第十五章 平面几何组成分析.docx

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第十五章平面几何组成分析

第十五章平面体系的几何组成分析

知识目标

●掌握平面杆件体系几何组成分析的相关概念

能力目标

●能熟练掌握组成几何不变体系的三个基本规则

第一节本章内容提要

一、基本概念

（一）几何不变体系、几何可变体系、常变体系、瞬变体系的概念

几何不变体系：

在不考虑杆件应变的假定下，在任意荷载作用下，体系的位置和形状是不会改变的体系。

几何可变体系：

在不考虑杆件应变的假定下，在任意荷载作用下，体系的位置和形状是可以改变的体系。

常变体系：

如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。

瞬变体系：

本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系，称为瞬变体系。

（二）刚片、自由度的概念

刚片：

在几何组成分析中，不考虑杆件应变，可以将每一根杆件或体系中几何形状和尺寸不会改变的部分可视为刚体，刚体在平面体系中称为刚片。

自由度：

是指体系运动时所具有的独立运动方式的数目，也就是体系运动时可以独立变化的几何参数数目，或者说是确定体系几何位置所需的独立坐标数目。

（1）一个点在平面上有两个自由度。

（2）一个刚片在平面上有三个自由度。

（3）平面结构的自由度必须小于或等于零（W0）。

（三）约束

用于限制体系运动的装置称为约束，减少一个自由度的装置称为一个约束。

根据约束是否减少体系的实际自由度，可以将约束区分为必要约束和多余约束。

必要约束：

影响体系实际自由度数目增减的约束称为必要约束。

必要约束具有布置合理的特点，用以组成几何不变体系的最少约束都是必要约束。

多余约束：

不改变体系实际自由度的约束称为多余约束。

一根链杆相当于一个约束；一个简单铰相当于两个约束；联结n个刚片的复铰相当于（n-1）个简单铰，相当于2（n-1）个约束；刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三个约束。

瞬铰（或虚铰）：

用两根链杆连接两个刚片时，这两根链杆的约束作用相当于一个单铰，该铰的位置在两杆的交点，称这种铰为瞬铰或虚铰。

两根平行的链杆所起的约束作用相当于无限远处的瞬铰。

（四）二元体

二元体是指由两根不在同一直线上的链杆连接一个新结点的装置。

二、平面杆件体系的计算自由度W

（一）自由度的计算方法

1、取刚片为对象，结点和链杆为约束。

W=3×刚片总数-（3×单刚结点个数+2×单铰结点个数+单链杆数）

2、对铰接链杆体系，取铰结点为对象，链杆为约束。

W=2×铰接点数-单链杆数

（二）由计算自由度得出的结论

1、若W>0，则体系缺乏足够的约束，几何可变。

2、若W=0，则体系具有保证体系几何不变的最少约束数，如果布置得当，没有多余约束，体系将几何不变；如果布置不当，具有多余约束，体系几何可变。

3、若W<0，则体系具有多余约束。

三、平面几何不变体系的组成规则

（一）二刚片规则

两个刚片用不交于一点也不互相平行的三根链杆相联结，则所组成的体系是几何不变的，并且没有多余约束。

（二）三刚片规则

三个刚片用不在同一直线上的三个铰两两铰联，组成的体系是几何不变的，并且没有多余约束。

（三）加减二元体规则

在一个体系上增加二元体或拆除二元体，不改变原体系的几何组成性质。

四、解题方法

（一）一般方法

1、直接根据几何组成分析的三条基本规则分析体系，得出结论。

2、可以先求出计算自由度W，若W>0，则体系为几何可变；若W≤0，应进一步对体系进行几何组成分析，此时W≤0是几何不变体系的必要条件。

（二）灵活地选择基本刚片

刚片可大可小，可以是一根杆、大地或一个三角形，也可以是体系中具有几何不变的部分。

小刚片通过几何不变体系的组成规则，形成新的大刚片。

基本刚片的选取应考虑到刚片之间的连接方式和几何不变体系的形成规则，当一种分析途径不能得到结果时，需重新选择刚片。

几何组成分析的关键问题在于是否恰当地选择了基本刚片。

（三）从几何不变单元开始

对体系进行几何组成分析时，首先找出一个或几个几何不变的单元，再逐步组装扩大成整体：

1、从地基开始。

先从地基开始组成第一个（或几个）几何不变单元，再按组成规则组成整体。

当体系与地基之间的约束多于三个，多从地基出发进行组装。

2、从内部开始。

先从体系内部的一个（或几个）几何不变单元开始，将它们看作基本刚片，再利用组成规则组成整体。

（四）灵活运用

1、利用二元体进行简化。

对能用二元体分析的结构，有时可以用一个基本刚片（如基础或三角形）出发，依次增加二元体，形成扩大的刚片，再选择适当的规律分析；有时也可以先去掉二元体，使体系简化，再用其他规则分析。

