中考数学二轮专题复习讲义第1讲实数及其运算.docx
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中考数学二轮专题复习讲义第1讲实数及其运算
第1讲 实数及其运算
1．实数的分类
2．实数的有关概念
考试内容
考试
要求
名称
定义
性质
数轴
规定了____________________、____________________、____________________的直线.
数轴上的点与实数一一对应．
a
b
c
相反
数
只有____________________不同的两个数，即实数a的相反数是－a.
①若a、b互为相反数，则a＋b＝0.
②在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点____________________，且到原点的距离相等．
绝对
值
在数轴上表示数a的点与原点的____________________，记做|a|.
|a|＝
倒数
____________________的两个数互为倒数，非零实数a的倒数为____________________.
①ab＝1⇔a、b互为倒数；
②0没有倒数；
③倒数等于本身的数是1或－1.
a
3.科学记数法和近似数
考试内容
考试
要求
科学
记数法
把一个数写成____________________的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法.
b
近似数
一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．注意：
实际问题取近似数会出现进一法、去尾法.
a
4.平方根、算术平方根、立方根
考试内容
考试
要求
名称
定义
性质
平方根
如果x2＝a（a≥0），那么这个数x就叫做a的平方根．记做±
.
正数的平方根有两个，它们互为；没有平方根；0的平方根是．
a
b
c
算术
平方根
如果x2＝a（x>0），那么这个正数x就叫做a的算术平方根．记做
.
0的算术平方根是．
立方根
若x3＝a，则x叫做a的立方根，记做
.
正数有一个_______________立方根；0的立方根是0；负数有一个____________立方根.
5.实数的大小比较
考试内容
考试
要求
代数比
较规则
正数零，负数零，正数大于一切负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而．
c
几何比
较规则
在数轴上表示的两个数，左边的数总是____________________右边的数.
6.实数的运算
考试内容
考试
要求
运算法则
加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等．
特别地，a0＝（其中a≠0），a－p＝（其中p为正整数，a≠0）．
c
运算律
交换律、结合律、分配律．
运算性质
有理数一切运算性质和运算律都适用于实数运算．
运算顺序
先算乘方、开方，再算____________________，最后算____________________，有括号的要先算____________________的，若没有括号，在同一级运算中，要从左到右进行运算.
考试内容
考试
要求
基本
方法
1.实数可分为正数、零和负数；也可以分为有理数和无理数.分类与整合思想是初中数学一个重要的数学思想方法，应该不失时机地让学生感受分类的原则是不重不漏，掌握分类的标准．
c
2.比较实数的大小可直接利用法则进行比较，还可以采用作差法、倒数法及估算法，也可借助数轴进行比较.
3.实数混合运算时，根据每个算式的结构特征，选择适当的方法，灵活运用运算律，就会收到事半功倍的效果．
1．（2016·金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：
mm），其中不合格的是（ ）
A．∅45.02B．∅44.9C．∅44.98D．∅45.01
2．（2017·金华）下列各组数中，把两数相乘，积为1的是（ ）
A．2和－2B．－2和
C.
和
D.
和－
3．（2016·丽水）下列四个数中，与－2的和为0的数是（ ）
A．－2B．2C．0D．－
4．（2017·杭州）|1＋
|＋|1－
|＝（ ）
A．1B.
C．2D．2
5．计算：
（1）（2016·衢州）计算：
|－3|＋
－（－1）2＋
；
（2）（2017·金华）计算：
2cos60°＋（－1）2017＋|－3|－（
－1）0；
（3）（2015·台州）6÷（－3）＋|－1|－20150.
【问题】在下图的集合圈中，有5个实数．
（1）其中最大的数是________；
（2）计算其中的有理数的和与无理数的积的差；
（3）请你再提出有关实数的几个问题．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理有理数、无理数有关的概念，以及实数的分类；实数的运算法则．
类型一 与实数相关的概念
数字
，
，π，
，cos45°，0.32中是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解后感悟】对无理数的判定，不能只被表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如
＝2是有理数，用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°就是有理数，一个数是不是无理数关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数．
1．
（1）（2015·上海）下列实数中，是有理数的为（ ）
A.
B.
