排列组合组合练习题精心总结.docx

1、排列组合组合练习题精心总结排列组合教案1分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 mi种不同的方法， 在第2类办法中有 m2种 不同的方法，在第n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N mi| m2 L mn种不同的方法.例：1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在 A大学里有4种他所感兴趣的专业，在B大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种 选择2.一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有 4人只会用第二种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是 2分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需

2、要分成n个步骤，做第1步有mi种不同的方法，做第2步有m2种不同的 方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N g m2 L mn种不同的方法.例：1.从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村到C村, 不同的线路种数是 2设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛， 共有多少种不同的选法3.从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标， 则在直角坐标系中能确定不同点的个数是 ;3分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事

3、件的一个阶段，不能完成整个事件.例：1书架的第一层放有 4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第 3层放有 2本不同的体育书.(1)从书架中任意取一本书，有多少种取法(2) 从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法2现有高一年级的学生 3名，高二年级的学生 5名，高三年级的学生 4名，问:(1)从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法(2)从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法A(n,m)表示。排列的个数用 A：表示。当m=n时排列定义 从n个不同的元素中，取m个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取m 个的无重排列。排列的全体组成的集合

4、用称为全排列。1要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出 2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共 有多少种挂法2从5本不同的书中选出 3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法3从参加乒乓球团体比赛的 5名运动员中选出 3名，并按排列的顺序出场比赛， 有多少 种不同的方法组合定义 从n个不同元素中取 m个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取m个的无重组合。组合的全体组成的集合用 C(n,m)表示，组合的个数用表示. (2)组合数公式1.( 1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条2

5、在一 100件产品中，有98件合格品,2件次品，从这100件产品中任意抽出3件,1件是次品的抽法有多少种1件是次品的抽法有多少种排列数、组合数的性质： cm c：m ；CrrC：1 C：2c, c：；.m mCn Cn 1m 1 Cn 12例：1.C62.C53C64C72 c8；2.C；，C85c3C43 C53C3 37 C8解排列组合问题的方法有：一：特殊元素先排列：（1）特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。1. （1995年上海高考题）1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若

6、老师不排在两端， 则共有不同的排法 种.2. （2000年全国高考题）乒乓球队的 10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7名队员选2名安排在第二、四位置，那 么不同的出场安排共有 种.3某班上午要上语、数、外和体育 4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 _ _;4.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设， 其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案5.从6名运动员中选出4人参加4X 100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共 有多少种不同的参赛

7、方案6. 用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数 个；7.用1, 2, 3 , 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有 多少个（1） 数字1不排在个位和千位（2） 数字1不在个位，数字6不在千位。8.某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中 1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有 种；9.A的一边AB上有4个点，另一边 AC上有5个点，连同 A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成 个三角形；10.用六种不同

8、颜色把右图中 A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法；11 如图5:四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿图512将一四棱锥（图6）的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜 色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）13.给图中区域涂色，要求相邻区域不同色二：相邻问题捆绑法 （把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普 通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列） 。1把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 ；2.4名男生和

9、3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种 3有8本不同的书；其中数学书 3本，外语书2本，其它学科书3本.若将这些书排成一列 放在书架上，让数学书排在一起， 外语书也恰好排在一起的排法共有 （）种.（结果用数值表 示）4.代B,C,D,E五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（ ）A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种三：不相邻问题插空法：（可先把无位置要求的几个兀素全排列，再把规定的相离的几个兀素插入上述几个元素的空位和两端 ）1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种

10、 D、4800 种3一个晚会的节目有 4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种2.用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求 1与2相邻，2与4相令邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有 （）个.（用数字作答）四：可重复的排列求幕法 ：允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置， 一般地n个不同元素排在 m个不同位置的排列数有 mn种方法.1把6名实习生分配到 7个车间实习共有多少种不同方法2.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种；五：有序问题组合法1. 学号为1 , 2, 3, 4的

11、四名学生的考试成绩 Xi 89,90,91,92,93（ i 1,2,3, 4）且满足人 X2 X3 X4，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有 种；2. 设集合 A 1,2,3,4,5,6,7,8 ，对任意 x A，有 f（1） f（2） f （3），则映射 f :A A的个数是 ;3. 离心率等于logpq（其中1 p 9,1 q 9且p,q N*）的不同形状的的双曲线的个数为 。六：定序问题缩倍法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的 方法.,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A, B可以不相邻）那么不同的排法 有（ ）A、24 种 B、60

12、 种 C、90 种 D、120 种个人排队，甲、乙、丙三人按 甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。4.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共 有（ ）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D 600 种七：“至少” “至多”问题用间接排除法或分类法 ：1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取 3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C 70种 D、35种2. 如从7名男同学和5名女同学中选

13、出5人，至少有2名女同学当选的选法有 种八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种， 可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。1.某化工厂实验生产中需依次投入 2种化工原料，现有 5种原料可用，但甲、乙两种原料不 能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放 .那么不同的实验方案共有 种；2某公司新招聘进 8名员工，平均分给下属的甲、 乙两个部门其中两名英语翻译人员不能同 给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有 种；九：阁板法，名额分配或相同物品 的分配问题，适宜采阁板用法， （每组至少一份），（每组至少一份，分成n份，需要n-1个隔板，当不是

14、每组至少一份时，先转化为每组至少一份后 再做）1.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人， 名额分配方案共 种。个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案个相同的球各分给 3个人，每人至少一个，有多少种分发每人至少两个呢4有20个不加区别的小球放入编号为 1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法（ c26）十.（不同物品）分组问题：要注意区分是 平均分组 还是非平均分组，平均分成 n组问题别忘除以n!。1本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法2把6个不同苹果平均分成三堆，一共有 种分法

