《概率论和数理统计》习题三答案解析.docx

1、概率论和数理统计习题三答案解析WORD 格式.整理版概率论与数理统计习题及答案习题三1. 将一硬币抛掷三次， 以 X表示在三次中出现正面的次数， 以 Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 . 试写出 X和 Y的联合分布律 .【解】 X和 Y的联合分布律如表：0 1 2 3 XY1 0 1 1 1 1 3 1 1 1 02C C 3/ 83 32 2 2 8 2 2 23 1 0 0 1 1 1 18 2 2 2 82. 盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X表示取到黑球的只数，以 Y表示取到红球的只数 . 求 X和 Y的联合分布律 .【解

2、】 X和 Y的联合分布律如表：0 1 2 3 XY0 0 0 2 2C C 33 2 4C 3573 1C C 23 24C 3571 0 1 1 2C C C 63 2 22 1 1C C C 123 2 23 1C C 23 24C 3574C 3574C 3572 P(0 黑,2 红,2 白)=2 2 4C C / C2 2 71351 2 1C C C 63 2 24C 3572 2C C 33 24C 35703. 设二维随机变量（ X，Y）的联合分布函数为F（x，y） =sin0,xsin y, 0 x,02y2其他.求二维随机变量（ X，Y）在长方形域0 x , y 内的概率 .

3、4 6 3【解】 如图 P0 X , Y 公式(3.2) 4 6 3 F ( , ) F( , ) F (0, ) F (0, )4 3 4 6 3 6优质.参考.资料WORD 格式 .整理版 sin sin sin sin sin 0 sin sin 0 sin 4 3 4 6 3 624( 3 1).题3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4. 设随机变量（ X，Y）的分布密度 (3x 4 y) Ae , x 0, y 0,f （x，y）=0, .其他求：（1） 常数 A；（2） 随机变量（ X，Y）的分布函数；（3） P0 X1，0 Y2.【解】（1） 由-(3 4 )x y Af

4、( x, y)dxdy Ae dxdy 10 012得 A（2） 由定义，有y x( , ) ( , )d d F x y f u v u vy y u v x y (3 4 ) 3 412e dudv (1 e )(1 e ) y 0,x 0,0 00, 其他0,(3) P0 X 1,0 Y 2P0 X 1,0 Y 21 2(3 x 4y ) 3 812e dxdy (1 e )(1 e ) 0.9499.0 05. 设随机变量（ X，Y）的概率密度为f （x，y）=k(60,x y), 0 x 2, 2y其他4,.（ 1） 确定常数 k；（ 2） 求 P X1，Y 3 ；（ 3） 求 P

5、X1.5 ；（ 4） 求 P X+Y 4.【解】（1） 由性质有优质 .参考 .资料WORD 格式 .整理版2 4f ( x, y )dxdy k(6 x y)dydx 8k 1,0 2故R18（2）1 3P X 1,Y 3 f (x, y )dydx1 30 21 3 k(6 x y )dydx8 8(3) P X 1.5 f (x, y)dxdy如图a f (x, y )dxdyx 1.5 D11 276. 4dx (6 x y)d y .0 28 32P X Y 4 f (x, y)dxdy如图b f (x, y)dxdy (4)X Y 4 D21 2 2 4 xdx (6 x y)d

6、y .0 28 3题5 图6.设X和 Y是两个相互独立的随机变量， X在（ 0，0.2 ）上服从均匀分布， Y的密度函数为f Y（y）=5e0,5y,y0,.其他求：（1） X与 Y的联合分布密度；（ 2） PY X.题6 图【解】（1） 因 X在（ 0，0.2 ）上服从均匀分布，所以 X的密度函数为1f (x) 0.2X, 0 x 0.2,0, .其他而优质.参考 .资料WORD 格式.整理版f ( y)Y5 y5e , y 0,0, 其他.所以f (x, y) X ,Y独立f (x) f ( y)X Y17.0,5y 5 y x 且y5e 25e , 0 0.2 0,0, 其他.(2)5y

7、P(Y X) f (x, y)dxdy如图 25e dxdyy x D7. x 0.28. -5y 5xdx 25e dy ( 5e 5)d x0 0 0-1=e 0.3679.7. 设二维随机变量（ X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=(10,e4x e)(12 y),x0,y0,.其他求（X，Y）的联合分布密度 .【解】f (x, y)2 ( , ) 8e , 0, 0,(4 x 2 y) x yF x yx y 0, 其他.8. 设二维随机变量（ X，Y）的概率密度为f （x，y）=4.8y(2 x), 0 x 1,0 y x,0, 其他.求边缘概率密度 .【解】 ( ) ( , )d

