4.已知方程(x2—2x+m)(x2—2x+n)=0的四个根组成一个首项为1的等差数列,贝V
4
Im—n丨等于().
A.1B.-C.-D.-
428
5.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为().
A.81B.120C.168D.192
6.若数列{an}是等差数列,首项ai>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,则使前n项
和Sn>0成立的最大自然数n是().
A.4005
B.4006
C.4007
D.
4008
7.已知等差数列
{an}的公差为2,若ai,a3,
a4成等比数列,
则a2=(
).
A.—4
B.—6
C.—8
D.
—10
a5
&设Sn是等差数列{an}的前n项和,右一一
a3
-,则§=(
9S5
).
A.1
B.—1
C.2
D.
1
2
9.已知数列一1,ai,a2,—4成等差数列,一1,bi,b2,b3,—4成等比数列,则生a
b2
的值是().
A.
1
2
1
B.—-
2
C.—-或-
D.1
4
2
2
10.
在等差数列{an}中,
anM0,an—1—
2
an+an+1=0(n>2),
若S2n-
1=38,则n=(
)
A.
38
B.20
C.10
D.9
、填空题
+f(—4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为
12.已知等比数列{an}中,
(1)右a3•a4•a5=8,贝Va2•a3•a4•a5•a6=.
(2)右a1+a2=324,a3+a4=36,贝Va5+a6=.
(3)若St=2,S8=6,贝Va17+a18+aw+a20=.
13.在8和27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为.
32
14.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+ae+a13)=24,则此数列前13项之和为
15.在等差数列{an}中,a5=3,a6=—2,贝Ua4+a5+・・・+a10=.
16.设平面内有n条直线(n》3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过
同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)
三、解答题
17.
(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2—2n,求证数列{an}成等差数列.
(2)已知1,丄,1成等差数列,求证以,U,口也成等差数列.
abcabc
18.设{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.
(1)求q的值;
(2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n》2时,比较Sn
与bn的大小,并说明理由.
n2
19.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3…).
n
求证:
数列{是等比数列.
n
20.已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列,Sn为其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列,求证:
12S3,S3,S12—S6成等比数列.
参考答案
一、选择题
1.C
解析:
由题设,代入通项公式an=a1+(n—1)d,即2005=1+3(n—1),二n=699.
2.C
解析:
本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力.
设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得ai+a2+a3=21,即a#1+q+q2)=21,又ai=3,二1+q+q2=7.
解得q=2或q=—3(不合题意,舍去),
二a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3X22x7=84.
3.B.
解析:
由a1+a8=a4+a5,「.排除C.
又a1•a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d,
a4•a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d+12d2>a1•a8.
4.C
…a1+a2+a3+a4=1+6d=4,
故选C.
.|m—n|
5.B
6.B
解析:
解法1:
由a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,知a2003和a2004两项中有一正数一负数,
又ai>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故a2003>a2004,即a2003>0,a2004<0.
•S4006=
4006(ai+a4006)
2
4006(a2003+a2004)
>0,
•S4007=
4007
2
(ai+a4007)=
4007
2
2a2004<0,
故4006为Sn>0的最大自然数.选B.
解法2:
由ai>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,同解法1的分析得a2003>0,a2004<0,
•S003为S中的最大值.
Sn是关于n的二次函数,如草图所示,
•2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小,
•4空在对称轴的右侧.
2
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧
零点B的左侧,4007,4008都在其右侧,S>0的最大自然数是4006.
7.B
解析:
T{a"是等差数列,•a3=a1+4,a4=a1+6,
又由a1,a3,a4成等比数列,
•(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,
•a2=—8+2=-6.
9(a1aQ
解析:
•
.鱼=
'S5—
2=9as=9•
5(a1a5)5a35
2
5=1,•选A
9
9.A
解析:
设d和q分别为公差和公比,则—4=—1+3d且—4=(—1)q4,•••d=—1,q2=2,
.a2ai=d=1
b2q2
10.C
2-
--an=2an,
解析:
T{an}为等差数列,•a;=an-1+an+1,
又anM0,.an=2,{an}为常数数列,
••n=10.