C．πD．0
（2）（2017·河北）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
姓名__张小亮__ 得分__？
__
填空（每小题20分，共100分）
①－1的绝对值是____．
②2的倒数是____．
③－2的相反数是____．
④1的立方根是____．
⑤－1和7的平均数是___．
A．100分B．80分C．60分D．40分
（3）数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值相等的点是（ ）
A．点A与点DB．点A与点C
C．点B与点CD．点B与点D
类型二 科学记数法与近似值
（2017·绍兴）研究表明，可燃冰是一种替代石油的新型清洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰存储量达150********0立方米，其中数字150********0用科学记数法可表示为（ ）
A．15×1010B．0.15×1012
C．1.5×1011D．1.5×1012
【解后感悟】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
2．
（1）（2017·益阳）目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.00000004m，将0.00000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×108B．4×10－8C．0.4×108D．－4×108
（2）（2017·温州）下列选项中的整数，与
最接近的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
类型三 实数的运算
（2015·绍兴）计算：
2cos45°－（π＋1）0＋
＋（
）－1.
【解后感悟】实数运算的一般步骤：
（1）观察运算种类；
（2）确定运算顺序；（3）把握每步运算法则和符号；（4）灵活运用运算律．
3．（2016·舟山）13世纪数学家斐波那契的（计算书）中有这样一个问题：
“在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛驴，每头驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘”，则刀鞘数为（ ）
A．42B．49C．76D．77
4．计算：
（1）（2015·菏泽）（－1）2015＋sin30°－（π－3.14）0＋
；
（2）（2017·衢州）计算：
＋（π－1）0×|－2|－tan60°；
（3）（2015·温州）20150＋
＋2×
.
类型四 实数的大小比较
（2015·丽水）在数－3，－2，0，3中，大小在－1和2之间的数是（ ）
A．－3B．－2C．0D．3
【解后感悟】实数的大小比较常用以下方法：
（1）数轴比较法：
将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
（2）代数表示法：
正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的数反而小．
（3）差值比较法：
设a、b是两个任意实数，则：
a－b>0，a>b；a－b＝0，a＝b；a－b<0，a5．
（1）（2016·衢州）在
，－1，－3，0这四个实数中，最小的是（ ）
A.
B．－1C．－3D．0
（2）设a＝20，b＝（－3）2，c＝
，d＝
，则a，b，c，d按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A．c【新定义题】
定义新运算：
对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a－b）＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：
2⊕5＝2×（2－5）＋1＝2×（－3）＋1＝－6＋1＝－5
（1）求（－2）⊕3的值；
（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
【方法与对策】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：
根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果；同时利用所学知识解答综合问题是我们应具备的能力，是中考命题方式．
【对科学记数法的精确的位数混淆不清；实数运算的顺序、符号处理不当】
1．（2017·台州）人教版初中数学教科书共六册，总字数是978000，用科学记数法可将978000表示为（ ）
A．978×103B．97.8×104C．9.78×105D．0.978×106
2．（2015·遂宁）计算：
－13－
＋6sin60°＋（π－3.14）0＋|－
|.
参考答案
第1讲 实数及其运算
【考点概要】
1．零 负分数 负无理数 2.原点 正方向 单位长度 符号 两侧 距离 乘积为1
3.a×10n 4.相反数 负数 0 0 正的 负的 5.大于 小于小 小于 6.1
乘除 加减 括号内
【考题体验】
1．B 2.C 3.B 4.D 5.
（1）6；
（2）2；（3）－2.
【知识引擎】
【解析】
（1）32；
（2）首先要弄清有理数和无理数的概念；有理数包括整数和分数；无理数指的是无限不循环小数．正确找到有理数和无理数后，再进行计算即可．有理数是32，－23，它们的和为32＋（－23）＝9－8＝1；无理数是
，π，
，它们的积为
×π×
＝2π.∴有理数的和与无理数的积的差等于1－2π.（3）写出其中的负整数；绝对值最小的数等．
【例题精析】
例1 C 例2 C 例3 原式＝2×
－1＋
＋2＝
＋
.例4 C
【变式拓展】
1．
（1）D
（2）B （3）C
2.
（1）B
（2）B
3.C
4．
（1）
；
（2）2＋
； （3）2
.
5.
（1）C
（2）A
【热点题型】
【分析与解】
（1）按照定义新运算a⊕b＝a（a－b）＋1，求解即可．（－2）⊕3＝－2×（－2－3）＋1＝－2×（－5）＋1＝10＋1＝11.
（2）先按照定义新运算a⊕b＝a（a－b）＋1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．∵3⊕x<13，∴3（3－x）＋1<13，9－3x＋1<13，－3x<3，x>－1，数轴表示如图所示
【错误警示】
1．C
2．原式＝－1－3
＋6×
＋1＋
＝
.
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