15、3把6个不同苹果平均分成 3份给3个小朋友，一共有 种分法4.把6个不同的苹果分成 4堆，一共有 种分法.5把6个不同苹果分给 4个小朋友，每个小朋友至少 1个，一共有 种分法本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法名优秀学生全部保送到 3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种本不同的书，全部分给 4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种9 某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法 的种数。名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4人，则不同的分配方案有（

16、 ）4 4 4 4 4 4 4 4 3 GfCQ：A、c：2C；c4 种 B、3G：C；C：种 c、C12C8 A3 种 D、 A3 种12.如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到 所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有十一：选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素， 再安排到一定的位置上,可用先取后排法1如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试， 直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时， 被发现的不同情况种数是2四个不同球放入编号为 1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种名乒乓球运动员，

17、其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练， 有多少种不同的分组方法十二：标号排位问题分步法 ：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步 再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成1将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的 标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种2同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿 分配方式有 种；3设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为 1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种4设有编号为1，2，3，4

18、，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5 个盒子要求每个盒子放一个球， 并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同， 问有多少种不同的方法十三：多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。1如若2n个学生排成一排的排法数为 X，这2n个学生排成前后两排， 每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为 ；2.6个不同的元素排成前后两排，每排 3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C 720 种 D、1440 种个不同的元素排成前后两排， 每排4个元素，其中某2个元素要排在前排， 某1个元素排在后排，有多少种不同排法十四：圆排问

19、题单排法：把n个不同元素放在圆周 n个无编号位置上的排列，顺序(例如按 顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同 (即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 n个普通排列：ai,a2,a3L耳总赴厶,L ,an,L ;an,ai丄,an 1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有 n!种因此可将某个元素固定展成单排，其它的 n 1元素全n排列1有5个人站成一圈，一共有多少种站法1有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法十五：排除法，部分合条件问题排除法 ：在选取的总数中，只有一部分合条件，可

20、以从总数中减去不符合条件数，即为所求 1以正方体的顶点为顶点的四面体共有()D、52 种A、 70 种 B、 64 种C 58种2四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不冋的取法共有()A、150 种 B、147 种C、144 种D、 141 种3如在平面直角坐标系中，由六个点 (0,0), (1,2), (2,4), (6,3), (- 1, 2), (- 2, 1)可以确定三角形的个数为 。3.有五张卡片，它的正反面分别写 0与1 , 2与3, 4与5, 6与7, 8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书十六：已排好元素中新增元素增位排列法

21、1在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法2某班新年联欢晚会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 。3如 (1 )书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上 2本不同的书，有 种不同的放法；二项式定理:b)n0 n 1 n 1 JCna Cna bC；an2b2 C；ankbk . C：bn( n N1. (x5y）的展开式为2.(xy）的展开式为3. (x2y）7的展开式为4设nN* ,化简 1 7C172c2 73Cn 7ncn;5设nN* ,化简 C：

22、C；6 C62 Cn6n 1;C0Cn1 2 nCn Cn Cn2n(a例:y）7的展开式中，每项的系数和为)（全国1/13） （x y）10的展开式中， x7y3的系数与x3y7的系数之和等于（全国2/13） x；y y、-x 的展开式中x3y3的系数为5. （2008全国n卷理）（1 V x）6（1 、X）4的展开式中x的系数是（ ）A. 4 B. 3 C. 3 D. 43 4 26. （2008四川理）1 2x 1 x 展开式中x的系数为 。题型二：求常数项1.(四川 13) (2x2. （2008山东理）（1 6）6的展开式的常数项是 2x1X- 1 ） 12展开式中的常数项为（ ）3

23、 x（用数字作答）(A) -1320（B） 1320(D)220（全国I卷理科第10题）(x2（C） -2201-）n的展开式中，常数项为 15，则n=（xA. 3B.C. 5D.（安徽理科第（湖北理科第)A. 3312 题)若 3x1题）如果3x2B. 5C.6.（全国n卷理科第 13题）（1答）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数2x2)的展开式中含有非零常数项，则正整数D. 1018的展开式中常数项为xn等于n的最小值为（用数字作14 ）10展开式中的常数项为（4 xC. 4245题型三：求展开式的系数或二项式系数1. （2008 福建理）若 （x-2）5=a3x5+a5x4+a3x3

24、+a2x2+a1x+ao,则 a什a2+a3+a4+a5= .（用数字作答）12.（重庆理科第4题）若（x -）n展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为（）xA. 10 .20 C的常数项为 （用数字作答）5(湖南10)在(1 x)3 (1 JX)3 (1 和 的展开式中，x的系数为 (用数字作答)8 86.(2008安徽文、理)设(1 x) ao a/ L a$x ,则ao,a1,L , a8中奇数的个数为( )A 2 B. 3 C. 4 D. 517 .已知(a )n的展开式的第三项与第二项的系数的比为 11 : 2，贝U n是3 2 、a( )8.设(x ) a ax ax Lax ，贝U a10 a11 = .题型四：1、 4141被7除所得的余数是 ;992、 8 1被9除的余数为 ( )(A) 7 ( B) 2 ( C) 8 ( D) 1913、 91除以100的余数是 ( )(A) 1(B) 90(C) 91(D) 9(1) 有多少种不同的抽法(2) 抽出的3件中恰好有(3) 抽出的3件中至少有8. （2008广东理）已知（1 kx ） （k是正整数）的展开式中，x8的系数小于120,贝U k= .7. (2008 江西理)(1+ 3 X )6(1 +B. 46