排列组合组合练习题精心总结.docx

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排列组合组合练习题精心总结

排列组合教案

1•分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有mi种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

Nmi|m2Lmn

种不同的方法.

例：

1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A大学里有4种他所感兴趣的专业，在

B大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种选择

2.一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二

种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是

2•分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有mi种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

Ngm2Lmn

种不同的方法.

例：

1.从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村到C村,不同的线路种数是

2•设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法

3.从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确

定不同点的个数是;

3•分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.

例：

1•书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

（1）从书架中任意取一本书，有多少种取法

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法

2•现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问:

（1）从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法

（2）从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法

A（n,m）表示。

排列的个数用A：

表示。

当m=n时

排列定义从n个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取m个的无重排列。

排列的全体组成的集合用

称为全排列。

1•要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种挂法

2•从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法

3•从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名，并按排列的顺序出场比赛，有多少种不同的方法

组合定义从n个不同元素中取m个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，

称为从n个中取m个的无重组合。

组合的全体组成的集合用C（n,m）表示，组合的个数用

表示.

（2）组合数公式

1.

（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条

（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条

2•在一100件产品中，有98件合格品,

2件次品，从这100件产品中任意抽出

3件,

1件是次品的抽法有多少种

1件是次品的抽法有多少种

排列数、组合数的性质：

①cmc：

m；

②

③

Cr

r

C：

1C：

2

c,c：

；.

mm

CnCn1

m1Cn1

2

例：

1.C6

2.C53

C64

C72c8

；2.C；

，C85

c3

C43C53

C33

7C8

解排列组合问题的方法有：

一：

特殊元素先排列：

（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：

先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：

先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

1.（1995年上海高考题）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种.

2.（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛,

3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.

3•某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二

节，则不同排课方案种数为_____;

4.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案

5.从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案

6.用0,1,2,3,4,5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数个；

7.用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的

外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，

不可用于办公室内，则不同的装饰效果有种；

9.A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的顶点共10个点，以这些

点为顶点，可以构成—个三角形；

10.用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻

区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法；

11•如图5:

四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿

图5

12•将一四棱锥（图6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）

13.给图中区域涂色，要求相邻区域不同色

二：

相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。

1•把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为；

2.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种3•有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种.（结果用数值表示）

4.代B,C,D,E五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（）

A、60种B、48种C、36种D、24种

三：

不相邻问题插空法：

（可先把无位置要求的几个兀素全排列，再把规定的相离的几个兀

素插入上述几个元素的空位和两端•）

1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种

3一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出

场顺序有多少种

2.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相

令邻，5与6相邻，而7与8不相邻。

这样的八位数共有（）个.（用数字作答）

四：

可重复的排列求幕法：

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的

约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方

法.

1•把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法

2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；

五：

有序问题组合法

1.学号为1,2,3,4的四名学生的考试成绩Xi{89,90,91,92,93}（i1,2,3,4）且满足

人X2X3X4，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有种；

2.设集合A1,2,3,4,5,6,7,8，对任意xA，有f

（1）f

（2）f（3），则映射f:

AA

的个数是;

3.离心率等于logpq（其中1p9,1q9且p,qN*）的不同形状的的双曲线的个数

为。

六：

定序问题缩倍法：

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种B、60种C、90种D、120种

个人排队，甲、乙、丙三人按甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种

个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，

有多少种排法。

4.由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）

A、210种B、300种C、464种D600种

七：

“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不

同的取法共有（）A、140种B、80种C70种D、35种

2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有种

八：

多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分

别计数再相加。

1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放.那么不同的实验方案共有

种；

2•某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门•其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有种；

九：

阁板法，名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组

至少一份，分成n份，需要n-1个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后再做）

1.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案

个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发每人至少两个呢

4•有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少

编号数，问有多少种不同的方法（c26）

十.（不同物品）分组问题：

要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别

忘除以n!

。

1•本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法

2•把6个不同苹果平均分成三堆，一共有种分法•

3•把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有种分法•

4.把6个不同的苹果分成4堆，一共有种分法.

