《概率论和数理统计》习题三答案解析.docx
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《概率论和数理统计》习题三答案解析
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《概率论与数理统计》习题及答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0123X
Y
10111131110
2
CC3/8
33
2228222
31001111
82228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只
数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0123X
Y
00022
CC3
32
4
C35
7
31
CC2
32
4
C35
7
10112
CCC6
322
211
CCC12
322
31
CC2
32
4
C35
7
4
C35
7
4
C35
7
2P（0黑,2红,2白）=
224
CC/C
227
1
35
121
CCC6
322
4
C35
7
22
CC3
32
4
C35
7
0
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
sin
0,
xsiny,0x
π
0
2
π
y
2
其他.
求二维随机变量（X，Y）在长方形域
0
πππ
x,y内的概率.
463
【解】如图
πππ
P{0X,Y}公式（3.2）
463
ππππππ
F（,）F（,）F（0,）F（0,）
434636
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ππππππ
sinsinsinsinsin0sinsin0sin
434636
2
4
（31）.
题3图
说明：
也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
（3x4y）
Ae,x0,y0,
f（x，y）=
0,.
其他
求：
（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】
（1）由
-（34）
xyA
f（x,y）dxdyAedxdy1
00
12
得A
（2）由定义，有
yx
（,）（,）ddFxyfuvuv
yyuvxy
（34）34
12edudv（1e）（1e）y0,x0,
00
0,其他
0,
（3）P{0X1,0Y2}
P{0X1,0Y2}
12
（3x4y）38
12edxdy（1e）（1e）0.9499.
00
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
k（6
0,
xy）,0x2,2
y
其他
4,
.
（1）确定常数k；
（2）求P{X＜1，Y＜3}；
（3）求P{X<1.5}；
（4）求P{X+Y≤4}.
【解】
（1）由性质有
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24
f（x,y）dxdyk（6xy）dydx8k1,
02
故
R
1
8
（2）
13
P{X1,Y3}f（x,y）dydx
13
02
13
k（6xy）dydx
88
（3）P{X1.5}f（x,y）dxdy如图af（x,y）dxdy
x1.5D
1
127
6.4
dx（6xy）dy.
02
832
P{XY4}f（x,y）dxdy如图bf（x,y）dxdy（4）
XY4D
2
1224x
dx（6xy）dy.
02
83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
5e
0,
5y
y
0,
.
其他
求：
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）P{Y≤X}.
题6图
【解】
（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
1
f（x）0.2
X
0x0.2,
0,.
其他
而
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f（y）
Y
5y
5e,y0,
0,其他.
所以
f（x,y）X,Y独立f（x）f（y）
XY
1
7.
0,
5y5yx且y
5e25e,00.20,
0,其他.
（2）
5y
P（YX）f（x,y）dxdy如图25edxdy
yxD
7.x0.2
8.-5y5x
dx25edy（5e5）dx
000
-1
=e0.3679.
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
（1
0,
e
4xe
）（1
2y
）,
x
0,
y
0,
.
其他
求（X，Y）的联合分布密度.
【解】
f（x,y）
2（,）8e,0,0,
（4x2y）xy
Fxy
xy0,其他.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
4.8y（2x）,0x1,0yx,
0,其他.
求边缘概率密度.
【解】（）（,）d
fxfxyy
X
x
2
4.8y（2x）dy2.4x（2x）,0x1,
=
0
0,其他.
0,
（）（,）d
fyfxyx
Y
1
2
4.8y（2x）dx2.4y（34yy）,0y1,
=
y
0,其他.
0,
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题8图题9图
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
y
e,0xy,
0,
其他
.
求边缘概率密度.
【解】（）（,）d
fxfxyy
X
=
x
0,
yx
edye,x0,
0,其他.
f（y）f（x,y）dx
Y
y
ede,0,yxyxy
yxyxy
=
0
0,其他.
0,
题10图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
2
cx
0,
y,
2
x
y
其他
1,
.
（1）试确定常数c；
（2）求边缘概率密度.
【解】
（1）（,）dd（,）dd
fxyxy如图fxyxy
D
4112
=dxcxydyc1.
2
-1
x21
得
21
c.
4
（2）（）（,）d
fxfxyy
X
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12122124
xydyx（1x）,1x1,2
x
48
0,0,其他.
f（y）f（x,y）dx
Y
y
y
5
217
22
xydxy,0y1,
42
0,0,.
其他
10.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
1,
0,
yx,0
x
1,
.
其他
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题11图
【解】（）（,）d
fxfxyy
X
x
1dy2x,0x1,
x
0,.
其他
1
1dx1y,1y0,
y
1
f（y）f（x,y）dx1dx1y,0y1,
Y
y
0,.
其他
所以
1
f（x,y）,|y|x1,
f（y|x）2x
Y|X
fx
（）0,.
X
其他
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1
yx1,1
y
f（x,y）1
f（x|y）,yx1,
X|Y
f（y）1y
Y
0,.
其他
11.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大
的号码为Y.
（1）求X与Y的联合概率分布；
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X与Y的联合分布律如下表
345
Y
P{Xxi}
X
1
11
3
C10
5
22
3
C10
5
33
3
C10
5
6
10
20
11
3
C10
5
22
3
C10
5
3
10
300
11
2
C10
5
1
10
P{Yyi}
1
10
3
10
6
10
（2）因
6161
P{X1}P{Y3}P{X1,Y3},
101010010
故X与Y不独立
12.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
258
X
Y
9.0.150.300.35
9.0.050.120.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X和Y的边缘分布如下表
Y
X
258P{Y=y
i}
4.90.150.300.350.8
0.80.050.120.030.2
0.20.420.38P{Xxi}
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（2）因P{X2}P{Y0.4}0.20.80.160.15P（X2,Y0.4）,
故X与Y不独立
13.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）=
1/2
y
e
2
0,
y
0,
.
