,学生知道了:
1+2+3+4=10段。
如果你把题目变化一下一段线段被均分成100部分,学生会依葫芦画瓢,1+2+3„+100=5050段。
所以静态的奥数知识可以公式化,学生只要理解了,套公式就很容易做出来。
行程的分析是动态的,简单问题,还好办,但稍复杂的问题,理解题意就是第一个难关,弄清楚变化的量之间的关系就更难,建立思考和解题的数学模型就更更难了。
最后得出一个结论:
行程太可怕了~
3)行程是一个壳,可以将许多奥数知识和方法溶含到里面,使得没有学过奥数的同学一筹莫展。
3、学习行程问题的方法
如何把行程问题学好,
首先要有决心:
学好行程问题,参加考试时,你就在用你的长处和别人短处相比,显然您是高人;
其次要有信心:
我们这次的综合练习,将涵盖所有题型和思路,认真学完,理解、练习熟练,您就OK~;
再次要有细心:
听讲要听老师的分析,读题要逐字逐句,思考要严谨,做题更要逐步写出步骤和答语。
更次要有恒心:
数学都是需要多练的,熟才能生巧。
当然,高效的学习是要有方法的,好的方法总是能事半功倍。
比如:
从简单去发现,用规律去解题;能表达就能解题;比加方程,双剑合一,天下无敌;动态分析极端化;不要得意忘形;„„.等等。
有了这些,你就是行程问题高手了。
4、基础知识列表
行程问题数量关系:
路程=速度×时间
基本数量关系:
1、相遇问题:
速度和×相遇时间,相遇路程;
2、追及问题:
速度差×追及时间,路程差;
衍生数量关系:
1、流水问题:
顺水速度,船速,水速逆水速度,船速,水速
静水速度,(顺水速度,逆水速度)?
2
水速,(顺水速度,逆水速度)?
2
关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响;
2、环形路线:
相遇:
速度和×时间=周长;追及:
速度差×时间=周长
3、火车问题:
错车:
速度和×时间=两车长的和;超车:
速度差×时间=两车长的和
(火车过桥,过电杆,追、超人属同一问题)
4、牛吃草问题:
生长:
(牛头数-草生速)×时间=原有草
消失:
(牛头数+草生速)×时间=原有草
5、爬电梯问题:
与电梯同向:
(人速+电梯速)×时间=电梯阶数
与电梯反向:
(人速-电梯速)×时间=电梯阶数
比的应用:
速度比×时间比=路程比(运用比例知识解决复杂的行程问题经常考,而且要考都不简单)
2
专题突破讲义行程专题
二、基础模型化行程问题
【学习提示1】相遇追及的应用题,不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质,究竟考虑速度差,还是考虑速度和,要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”,“两人一前一后”就是“追及”.
【学习提示2】一种解法好不好,首先是“易于思考”,其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢,对不同的解法进行比较,能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
】不要得意忘形。
画出路线图,就是很好地用图形语言表达题意,“能表达,就能解题”,图形【学习提示3
会给你理解题意最直观的形式,也会给你最简单的解题思路。
1、相遇问题
路程和=速度和×相遇时间速度和=路程和?
相遇时间相遇时间=路程和?
速度和
两人是从哪里出发的,两地,,,,是不是同时出发的,同时,,,相遇问题,他们走的方向是怎样,相向,,,
,,运动最后的结果怎样,相遇,
1.李明从甲地到乙地,每小时行5千米,王勇从乙地到甲地每小时行4千米,两人同时出发,在离甲乙两地中点
1千米的地方相遇,求甲乙两地相距多少千米,
2.A、B两地相距259千米,甲车从A地开往B地,每小时行38千米;半小时后,乙车从B地开往A地,每小时
行42千米。
乙车开出几小时后和甲车相遇,
3.甲乙两人上午8时于东村到西村去,甲每小时比乙快6千米,中午12时甲到西村后立即原路返回,在距西村
15千米处遇见乙,求东西两村相距多少千米,
4.甲、乙两车同时从A、B两站相对开出,两车第一次是在离A站50千米处相遇,相遇后两车各自以原来速度继
续行驶,到达B、A站后立即原路返回,第二次是在离B站30千米处相遇。
问:
如此下去,甲、乙两车第三次
相遇在何处,
3
专题突破讲义行程专题
5.有人提出这样一个问题,甲、乙两人同时相对而行,距离为100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米.总
有一个时间会碰面.甲带着一只狗,每小时走10千米,狗走得比人快,同甲一起出发,碰到乙时,它往甲方向走,
碰到甲它又往乙方向走.问:
这只狗一共走了多少千米?
6.小张从甲地到乙地步行需要36分钟,小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发,几分钟后两人
相遇,
7.甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行5
千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多
行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点16千米.求A,B两地距离。
8.如图,从A到B是1千米下坡路,从B到C是3千米平路,从C到D是2.5千米DA上坡路.小张和小王步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是
4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时。
BC问:
(1)小张和小王分别从A,D同时出发,相向而行,问多少时
间后他们相遇,
(2)相遇后,两人继续向前走,当某一个人达到终点时,另一人离终点还有多少千米,
4
专题突破讲义行程专题
2、追及问题
路程差=速度差×追及时间速度差=路程差?
