2.已知i为虚数单位，则复数（1－2i）2的虚部为________．
3.抛物线y2＝4x的焦点坐标为________．
4.已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为________．
5.如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为________．
6.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．
7.已知函数f（x）＝若f（a－1）＝，则实数a＝________．
8.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，则这匹马在最后一天行走的里程数为________．
9.已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．
10.设定义在区间上的函数y＝3sinx的图象与y＝3cos2x＋2的图象交于点P，则点P到x轴的距离为________．
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin＝________．
12.若在直线l：
ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，在圆O：
x2＋y2＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围是________．
13.在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则·的最大值为________．
14.已知函数f（x）＝x2＋|x－a|，g（x）＝（2a－1）x＋alnx，若函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）BD⊥平面ACE.
16.（本小题满分14分）
已知向量a＝（2cosα，2sinα），b＝（cosα－sinα，cosα＋sinα）．
（1）求向量a与b的夹角；
（2）若（λb－a）⊥a，求实数λ的值．
17.（本小题满分14分）
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中点A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路的AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．
（1）求出n关于m的函数关系式；
（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？
并求出其最大值．
18.（本小题满分16分）
已知椭圆E：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知P（t，0）为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且直线l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：
为定值．
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝（x＋1）lnx＋ax（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为x＋y＋b＝0，求实数a，b的值；
（2）设函数g（x）＝，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．
①当a＝－1时，求函数g（x）的最大值；
②若函数h（x）＝是单调减函数，求实数a的取值范围．
20.（本小题满分16分）
定义：
若有穷数列a1，a2，…，an同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．
①首项a1＝1；②a1（1）问：
等差数列1，3，5是否为P数列？
（2）若数列a，b，c，6是P数列，求实数b的取值范围；
（3）若n>4，且数列b1，b2，…，bn是P数列，求证：
数列b1，b2，…，bn是等比数列．
2019届高三年级第二次模拟考试（十一）
数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修4－2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知x，y∈R，α＝是矩阵A＝属于特征值－1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．
B.[选修4－4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知直线l：
ρsin＝0，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴的正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）．设直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长．
C.[选修4－5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
若不等式|x＋1|＋|x－a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．
（1）问：
这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P（X＝2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X＝3）”哪个大？
请说明理由；
（2）求随机变量X的数学期望E（X）．
23.（本小题满分10分）
已知f（n）＝＋＋＋…＋，g（n）＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2.
（1）求f
（2），f（3），g
（2），g（3）的值；
（2）记h（n）＝f（n）－g（n），求证：
对任意的m∈N*，m≥2，总有
.
2019届高三年级第二次模拟考试（十一）（苏锡常镇）
数学参考答案
1．{0} 2.－4 3.（1，0） 4. 5.40 6.－
7.log23 8. 9.2π 10.3 11.
12. 13.－ 14.（1，＋∞）
15.
（1）在三棱锥D－ABC中，因为E为DC的中点，F为DB的中点，所以EF∥BC.（3分）
因为BC平面ABC，EF平面ABC，
所以EF∥平面ABC.（6分）
（2）因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C，
所以AC⊥平面BCD.（8分）
因为BD平面BCD，所以AC⊥BD.（10分）
因为DC＝BC，E为BD的中点，
所以CE⊥BD.（12分）
因为AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACE.（14分）
16.
（1）设向量a与b的夹角为θ.
因为|a|＝2，
|b|＝＝，（4分）
所以cosθ＝
＝
＝＝.（7分）
因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角为.（9分）
（2）若（λb－a）⊥a，则（λb－a）·a＝0，
即λb·a－a2＝0.（12分）
因为b·a＝2，a2＝4，所以2λ－4＝0，解得λ＝2.（14分）
17.