其他
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为a
2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】
（1）因
f（x）
X
1,0x1,
0,其他;
1
f（y）2
Y
0,
y
e2,1,
y
其他.
故
1
f（x,y）X,Y独立f（x）f（y）2
XY
y/2
e0x1,y0,
0,.
其他
题14图
（2）方程
220
aXaY有实根的条件是
2
（2X）4Y0
故X
2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
2
P{XY}f（x,y）dxdy
2
xy
2
1
1xy/2
dxedy
00
2
12[
（1）（0）]
10.
14.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从
同一分布，其概率密度为
f（x）=
1000
2
x
0,
x
1000,
其他.
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求Z=X/Y的概率密度.
X
【解】如图,Z的分布函数F（z）P{Zz}P{z}
Z
Y
（1）当z≤0时，（）0
Fz
Z
（2）当01000
z
）（如图a）
66
1010
yz
F（z）dxdydydx
3
Z10
221022
3
xyxyxz
y
z
36
1010
=dy
3
1023
yzy
z
z
2
题15图
（3）当z≥1时，（这时当y=10
3时，x=103z）（如图b）
661010
zy
F（z）dxdydydx
Z22101022
33
xyxyx
y
z
36
10101
=dy1
233
10yzyz
2
1
1,z1,
2z
即
z
f（z）,0z1,
Z
2
0,其他.
1
2
2z
z1,
故
1
f（z）,0z1,
Z
2
0,其他.
15.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20
2）分布.随机地选取4只，
求其中没有一只寿命小于180的概率.
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【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N（160，20
2），
从而
P{min（X,X,X,X）180}Xi之间独立P{X180}P{X180}
123412
P{X180}P{X180}
34
[1P{X180}][1P{X180}][1P{X180}][1P{X180}]
1234
4180160
4
[1P{X180}]1
1
20
44
[1
（1）]（0.158）0.00063.
16.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=p（k），k=0，1，2，⋯，
P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，⋯.
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
i
P{Z=i}=p（k）q（ik），i=0，1，2，⋯.
k0
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，
所以
{Zi}{XYi}
{X0,Yi}{X1,Yi1}{Xi,Y0}
于是
ii
P{Zi}P{Xk,Yik}X,Y相互独立P{Xk}P{Yik}
k0k0
i
p（k）q（ik）
k0
17.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参
数为2n，p的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为0，1，2，⋯，2n.
k
P{XYk}P{Xi,Yki}
i0
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k
P（Xi）P{Yki}
i0
i
k
0
nn
inikinki
pqpq
iki
i
k
0
nn
iki
k2nk
pq
2n
k
k2nk
pq
方法二：
设μ1,μ2,⋯,μn;μ1′,μ2′,⋯，μn′均服从两点分布（参数为p），则
X=μ1+μ2+⋯+μn，Y=μ1′+μ2′+⋯+μn′,
X+Y=μ1+μ2+⋯+μn+μ1′+μ2′+⋯+μn′,
所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.
18.设随机变量（X，Y）的分布律为
012345
X
Y
000.010.030.050.070.09
10.010.020.040.050.060.08
20.010.030.050.050.050.06
30.010.020.040.060.060.05
（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；
（2）求V=max（X，Y）的分布律；
（3）求U=min（X，Y）的分布律；
（4）求W=X+Y的分布律.
【解】
（1）
P{X2|Y2}
P{X2,Y2}
P{Y2}
P{X2,Y2}0.051
5
11.2
P{Xi,Y2}
i0
P{Y3|X0}
P{Y3,X0}
P{X0}
3
P{X0,Y3}0.011
10.3
P{X0,Yj}
;
j0
（2）P{Vi}P{max（X,Y）i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
i1i
PXiYkPXkYii0,1,2,3,4,5
{,}{,},k0k0
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所以V的分布律为
V=max（X,Y012345
）
P00.040.160.280.240.28
（3）P{Ui}P{min（X,Y）i}
P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
35
P{Xi,Yk}P{Xk,Yi}
i0,1,2,3,
kiki1
于是
U=min（X,Y）0123
P0.280.300.250.17
（4）类似上述过程，有
W=X+Y012345678
P00.020.060.130.190.240.190.120.05
19.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；
（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.
题20图
【解】因（X，Y）的联合概率密度为
1
2
f（x,y）πR
222
xyR,
0,其他.
（1）
P{Y0|YX}
P{Y0,YX}
P{YX}
f（x,y）d
y0
yx
f（x,y）d
yx
1πR
drdr
2
π/40
π
R5
1π
R
4
2
drdr
π/40R
π
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3/83
1/24
;
（2）P{M0}P{max（X,Y）0}1P{max（X,Y）0}
13
1P{X0,Y0}1f（x,y）d1.
44x0y0
20.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e
2
所围成，二维随机变量（X，Y）
在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
题21图
【解】区域D的面积为
21
e
2
e
Sdxlnx2.
（X,Y）的联合密度函数为
01
1
x
11
2
1xe,0y,
f（x,y）2x
0,其他.
（X，Y）关于X的边缘密度函数为
11
1/x2
dy,1xe,
fx0x
（）22X
0,其他.
所以
f
X
1
（2）.
4
21.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和
Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
X
Y
y1y2y3P{X=xi}=p
i
x11/8
x2
1/8
P{Y=yj}=pj1/61
2
【解】因
P{Yyj}PjP{Xxi,Yyj},
i1
故P{Yy1}P{Xx1,Yy1}P{Xx2,Yy1},
从而
111
P{Xx,Yy}.
11
6824
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