追及时间追及时间=路程差?
速度差1.中巴车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米,两车由同一个车库出发。
已知道中巴车先开出,30分钟
后小轿车顺着中巴车的路线出发,小轿车经过多少时间能追上中巴车,
2.甲、乙两车同时、同地出发去同一目的地,甲车每小时行40千米,乙车每小时行35千米。
途中甲车因故障修
车用了3小时,结果甲车比乙车迟1小时到达目的地。
两地间的路程是多少千米,
3.小华、小丽个小霞三人都要从甲地到乙地,早上6时小华和小丽两人一起从甲地出发,小华每小时走5千米,
小丽每小时走4千米。
小霞上午8时才从甲地出发。
傍晚6时,小华和小霞同到到达乙地。
小霞是在什么时间
追上小丽的,
4.一支队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进。
一个战士因事需从排尾赶到排头,并立即返回排尾。
如果他的
速度是每秒3米,那么,这位战士往返共需多少时间,
5.一辆自行车在前面以固定的速度行进,有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时,要1小时才能追上;如
果速度是35千米/小时,要40分钟才能追上.问自行车的速度是多少,
5
专题突破讲义行程专题
6.小张从家到公园,原打算每分种走50米.为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.问家到公园多远,
7.上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后
爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分,
8.甲、乙两地相距60千米.小王骑车以每小时行10千米的速度上午8点钟从甲地出发去乙地.过了一会儿,小李
骑车以每小时15千米的速度也从甲地去乙地,小李在途中M地追上小王,通知小王立即返回甲地.小李继续骑车
去乙地.各自分别到达甲、乙两地后都马上返回,两人再次见面时,恰好还在M地.问小李是什么时刻出发的?
9.一辆客车和一辆货车同时从相距600千米的两地出发,客车每小时行35千米,货车每小时行50千米,5小时
后两车相距多少千米,
6
专题突破讲义行程专题
3、流水行程问题
V,V,VV,V-V顺船水逆船水
,,,,V,V,V,2V,V,V,2顺顺船逆水逆1.甲乙两码头相距560千米,一只船从甲码头顺水航行20小时到达乙码头,已知船在静水中每小时行驶24千米,
问这船返回甲码头需几小时?
2.轮船以同一速度往返于两码头之间。
它顺流而下,行了8小时;逆流而上,行了10小时。
如果水流速度是每小
时3千米,求两码头之间的距离。
3.一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时,回来时顺水,比去时每时多行驶8千米,因此第2时比第1时多行驶6
千米。
求甲、乙两地的距离。
4.一艘轮船顺流航行120千米,逆流航行80千米共用16时;顺流航行60千米,逆流航行120千米也用16时。
求水流的速度。
7
专题突破讲义行程专题
5.某河有相距45千米的上下两港,每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行,这天甲船
从上港出发掉下一物,此物浮于水面顺水漂下,4分钟后与甲船相距1千米,预计乙船出发后几小时可与此物
相遇。
6.甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去,与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶
来。
7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。
已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米,甲、乙
两船航速相等,求A,B两站的距离。
7.江上有甲、乙两码头,相距15千米,甲码头在乙码头的上游,一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出
发向下游行驶,5小时后货船追上游船。
又行驶了1小时,货船上有一物品落入江中(该物品可以浮在水面上),
6分钟后货船上的人发现了,便掉转船头去找,找到时恰好又和游船相遇。
则游船在静水中的速度为每小时多
少千米,
8.某人乘船逆流而上,在A处不小心将一只水壶掉入水中,船又前行了15分钟后他才发现,立即返回寻找,结果
在离A处3千米的地方找到水壶。
返回寻找水壶一共用了多少分钟,
8
专题突破讲义行程专题
4、火车行程问题
通常,在行程中的运动物体(人或车)是不考虑本身的长度的,但火车的长度不能忽略不计。
A火车从“追上”到“超过”B火车,A的车头比B的车头要多步的距离是:
B车身长+A车身长,因此整个过程所需时间是:
超车时间=(A车身长+B车身长)?
(A车速度-B车速度)
对于“相遇”的两列火车,从“相遇”到“错过”所需时间是:
错车时间=(A车身长+B车身长)?