（1）以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，（1分）
则点A（－20，0），B（20，0），P（0，40）．（2分）
因为曲线段APB为抛物线的一段弧，
所以可以设抛物线的解析式为y＝a（x－20）·（x＋20），
将点P（0，40）代入，得40＝－400a，
解得a＝－，（4分）
所以抛物线的解析式为y＝（400－x2）．（5分）
因为点C在抛物线上，
所以n＝（400－m2），0（2）设等腰梯形ABCD的面积为S，
则S＝×（2m＋40）××（400－m2），（8分）
S＝（－m3－20m2＋400m＋8000）．（9分）
因为S′＝（－3m2－40m＋400）＝－（3m－20）（m＋20），（10分）
令S′＝0，得m＝，（11分）
当m变化时，S′，S的变化情况如下表：
（13分）
所以当m＝时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为平方米．（14分）
18.
（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得＝，
则－c＝，c2＝a2－b2，（3分）
解得a＝2，b＝1，c＝，（5分）
所以椭圆E的标准方程是＋y2＝1.（6分）
（2）由题意，设直线l1的方程为y＝k1（x－t），代入椭圆E的方程中，并化简得（1＋4k）x2－8ktx＋4kt2－4＝0.（8分）
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝，x1x2＝.
（10分）
所以PA·PB＝（1＋k）|x1－t||x2－t|＝（1＋k）|t2－（x1＋x2）t＋x1x2|＝（1＋k）|t2－＋|＝，（12分）
同理PC·PD＝，（14分）
所以＝为定值．（16分）
19.
（1）f′（x）＝lnx＋＋a，f′
（1）＝a＋2＝－1，a＝－3，（1分）
f
（1）＝a＝－3，将点（1，－3）代入x＋y＋b＝0，
解得b＝2.（2分）
（2）①因为g（x）＝lnx－1，
则g′（x）＝－＋＝.（3分）
令φ（x）＝x－lnx＋1，
则φ′（x）＝1－≥0，函数φ（x）在区间[1，e]上单调递增．（5分）
因为φ（x）≥φ
（1）>0，（6分）
所以g′（x）>0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数g（x）的最大值为g（e）＝.（8分）
②同理，单调增函数g（x）＝∈[a，a＋1＋]，（9分）
则h（x）＝·.
1°若a≥0，g（x）≥0，h（x）＝，
h′（x）＝
＝≤0，
令u（x）＝－（1＋x＋x2）lnx－ax2＋x＋1，
则u′（x）＝－（1＋2x）lnx－－（2a＋1）x<0，
即函数u（x）区间在[1，e]上单调递减，
所以u（x）max＝u
（1）＝－a＋2≤0，
所以a≥2.（11分）
2°若a≤－，g（x）≤0，h（x）＝－，
由1°知，h′（x）＝，又函数h（x）在区间[1，e]上是单调减函数，
所以u（x）＝－（1＋x＋x2）lnx－ax2＋x＋1≥0对x∈[1，e]恒成立，
即ax2≤x＋1－（1＋x＋x2）lnx对x∈[1，e]恒成立，
即a≤＋－lnx对x∈[1，e]恒成立．
令φ（x）＝＋－lnx，x∈[1，e]，
φ′（x）＝－－－lnx－（＋＋1）＝－－－＋lnx，
记μ（x）＝lnx－x＋1（1≤x≤e），
又μ′（x）＝－1＝≤0，
所以函数μ（x）在区间[1，e]上单调递减，
故μ（x）max＝μ
（1）＝0，即lnx≤x－1，所以
φ′（x）＝－－－＋lnx≤－－－＋（x－1）＝－－<0，
即函数φ（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以φ（x）min＝φ（e）＝＋－lne＝－1，
所以a≤φ（x）min＝－1，又a≤－，
所以a≤－.（13分）
3°若－因为g（x）＝＝lnx＋a，
g′（x）＝－＋＝≥＝>0，
所以函数g（x）＝在区间[1，e]上单调递增．
又g
（1）g（e）＝a<0，
则存在唯一的x0∈（1，e），使得h（x0）＝＝0，
所以函数h（x）在区间[1，e]上不单调．（15分）
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞）．（16分）
20.