5•把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有种分法•

本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法

名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种

本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）

A、480种B、240种C、120种D、96种

9•某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有

（）

444444443GfCQ：

A、c：

2C；c4种B、3G：

C；C：

种c、C12C8A3种D、A3种

12.如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有

十一：

选排问题先取后排：

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上,

可用先取后排法•

1•如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是

2•四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种

名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方

法

十二：

标号排位问题分步法：

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成

1•将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）

A、6种B、9种C、11种D、23种

2•同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿分配方式有种；

3•设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖

盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有种

4•设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同

的方法

十三：

多排问题单排法：

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

1•如若2n个学生排成一排的排法数为X，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排

法数为y，则x,y的大小关系为；

2.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）

A、36种B、120种C720种D、1440种

个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在

后排，有多少种不同排法

十四：

圆排问题单排法：

把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是

相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：

ai,a2,a3L耳总赴厶,L,an,L;an,ai丄,an1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，

故认

为相同，n个元素的圆排列数有n!

种•因此可将某个元素固定展成单排，其它的n1元素全

n

排列•

1•有5个人站成一圈，一共有多少种站法

1•有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法

十五：

排除法，部分合条件问题排除法：

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数

中减去不符合条件数，即为所求•

1•以正方体的顶点为顶点的四面体共有（

）

D、52种

A、70种B、64种

C58种

2•四面体的顶点和各棱中点共

10点，在其中取

4个不共面的点，不冋的取法共有（

）

A、150种B、147种

C、144种

D、141种

3•如在平面直角坐标系中，由六个点（0,0）,（1,2）,（2,4）,（6,3）,（-1,—2）,（-2,—1）可以确定

三角形的个数为。

3.有五张卡片，它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三

张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书

十六：

已排好元素中新增元素增位排列法

1•在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中

插入方法

2•某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。

如果将这

两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为。

3•如

（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，

有种不同的放法；

二项式定理:

b）n

0n1n1J

CnaCnab

C；an2b2…C；ankbk.

••C：

bn（nN

1.（x

5

y）的展开式为

2.（x

y）的展开式为

3.（x

2y）7的展开式为

4•设n

N*,化简17C1

72c273Cn7ncn

;

5•设n

N*,化简C：

C；

6C^62Cn6n1

;

C0

Cn

12n

CnCn・・・Cn

2n

（a

例:

y）7的展开式中，每项的系数和为

）■

（全国1/13）（xy）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于

（全国2/13）x；yy、-x的展开式中x3y3的系数为

5.（2008全国n卷理）（1Vx）6（1'、X）4的展开式中x的系数是（）

A.4B.3C.3D.4

342

6.（2008四川理）12x1x展开式中x的系数为。

题型二：

求常数项

1.（四川13）（2x

2.（2008山东理）（

16

）6的展开式的常数项是2x

1

X-1）12展开式中的常数项为（）

3x

（用数字作答）

（A）-1320

（B）1320

（D）220

（全国I卷理科第10题）

（x2

（C）-220

1

-）n的展开式中，常数项为15，则n=（

x

A.3

B.

C.5

D.

（安徽理科第

（湖北理科第

）

A.3

3

12题）若3x

1题）如果3x2

B.5

C.

6.（全国n卷理科第13题）（1

答）

n

的展开式中含有常数项，则最小的正整数

2x2）

的展开式中含有非零常数项，则正整数

D.10

18的展开式中常数项为

x

n等于

n的最小值为

•（用数字作

1

4'）10展开式中的常数项为（

4x

C.4245

题型三：

求展开式的系数或二项式系数

1.（2008福建理）若（x-2）5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+ao,则a什a2+a3+a4+a5=.（用数字作答）

1

2.（重庆理科第4题）若（x-）n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（）

x

A.10.20C

的常数项为（用数字作答）

5•（湖南10）在（1x）3（1JX）3（1和的展开式中，x的系数为（用数字作答）

88

6.（2008安徽文、理）设（1x）aoa/La$x,则ao,a1,L,a8中奇数的个数为（）

A•2B.3C.4D.5

1

7.已知（

2，贝Un是

3^2'

、a

（）

8.设（x）aaxaxLax，贝Ua10a11=.

题型四：

1、4141被7除所得的余数是;

99

2、81被9除的余数为（）

（A）7（B）—2（C）8（D）—1

91

3、91除以100的余数是（）

（A）1

（B）90

（C）91

（D）9

（1）有多少种不同的抽法

（2）抽出的3件中恰好有

（3）抽出的3件中至少有

8.（2008广东理）已知（1kx）（k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120,贝Uk=.

7.（2008江西理）（1+3X）6（1+

B.46