2、若某体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，则可以只分析该体系本身，但当体系与基础之间的链杆多于三根时，就需要把基础看成刚片来进行分析。

（五）等效变换

对于不能直接利用规则进行分析的体系，可先作等效变换，即把体系中某个内部无多余约束的几何不变部分用另一个无多余约束的几何不变部分替换，并按原状况保持与其余部分的联系，然后再作分析。

复杂形状（曲线或折线形）的两端为铰的刚片可等效成直链杆；连接两刚片的两根链杆可用其交点处的瞬铰来代替。

（六）三点说明

1、不是所有体系都可以用几何不变体系的组成规则来分析和判断，几何不变体系的组成规则一般用于分析常见的体系。

当体系不能用基本组成规则分析时，可采用其他分析方法如零载法等。

2、作几何组成分析时，体系中的每一部分或每一约束都不可遗漏或重复使用。

3、三个规则中的“铰”，可以是实铰，也可以是瞬铰。

第二节本章题解

例15.1计算图15.1所示几何体系的自由度。

例15.1图

解：

刚片总数如图所示为5个，单刚结点数为0，单铰接点数为4，单链杆数为6，由自由度计算公式：

W=3×刚片总数-（3×单刚结点个数＋2×单铰结点个数＋单链杆数）=3×5-（3×0＋2×4＋6）=1

表明体系具有一个自由度，为几何可变体系。

例15.2计算图15.2所示几何体系的自由度。

例15.2图

解：

图示体系为铰接链杆体系，如图所示，铰接点数为5，单链杆数为11，由自由度计算公式：

W=2×铰接点数-单链杆数=2×5-11=-1，具有1个多余约束。

例15.3计算图15.3所示几何体系的自由度。

例15.3图

解：

如图15.3所示，AG、GH、DE、HE、BE、EF、FC可以分别看作刚片，体系的刚片数为7，单刚结点数为0，7个刚片之间全部为铰接，除E点为相当于3个单铰的复铰外，其余D、F、G、H都是单铰，三个固定铰支座，相当于6根链杆，由公式W=3×刚片总数-（3×单刚结点个数＋2×单铰结点个数＋单链杆数）得：

W=3×7-（3×0＋2×7＋6）=1

表明体系具有一个自由度，为几何可变体系。

例15.4试分析图15.4所示体系的几何组成。

例15.4图

解：

将AB与基础看作刚片Ⅰ，与刚片Ⅱ用铰B、链杆D相连，根据二刚片规则，体系几何不变；将ABC视为一个大刚片与刚片Ⅲ用铰C和链杆E相连，根据二刚片规则，整个体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.5试分析图15.5所示体系的几何组成。

例15.5图

解：

刚片Ⅰ与基础用了A处的两根链杆和链杆B相连，由二刚片规则可知体系几何不变，将ABC视为一个大刚片与刚片Ⅱ用E处的两根支座链杆和链杆CD相连，根据二刚片规则，整个体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.6试分析图15.6所示体系的几何组成。

例15.6图

解：

将图中ACDE看作刚片Ⅰ，将EFB看作刚片Ⅱ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ用铰E和链杆DF相联结，满足二刚片规则，所以刚片Ⅰ和刚片Ⅱ形成一个扩大的刚片ACDEFB，这个扩大的刚片又和基础通过A、B两个支座的三根既不都平行又不交于一点的链杆联结，由二刚片规则，整个体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.7试分析图15.7（a）所示体系的几何组成。

解：

将的构件AEC视为刚片Ⅰ，BFD视为刚片Ⅱ，基础视为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以铰A相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ用铰B相连，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ是通过链杆CD和EF相连，两杆的交点O相当于一个瞬铰，连接三刚片的三个铰A、B、O不在同一直线上，如果15-8（b）所示。

由三刚片规则，该体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.7图

例15.8试分析图15.8（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

例15.8图

解：

将图15.8（a）中的基础视为刚片Ⅰ，BCD视为刚片Ⅱ，AB视为刚片Ⅲ，则此三个刚片用铰A，铰B，及链杆C、D所构成的虚铰O两两相连，并且这三个铰不在同一条直线上，如图15.8（b）所示。