二、填空题
11.3.2.
解析:
Tf(x)=
1
2x、2
••f(1—x)=—
2
2x
2..22x
-+/=
1
•f(x)+f(1—x)=22x:
22x2
2[.J2G、、2
r~
•、2
设S=f(—5)+f(—4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),
则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(—4)+f(—5),
•2S=[f(6)+f(—5)]+[f(5)+f(—4)]+…+[f(—5)+f(6)]
=6..2,
•S=f(—5)+f(—4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3.、2.
12.
(1)32;
(2)4;(3)32.
解析:
(1)由a3•a5=a4,得a4=2,
…a2•
5
a3•a4•a5•a6=a4=32.
a1a2324
21
(2)
2
q-
佝
a2)q36
9
•a5+a6=(a1+a2)q4=4.
4
q=2
定与前面已有的
S4=ai+a2+a3+a4=2
4
S8=ai+a2++a8=S<+Stq
16cc
二ai7+ai8+ai9+a20==32.
13.
216.
解析:
本题考查等比数列的性质及计算,
8,27同号,由等比中项的中间数为{涔=6,插入的三个数之积为
14.26.
解析:
Ta3+a5=2a4,a7+a13=2a10,
二6(a4+a1o)=24,a4+a10=4,
13(a1+a13)13la4+a10)134
--S13====26.
222
15.—49.
解析:
Td=a6—a5=—5,
二a4+a5+…+a10
=7a4+a10)
2
=7a5—d+a5+5d)
2
=7(a5+2d)
=—49.
1
16.5,丄(n+1)(n—2).
2
解析:
同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线
每条直线都相交,•••f(k)=f(k—1)+(k—1).
由f(3)=2,
f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(5)=f(4)+4=2+3+4=9,
f(n)=f(n—1)+(n—1),
1
相加得f(n)=2+3+4+…+(n—1)=1(n+1)(n—2).
2
三、解答题
17•分析:
判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项
差为常数.
证明:
(1)n=1时,ai=Si=3-2=1,
当n》2时,an=Sn—Sn_1=3n2—2n—[3(n—1)2—2(n—1)]=6n—5,
n=1时,亦满足,二an=6n—5(n€N*).
首项a1=1,an—an-1=6n—5—[6(n—1)—5]=6(常数)(n€N*),
二数列{an}成等差数列且a1=1,公差为6.
•••q=1或一1.
2
2
n(n—1)n+3n
(2)右q=1,贝ySn=2n+=
22
当n>2时,Sn—bn=Sn-1=(门一1)(门+2)>0,故Sn>bn.
2
2
若q=—丄,贝ySn=2n+g■二卫(—丄)=―n+9n.
2224
Sb(n—0(10—n)
Sn——bn=Sn—1=
4
故对于n€N+,当2bn;当n=10时,3=bn;当n>11时,3vbn.
19.证明:
T
an+1=Sn+1—Sn,an+1="+2Si,
n
••(n+2)Sn=n(Sn+1—Sn),整理得nSn+1=2(n+1)Sn,故{§}是以2为公比的等比数列.
所以
Sn+1
2Sn
n+1
n
20.证明:
由ai,2a7,3a4成等差数列,得4a7=ai+3a4,即4aiq6=ai+3aiq3,
变形得(4q3+1)(q3-1)=0,•••q3=—1或q3=1(舍).
4
a1(1
q6)
1q3=1;
由S6
12S3
=1
q
12a1(1
3q
)
1216
1
q
a1(1
12
q)
S12S6
—S2—
1=
1
q6—1=1+q6—1=1
q)16
S6
S6
a1(1
1
q
得Ss=
12S3
-S12S6
S6
•12S3,S6,S12—S成等比数列.