8、f x f x y yXx2 4.8y(2 x)dy 2.4x (2 x), 0 x 1,=00, 其他.0,( ) ( , )df y f x y xY12 4.8 y(2 x)d x 2.4 y(3 4y y ), 0 y 1,=y0, 其他.0,优质.参考.资料WORD 格式.整理版题 8 图 题 9 图8. 设二维随机变量（ X，Y）的概率密度为f （x，y）=ye , 0 x y,0,其他.求边缘概率密度 .【解】 ( ) ( , )df x f x y yX=x0,y xe dy e , x 0,0, 其他.f (y) f (x, y )dxYye d e , 0, y x y x

9、 yy x y x y=00, 其他.0,题 10 图9. 设二维随机变量（ X，Y）的概率密度为f （x，y）=2cx0,y,2xy其他1,.（1） 试确定常数 c；（2） 求边缘概率密度 .【解】（1） ( , )d d ( , )d d f x y x y如图 f x y x yD4 1 1 2= dx cx ydy c 1.2-1x 21得 21c . 4(2) ( ) ( , )df x f x y yX优质.参考.资料WORD 格式.整理版1 21 2 21 2 4x ydy x (1 x ), 1 x 1, 2x4 80, 0, 其他.f (y) f ( x, y )dxYyy5

10、21 72 2x ydx y , 0 y 1,4 20, 0, .其他10. 设随机变量（ X，Y）的概率密度为f （x，y） =1,0,y x, 0x1,.其他求条件概率密度 f YX（yx），f XY（xy）.题 11 图【解】 ( ) ( , )df x f x y yXx1dy 2x, 0 x 1,x0, .其他11dx 1 y, 1 y 0,y1f ( y) f ( x, y )dx 1dx 1 y, 0 y 1,Yy0, .其他所以1f (x, y) , | y| x 1,f ( y | x) 2xY|Xf x( ) 0, .X其他优质.参考.资料WORD 格式.整理版1, y x

11、 1, 1yf (x, y) 1f (x | y) , y x 1,X|Yf ( y) 1 yY0, .其他11. 袋中有五个号码 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为 X，最大的号码为 Y.（1） 求 X与 Y的联合概率分布；（2） X与 Y是否相互独立？【解】（1） X与 Y的联合分布律如下表3 4 5YP X xi X11 13C 1052 23C 1053 33C 1056102 01 13C 1052 23C 1053103 0 01 12C 105110PY yi 110310610(2) 因6 1 6 1P X 1 PY 3 P X 1,Y 3,10 10

12、 100 10故 X与 Y不独立12. 设二维随机变量（ X，Y）的联合分布律为 2 5 8XY9. 0.15 0.30 0.359. 0.05 0.12 0.03（1）求关于 X和关于 Y的边缘分布；（2） X与 Y是否相互独立？【解】（1）X和 Y的边缘分布如下表YX2 5 8 PY=yi 4.9 0.15 0.30 0.35 0.80.8 0.05 0.12 0.03 0.20.2 0.42 0.38 P X xi 优质.参考.资料WORD 格式 .整理版(2) 因 P X 2 PY 0.4 0.2 0.8 0.16 0.15 P( X 2,Y 0.4),故 X与 Y不独立13. 设 X

13、和 Y是两个相互独立的随机变量， X在（ 0，1）上服从均匀分布， Y的概率密度为f Y（y）=1 / 2ye20,y0,.其他（1）求 X和 Y的联合概率密度；（2） 设含有 a 的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 .【解】（1） 因f (x)X1, 0 x 1,0, 其他;1f (y) 2Y0,ye 2 , 1,y其他 .故1f ( x, y)X,Y独立 f (x) f ( y) 2X Yy / 2e 0 x 1,y 0,0, .其他题14 图(2) 方程2 2 0a Xa Y 有实根的条件是2(2 X ) 4Y 0故 X2 Y，从而方程有实根的概率为：2P X Y

14、f (x, y )dxdy2x y211 x y/ 2dx e dy0 021 2 (1) (0)10.14. 设 X和 Y分别表示两个不同电子器件的寿命 （以小时计） ，并设 X和 Y相互独立， 且服从同一分布，其概率密度为f （ x）=10002x0, x1000 ,其他 .优质.参考 .资料WORD 格式 .整理版求 Z=X/ Y的概率密度 .X【解】 如图, Z的分布函数 F (z) PZ z P zZY(1) 当 z 0 时， ( ) 0F zZ（2） 当 0z1 时，（这时当 x=1000 时, y=1000z）( 如图a)6 610 10yzF (z) dxdy dy dx3Z

15、10 2 2 10 2 23x y x y x zy z3 610 10= dy310 2 3y zyzz2题15 图(3) 当 z 1 时，（这时当 y=103 时， x=103z）（如图b）6 6 10 10zyF (z) dxdy dy dxZ 2 2 10 10 2 23 3x y x y xy z3 610 10 1= dy 12 3 310 y zy z211 , z 1,2z即zf ( z) , 0 z 1,Z20, 其他.122z, z 1,故1f ( z) , 0 z 1,Z20, 其他.15. 设某种型号的电子管的寿命 （以小时计） 近似地服从 N（ 160，202）分布