由三刚片规则，该体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.9试分析图15.9（a）所示体系的几何组成。

解：

如图15.9（a）所示，ABC，ADE部分都是由一个铰接三角形依次增加二元体形成的几何不变的部分，故可把ABC刚片Ⅰ，ADE视为刚片Ⅱ，基础视为刚片Ⅲ，则此三个刚片用铰A，支座链杆B和CF形成的虚铰O，及支座链杆E和DF形成的虚铰O‘两两相连，如图15.9（b）所示。

如果铰A和虚铰O，虚铰O‘不在同一条直线上，则此体系为无多余约束的几何不变体系，如果此三铰在同一条直线上，则为瞬变体系。

（a）（b）

例15.9图

例15.10试分析图15.10所示体系的几何组成。

例15.10图

解：

将图15.10中的构件AD、BE、FC视为刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ以链杆AB、DE构成的虚铰OⅠ，Ⅱ相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ以链杆BC、EF构成的虚铰OⅡ，Ⅲ相连，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以链杆AF、DC构成的虚铰OⅠ，Ⅲ相连，如图所示。

连接三刚片的三个虚铰在同一条直线上，由三刚片规则，该体系内部为几何瞬变。

例15.11试分析图15.11（a）所示体系的几何组成。

解：

将图15.11（a）DC视为刚片Ⅰ，BFE视为刚片Ⅱ，基础视为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ以链杆CF、DE构成的虚铰F相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ以链杆AE、支座B的链杆构成的虚铰O相连，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以链杆AD、支座C的链杆构成的虚铰O，相连，如图15.11（b）所示。

连接三刚片的三个虚铰不在同一条直线上，由三刚片规则，该体系为无多余约束的几何不变体系。

（a）（b）

例15.11图

例15.12试分析图15.12（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

例15.12图

解：

将局部不变体系BDF视为刚片Ⅰ，EC视为刚片Ⅱ，基础视为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ以链杆CF、DE构成的虚铰OⅠ，Ⅱ相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ以链杆AE、支座C的链杆构成的虚铰OⅡ，Ⅲ相连，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以链杆AD、支座B的链杆构成的虚铰B相连，如图15.12（b）所示。

连接三刚片的三个虚铰不在同一条直线上，由三刚片规则，该体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.13试分析图15.13所示体系的几何组成。

解：

将基础视为刚片Ⅰ，AB视为刚片Ⅱ，CD视为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ以链杆A和链杆B组成的虚铰A相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ以链杆AD、链杆BC组成的无限远处的虚铰相连，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以链杆C和链杆D组成的虚铰C相连，连接三刚片的三个虚铰不在同一条直线上，由三刚片规则，该体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.13图

例15.14试分析图15.14所示体系的几何组成。

例15.14图

解：

基础与AB由A处和B处的三根链杆相连，由二刚片规则知体系几何不变，再依次增加二元体BDA，二元体BCD等，生成一大刚片Ⅰ，刚片Ⅱ由铰接三角形HGI增加二元体HFG得到，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ用链杆CF、EG、I处的支座链杆相连，但这三根链杆都交于一点H，由二刚片规则可知整个体系为几何瞬变体系。

例15.15试分析图15.15所示体系的几何组成。

例15.15图

解：

将基础视为刚片Ⅰ，BEF视为刚片Ⅱ，EGC视为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ以链杆AE、支座B的链杆构成的虚铰O相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ以铰F相连，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以链杆DG、支座C的链杆构成的虚铰0‘相连，如图所示。

连接三刚片的三个铰不在同一条直线上，由三刚片规则，该体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.16试分析图15.16所示体系的几何组成。

例15.16图

解：

将基础视为刚片Ⅰ，FG视为刚片Ⅱ，DE视为刚片Ⅲ，刚片Ⅰ和刚片Ⅱ以链杆AF、链杆BG构成的虚铰O相连，刚片Ⅱ和刚片Ⅲ以链杆DF、链杆EG构成的虚铰0‘相连，刚片Ⅰ和刚片Ⅲ以链杆AD、链杆CE构成的无限远处的虚铰相连，如图所示。

连接三刚片的三个虚铰不在同一条直线上，由三刚片规则，该体系为无多余约束的几何不变体系。

例15.17试分析图15.17所示体系的几何组成。

例15.17图

解：

刚片AB与基础刚片之间用两铰A、B相连，体系几何不变，且有一个多余约束。

链杆DC和C处的支座链杆用铰C相连且共线，体系为几何可变。

所以整个体系为几何可变体系。

参考文献：

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