171勾股定理.docx

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171勾股定理

第十七章勾股定理

本章概述

本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识．

本章分为两节，第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾股定理的逆定理及其应用．

在第17.1节中，教科书安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程．在第17.2节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：

如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．教科书借助于勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据．本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立．

教学目标

1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题.

2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题.

3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立.

4.通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感．通过对于勾股定理及其逆定理的探索和交流，培养数学学习的自信心．

教学建议

1.通过教学提高学生分析问题和解决问题的能力.

2.围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心.

3.适当总结和定理、逆定理有关的内容.

课时安排

本章教学时间约需9课时，具体安排如下（供参考）：

17.1　勾股定理　4课时

17.2　勾股定理的逆定理　3课时

数学活动

小结2课时

17.1勾股定理

第1课时

教学目标

1．了解勾股定理的简要历史，体验勾股定理的探索过程．

2．会用不同的方法来验证勾股定理，体会数形结合的思想，发展合情推理的能力．

3．了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能应用勾股定理解决一些实际问题，加强合作学习.

教学重点

勾股定理的内容及证明．

教学难点

勾股定理的证明．

教学过程

一、导入新课

师：

我们知道勾股定理有着悠久的历史，它的发现、验证的过程蕴涵了丰富的文化价值，你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？

生1：

在我国，勾股定理的叙述最早见于《周髀算经》（大约成书于公元前一世纪前的西汉时期），在西方它又称为毕达哥拉斯定理．

生2：

据说，四千多年前，中国的大禹就是用勾股定理来确定两地的地势差，以治理洪水的．

生3：

古埃及人运用勾股定理，以绳子打结的方法来确定直角，并用这种办法来确定金字塔的底（它有四个直角）是正方形．

生4：

中国数学家华罗庚曾建议，用一幅数形关系图作为与外星“人”交谈的语言，这幅图有边长3，4，5的三个正方形，它们又相互联结成一个三角形.

……

学生将自己课前所搜集的资料呈现于课堂，展开了有关勾股定理的话题，他们被勾股定理在数学历史中所扮演的角色而深深吸引，也为勾股定理在生产、生活中的广泛应用而折服.这些都为下面学生探索勾股定理的多种证明方法作了很好的铺垫.

二、新课教学

师：

同学们刚才谈了这么多关于勾股定理的故事，其实勾股定理的验证方法比它相关的故事还丰富，下面请同学们来当一回小老师，根据你们所找到的资料，并结合自己的理解，谈谈验证勾股定理的思路．

生1：

利用4个完全相同的直角三角形拼成如右图所示的正方形，大正方形的面积可以表示为

．

大正方形还可以看成4个直角三角形的面积和内部小正方形的面积之和，表示为

．

比较两种表示方法，可以得到

＝

，

化简得：

．

生2：

4个直角三角形还有另外一种拼法：

以斜边为边长的正方形的面积加上四个三角形的面积就等于外正方形的面积，如右图．

生3：

古代数学家赵爽提供了的弦图证明，他也是通过大正方形面积的不同表示推得的．

生4：

美国总统加菲尔德在1876年只用了两块相同的直角三角形便完成了它的证明.（如下图）

设计目的：

通过学生的交流活动，主要是了解前人证明勾股定理的一些思路和方法.学生从书籍资料中获得了一定的思想，从而为下面操作活动的展开产生积极的作用.

三、拓展练习

根据学生的展示，教师可以适当补充利用四个直角三角形来拼出弦图，或利用五巧板来构造“青朱出入图”的活动操作以及画家达·芬奇的研究结果来丰富学生的想象．

四人小组，小组内每人提供一个直角三角板（完全相同），利用四个三角板围成一个大正方形，并尝试证明勾股定理．

在拼图这一活动中，要渗透面积法的证明思想；让学生亲自经历拼图的几何证明过程，说出其中的具体思路，借以打开学生思维，鼓励他们找到其他更多的证明方法.

四、课后练习

1．已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，a、b、c是△ABC的三边，则

（1）c＝.（已知a、b，求c）

（2）a＝.（已知b、c，求a）

（3）b＝.（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a＝19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来.

3、4、5

32＋42＝52

5、12、13

52+＋122＝132

7、24、25

72＋242＝252

9、40、41

92＋402＝412

……

……

19、b、c

192＋b2＝c2

3．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝

cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直.

参考答案：

1．

（1）c＝

；

（2）a＝

；（3）b＝

2．

；则b＝

，c＝

；当a＝19时，b＝180，c＝181.

3．5秒或10秒

五、布置作业

习题17.1第1、2题．

第2课时

教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算.

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想.

教学重点

勾股定理的简单计算.

教学难点

勾股定理的灵活运用.

教学过程

一、导入新课

复习勾股定理的文字叙述、符号语言，然后导入新课的教学．

二、新课教学

例1一个门框的尺寸如下图所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？

为什么？

分析：

可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度．求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过．

解：

在Rt△ABC中，根据勾股定理，

AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.

AC2＝

≈2.24.