（1）因为3×5＝15，均不在此等差数列中，
所以等差数列1，3，5不是P数列．（2分）
（2）因为数列a，b，c，6是P数列，
所以1＝a由于6b或是数列中的项，而6b大于数列中的最大项6，
所以是数列中的项，同理也是数列中的项．（5分）
又因为1<<<6，所以＝b，＝c，
所以bc＝6，又1综上，实数b的取值范围是（1，）．（8分）
（3）因为数列{bn}是P数列，
所以1＝b1由于b2bn或是数列中的项，而b2bn大于数列中的最大项bn，
所以是数列{bn}中的项，（10分）
同理，，…，也都是数列{bn}中的项，
又因为1<<…<从而bn＝bibn＋1－i（i＝1，2，…，n－1）． ①（12分）
又因为bn－1b3＞bn－1b2＝bn，所以bn－1b3不是数列{bn}中的项，所以是数列{bn}中的项，
同理，…，也都是数列{bn}中的项．
因为1<<…<<<＝bn－2所以同理bn－1＝bibn－i（i＝1，2，…，n－2）， ②（14分）
在①中将i换成i＋1后与②相除，
得＝，i＝1，2，…，n－2，
所以b1，b2，…，bn是等比数列．（16分）
21.A.因为α＝是矩阵A＝属于特征值－1的一个特征向量，
所以＝－，所以
解得x＝－3，y＝－1，（4分）
所以A＝，（6分）
特征多项式为f（λ）＝＝0，
即（λ＋3）（λ＋1）＝0，解得λ＝－3或λ＝－1，（8分）
所以矩阵A另一个特征值为λ＝－3.（10分）
B.以极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，
直线ρsin＝0的直角坐标方程为y＝x，（2分）
曲线的普通方程为y2－x2＝1，（4分）
则直线与曲线的交点为A和B，（7分）
所以AB＝＝2.（10分）
C.因为|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－x＋a|＝
|1＋a|，（4分）
所以要使不等式|x＋1|＋|x－a|≥5对任意的x∈R恒成立，当且仅当|1＋a|≥5，（7分）
所以a≥4或a≤－6.
故实数a的取值范围为（－∞，－6]∪[4，＋∞）．（10分）
22.由于批量较大，可以认为随机变量X～B（10，0.05），（2分）
（1）恰好有2件不合格的概率为P（X＝2）＝C×0.052×0.958，
恰好有3件不合格的概率为P（X＝3）＝C×0.053×0.957.（4分）
因为＝＝>1，
所以P（X＝2）>P（X＝3），即恰好有2件不合格的概率大．（6分）
（2）因为P（X＝k）＝pk＝Cpk（1－p）10－k，k＝0，1，2，…，10.
随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
…
10
pk
Cp0（1－p）10
Cp1（1－p）9
Cp2（1－p）8
…
Cp10（1－p）0
故E（X）＝
＝0.5.（9分）
故随机变量X的数学期望E（X）为0.5.（10分）
23.
（1）f
（2）＝＝，f（3）＝＋＝，
g
（2）＝＝，g（3）＝＋＝.（3分）
（2）因为
＝
＝
＝＝，（4分）
所以h（n）＝f（n）－g（n）＝
＝.（5分）
下面用数学归纳法证：
对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）>.
当m＝2时，h（4）＝＋＋＝>，命题成立；
当m＝3时，h（8）＝＋＋＋＋>＋＝＋>1，命题成立．（6分）
假设当m＝t（t≥3）时，命题成立，即h（2t）>成立．
则当m＝t＋1时，h（2t＋1）＝h（2t）＋＋＋…＋>＋＋＋＋…＋.（7分）
因为t≥3，＋－＝>0，
所以＋>.（8分）
又＋＋…＋>＋＋…＋＝，（9分）
所以h（2t＋1）>＋＋＝，
所以命题成立．（10分）
升级会员 