16、. 随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于 180 的概率 .优质.参考 .资料WORD 格式 .整理版【解】 设这四只寿命为Xi ( i =1,2,3,4) ，则Xi N（160，202），从而Pmin( X , X , X , X ) 180 Xi之间独立 PX 180 P X 1801 2 3 4 1 2P X 180 P X 1803 41 P X 180 1 P X 180 1 P X 180 1 P X 1801 2 3 44 180 16041 P X 180 11204 41 (1) (0.158) 0.00063.16. 设 X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P X

17、=k= p（k），k=0， 1，2， ，P Y=r = q（r ），r =0，1，2， .证明随机变量 Z=X+Y的分布律为iP Z=i = p(k) q(i k) ，i =0，1，2， .k 0【证明】 因 X和 Y所有可能值都是非负整数，所以 Z i X Y i X 0,Y i X 1,Y i 1 X i,Y 0于是i iP Z i P X k,Y i k X ,Y相互独立 P X k PY i kk 0 k 0ip(k )q(i k)k 017. 设 X，Y是相互独立的随机变量， 它们都服从参数为n，p 的二项分布 . 证明 Z=X+Y服从参数为2n，p 的二项分布 .【证明】 方法一：

18、 X+Y可能取值为0，1，2， ， 2n.kP X Y k P X i,Y k ii 0优质.参考 .资料WORD 格式 .整理版kP( X i) PY k ii 0ik0n ni n i k i n k i p q p qi k iik0n ni k ik 2n kp q2nkk 2n kp q方法二：设 1, 2, , n; 1, 2, ， n均服从两点分布（参数为 p），则X=1+2+ + n，Y=1+2+ + n,X+Y=1+2+ + n+1+ 2+ + n,所以， X+Y服从参数为（ 2n, p) 的二项分布 .18. 设随机变量（ X，Y）的分布律为 0 1 2 3 4 5XY0

19、0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05(1) 求 P X=2Y=2 ，P Y=3X=0 ；（ 2） 求 V=max（X，Y）的分布律；（ 3） 求 U=min（X，Y）的分布律；（ 4） 求 W=X+Y的分布律 .【解】（1）P X 2 |Y 2P X 2,Y 2PY 2P X 2,Y 2 0.05 1511. 2P X i ,Y 2,i 0PY 3| X 0PY 3, X 0P X 03P X

20、0,Y 3 0.01 110. 3P X 0,Y j;j 0（2） PV i Pmax( X ,Y) i P X i,Y i P X i,Y ii 1 iP X i Y k P X k Y i i 0,1,2,3,4,5 , , , k 0 k 0优质.参考 .资料WORD 格式.整理版所以 V的分布律为V=max(X, Y 0 1 2 3 4 5)P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3) PU i Pmin( X ,Y) iP X i,Y i P X i ,Y i3 5P X i,Y k P X k,Y ii 0,1,2,3,k i k i 1于是U=min( X, Y

21、) 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17(4) 类似上述过程，有W=X+Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.0519. 雷达的圆形屏幕半径为 R，设目标出现点（ X，Y）在屏幕上服从均匀分布 .（1） 求 P Y0YX ；（2） 设 M=maxX，Y ，求 P M0.题 20 图【解】 因（X，Y）的联合概率密度为12f (x, y) R2 2 2, x y R ,0, 其他.（1）PY 0 |Y XPY 0,Y XPY Xf (x, y)dy 0y xf (x, y)dy x1 Rd rd

22、r2/ 4 0R 51 R4 2d rdr/ 4 0 R优质.参考.资料WORD 格式.整理版3/8 31/ 2 4;(2) P M 0 Pmax( X ,Y) 0 1 Pmax( X ,Y) 01 31 P X 0,Y 0 1 f (x, y)d 1 .4 4 x 0 y 020. 设平面区域 D由曲线 y=1/ x 及直线 y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（ X，Y）在区域 D上服从均匀分布，求（ X，Y）关于 X的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？题 21 图【解】 区域 D的面积为2 1e2eS dx ln x 2.（X, Y）的联合密度函数为0 11x1 12, 1

23、x e ,0 y ,f ( x, y) 2 x0, 其他.（X，Y）关于 X的边缘密度函数为1 11/ x 2dy , 1 x e ,f x 0 x( ) 2 2 X0, 其他.所以fX 1(2) . 421. 设随机变量 X和 Y相互独立，下表列出了二维随机变量（ X，Y）联合分布律及关于 X和Y的边缘分布律中的部分数值 . 试将其余数值填入表中的空白处 .XYy1 y2 y3 P X=xi = pix1 1/8x21/8P Y=yj = pj 1/6 12【解】因PY yj Pj P X xi ,Y yj ,i 1故 PY y1 P X x1,Y y1 P X x2 ,Y y1,从而1 1 1P X x ,Y y .1 16 8 24优质.参考