因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过．

例2如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少？

分析：

这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是两条直角边还是一直角边一斜边，因此要分两种情况讨论．

解：

这道题可分以下两种情况：

（1）当两条直角边是6cm和8cm时，根据勾股定理，

斜边长＝

＝10（cm）．

所以，三角形的周长＝6＋8＋10＝24（cm）；

面积＝

×6×8＝24（cm2）．

（2）当斜边为8cm，一直角边为6cm（斜边大于直角边）时，根据勾股定理，

另一直角边长＝

＝2

（cm）

所以，三角形的周长＝6＋8＋2

＝14＋2

（cm）；

面积＝

×2

×6＝6

（cm2）． 

例3如下图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm，高为15cm，问易拉罐内可放的搅拌棒（直线型）最长可以是多长？

分析：

搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的A1B、A2B，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B点，另一个端点在A点时最长，此时可以把线段AB放在Rt△ABC中，其中BC为底面直径．

解：

如图，当搅拌棒在AB位置时最长，过B画底面直径BC，则在Rt△ABC中，

AC＝15cm，BC＝4×2＝8cm

根据勾股定理得

所以可放的最长搅拌棒为17cm．

三、课堂练习

1.在Rt△ABC，∠C＝90°．

（1）已知a＝b＝5，求c；

（2）已知a＝1，c＝2，求b；

（3）已知c＝17，b＝8，求a；

（4）已知a:

b＝1:

2，c＝5，求a；

（5）已知b＝15，∠A＝30°，求a，c．

分析：

刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．

（1）是已知两直角边，求斜边．可直接用勾股定理求出．

（2）（3）是已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形即可求出．

（4）（5）是已知一边和两边比，求未知边．

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．

2已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．

分析：

已知两边中较大边是12，12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算，让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．

参考答案：

1.

（1）5

；

（2）

；（3）15；（4）

；（5）a＝5

，c＝10

．

2.

（1）12是直角边时，第三边为13；

（2）12是斜边时，第三边为

．

四、布置作业

习题17.1第3、7、8题．

第3课时

教学目标

1．会用勾股定理解决简单的实际问题.

2．树立数形结合的思想.

教学重点

勾股定理的应用.

教学难点

实际问题向数学问题的转化.

难点的突破方法

数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.

一、导入新课

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用，勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题．

二、新课教学

例1已知直角三角形的一直角边为9，另两边的长为整数，求三角形的周长．

分析：

根据勾股定理，知道直角三角形一直角边可以得出斜边和另一直角边之间的关系，再由这两边的长为整数可以推出两边的长，当然这里不需要分别求出，只要求出另两边的和就可以了．

解：

设斜边为c，另一直角边为a，由勾股定理得c2－a2＝92．

即（c＋a）（c－a）＝81．

又因为c、a为正整数，所以c＋a，c－a也是正整数，且c＋a＞c－a.

因为81＝81×l＝27×3

所以c＋a＝81或c＋a＝27（c－a＝1或c－a＝3）

所以a＋b＋c＝81＋9＝90或27＋9＝36．

即三角形的周长为90或36．

例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了lm，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．

分析：

由题意可知绳子比旗杆多lm，把下端拉开5m后，下端刚好接触地面，这时，旗杆AB、绳子AC、旗杆底点B与绳接触地面的点C所连结的线段BC构成直角三角形．如图3如果设旗杆AB＝

m，则绳长AC＝（x＋1）m.

解：

设旗杆高为xm，则绳子长（x＋1）m在Rt△ABC中，AB＝x，AC＝x＋l，BC＝5根据勾股定理得

AC2＝AB2＋BC2，

即

（x＋1）2＝x2＋52

x＝12m．

所以旗杆的高度为12m．

三、课堂练习

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米.

2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米.

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是.

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC＝80公里，BC＝60公里，则改建后可省工程费用是多少？

参考答案：

1．

；2．

；3．18米；4．11600．

四、布置作业

习题17.1第5、9题．

第4课时

教学目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题.

2．树立数形结合的思想.

教学重点

勾股定理的综合应用.

教学难点

勾股定理的综合应用.

教学过程

一、导入新课

教师复习上节课内容（两道例题），导入新课的教学．

二、新课教学

思考：

在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

教师引导学生先画出图形，再写出已知条件，然后证明．

已知：

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．

求证：

△ABC≌△A′B′C′．

证明：

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得

BC＝

，B′C′＝

．

又　AB＝A′B′，AC＝A′C′，

∴　BC＝B′C′．

∴　△ABC≌△A′B′C′（SSS）．

探究：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

此为在数轴上画出表示

的点，教师可分以下四步引导学生：

（1）将在数轴上画出表示

的点问题转化为画出长为

的线段的问题；

（2）由长为

的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为

的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边；

（3）通过尝试我们发现，长为

的线段是直角边为2、3的直角三角形的斜边；

（4）画出长为

的线段，从而在数轴上画出表示

的点．

在此基础上，结合教材第27页图17.1-11和图17.1-12指出：

利用勾股定理，可以作出长为

（n是整数）的线段，进而在数轴上画出表示

（n是整数）的点．

三、实例探究

例已知：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥BC于D，∠A＝60°，CD＝

，求线段AB的长.

分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2－BD2＝AC2－AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等．

要求学生能够自己画图，并正确标图．

欲求AB，可由AB＝BD＋CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD＝3和AD＝1．或欲求AB，可由AB＝

，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC＝2和BC＝6.

四、课堂练习

1．△ABC中，AB＝AC＝25cm，高AD＝20cm，则BC＝，S△ABC＝．

2．△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，AC＝

cm，则∠A＝度，∠B＝度，∠C＝度，BC＝，S△ABC＝．

3．△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝

，CD⊥AB于D，则AC＝，CD＝，BD＝，AD＝，S△ABC＝．

4．在数轴上画出表示－

，

的点．

参考答案：

1．30cm，300cm2；

2．90，60，30，4，

；

3．2，

，3，1，

；

4．略.

五、布置作业

习题17.1第6、13题．