(A车速度+B车速度)
1.两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米,两车错车时,甲车上一乘客发现:
从乙车
车头经过他的车窗时开始到乙车车尾离开他的车窗时共用了14秒,求:
乙车的车长,
2.有两列火车,一车长130米,每秒行23米;另一列火车长250米,每秒行15米。
现在两车相向而行,从相遇
到离开需要几秒钟,
3.慢车车身长125米,车速每秒17米,快车车身长140米,车速每秒22米,慢车在前,快车在后面从追上到完
全超过需要多少秒,
4.长150米的的火车以每秒18米的速度穿越一条长300米的隧道,问:
火车穿越这条隧道(从入隧道开始到完
全离开)需要多少秒,
5.某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒钟,客车长105米,每小时速
度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米,
9
专题突破讲义行程专题
6.一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行,一列长144米的客车从他身后开来,从他身边通过用了8秒钟,求列车
的速度。
7.甲列车每秒行20米,乙列车每秒行14米,若两列车齐头并进,则甲车行40秒超过乙车;若两列车齐尾并进,则
甲车行30秒超过乙车。
甲列车和乙列车各长多少米,
8.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,两人都以每秒1米的速度相对而行。
一列火车开来,全列车从甲身边
开过用了10秒。
3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒。
火车离开乙多少时间后两人相遇,
9.甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又遇乙,从乙身边开
过,只用了7秒钟,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇,(提示:
设步行速度为每秒1米)
10
专题突破讲义行程专题
5、行程中比的应用路程=速度×时间
知识点:
1.正比:
时间一定,则路程与速度成正比;速度一定,则路程与时间成正比。
(两数的商一定,则这两数成正比)
2、反比:
路程一定,速度与时间成反比。
(函数的积一定,则这两数成反比)
两物运动:
3.时间相同,速度比=路程比。
路程相同,时间比=速度之反比。
比+方程双剑合一
1:
从学校到公园,甲走40分钟,乙走30分钟,丙骑车行20分钟。
照这样的速度计算,三人先后在相同地点出发同向而行,甲在9:
00出发,乙在9:
06出发,丙在什么时候出发,正好他们三人相遇,
2.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,相向而行,出发时他们的速度比是3:
2,他们第一次相遇后,甲的速度提高20%,乙的速度提高30%,这样,当甲到达B地后,乙离A地还有14千米,求A、B两地相距多少千米,
3.A,B两地相距1800米,甲、乙二人分别从A,B两地同时出发,相向而行。
相遇后甲又走了8分到达B地,乙又走了18分到达A地。
甲、乙二人每分钟各走多少米,
三、拓展性行程问题
、环形跑道行程问题1
在环行道路上的行程问题本质上讲就是追及问题或相遇问题。
当二人(或物)反向运动时就是相遇问题,相遇问题是二人从出发到相遇所行路程和。
当二人(或物)同向运动时就是追及问题,追及距离是二人初始距离及环行道路之长的倍数和。
甲乙甲
乙
背向出发同向出发相遇问题追及问题
11
专题突破讲义行程专题
1.两名运动员在沿湖的环行跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发,
45分钟后甲追上了乙。
如果两人同时同地反向而跑,经过多少分钟后两人相遇,
乙
甲
A
2.如图,A、B是圆直径的两端点,亮亮在点A,明明在点B,相向而行。
他们在C点第一次相遇,C点离A点100
米;在D点第二次相遇,D点离B点80米。
求圆的周长。
C
100米
AB
80米
D3.在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发反向而行,6分后两人相遇,再过4分甲到达B点,又过8分
两人再次相遇。
甲、乙环行一周各需要多少分,
BA乙
甲
12
专题突破讲义行程专题
AD甲4.如图,一个边长为100米的正方形跑道。
甲从A点出发,乙从C点出发
都逆时针同时起跑,甲的速度每秒7米,乙的速度每秒5米。
他们拐弯
处都要停留5秒,当甲第一次追上乙时,乙跑了多少米,
乙CB
5.在400米的跑道上有A、B两点相距170米,甲乙同时分别从A、B两点出发,逆时针方向跑步。
每秒钟甲跑5米,乙跑4米,两人每跑100米,都要休息10秒。
甲需多少秒才能追上乙,
6.运动场的跑道一圈长400米,甲骑自行车每分钟490米;乙跑步平均每分钟跑250米。
两人从同一地点同时同向出发,至少经过多少分钟两人又同时到达起点,
7.一个圆的周长为1.44米,两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发,沿圆周相向爬行。
1分钟后它们都调头而行,经过3分钟,它们又调头爬行,依次按照1、3、5、7、„„(连续奇数)分钟调头爬行。
这两只蚂蚁每分钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米,那么,经过多少时间,它们初次相遇,
13
专题突破讲义行程专题
8.甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛,赛道是河中央的长方形ABCD,其中米,AB,80米,已知AD,100
A水流从左到右,速度为每秒1米,甲乙两名选手从处同时出发,甲沿顺时针方向划行,乙沿逆时针方向划行,
CDCDP已知甲比乙的静水速度每秒快1米,(AB、边上视为静水),两人第一次相遇在边上的点,4CPCD,,
那么在比赛开始的5分钟内,两人一共相遇几次,
BC
P
AD
2、多次相遇行程问题
AB1.甲、乙二人分别从、两地同时出发,往返跑步。
甲每秒跑3米,乙每秒跑7米。
如果他们的第四次相遇点
AB与第五次相遇点的距离是150米,求、两点间的距离为多少米,
2007ABAB50%2.电子玩具车与在一条轨道的两端同时出发,相向而行。
已知比的速度快,根据推算,第20072008次相遇点与第2008次相遇点相距58厘米,这条轨道长多少厘米,
14
专题突破讲义行程专题
3、时钟问题
时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。
(1)我们知道