2.已知i为虚数单位,则复数(1-2i)2的虚部为________.
3.抛物线y2=4x的焦点坐标为________.
4.已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球,一次摸出2只球,则摸到的2只球颜色相同的概率为________.
5.如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图,已知从左到右的前3组的频率成等差数列,则第2组的频数为________.
6.如图是一个算法流程图,则输出的S的值是________.
7.已知函数f(x)=若f(a-1)=,则实数a=________.
8.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟,次日减半疾,七日行七百里”,意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢,每天行走的里程是前一天的一半,七天一共行走了700里,则这匹马在最后一天行走的里程数为________.
9.已知圆柱的轴截面的对角线长为2,则这个圆柱的侧面积的最大值为________.
10.设定义在区间上的函数y=3sinx的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P,则点P到x轴的距离为________.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知5a=8b,A=2B,则sin=________.
12.若在直线l:
ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A,B,在圆O:
x2+y2=1上存在点C,使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点),则实数a的取值范围是________.
13.在△ABC中,已知AB=2,AC=1,∠BAC=90°,D,E分别为BC,AD的中点,过点E的直线交AB于点P,交AC于点Q,则·的最大值为________.
14.已知函数f(x)=x2+|x-a|,g(x)=(2a-1)x+alnx,若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥DABC中,已知AC⊥BC,AC⊥DC,BC=DC,E,F分别为BD,CD的中点.求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)BD⊥平面ACE.
16.(本小题满分14分)
已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(cosα-sinα,cosα+sinα).
(1)求向量a与b的夹角;
(2)若(λb-a)⊥a,求实数λ的值.
17.(本小题满分14分)
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.已知空地的一边是直路AB,余下的外围是抛物线的一段弧,直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图).拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪,其中点A,B,C,D均在该抛物线上.经测量,直路的AB长为40米,抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.设点C到抛物线的对称轴的距离为m米,到直路AB的距离为n米.
(1)求出n关于m的函数关系式;
(2)当m为多大时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大?
并求出其最大值.
18.(本小题满分16分)
已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)已知P(t,0)为椭圆E外一动点,过点P分别作直线l1和l2,直线l1和l2分别交椭圆E于点A,B和点C,D,且直线l1和l2的斜率分别为定值k1和k2,求证:
为定值.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=(x+1)lnx+ax(a∈R).
(1)若函数y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x+y+b=0,求实数a,b的值;
(2)设函数g(x)=,x∈[1,e](其中e为自然对数的底数).
①当a=-1时,求函数g(x)的最大值;
②若函数h(x)=是单调减函数,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分16分)
定义:
若有穷数列a1,a2,…,an同时满足下列三个条件,则称该数列为P数列.
①首项a1=1;②a1(1)问:
等差数列1,3,5是否为P数列?
(2)若数列a,b,c,6是P数列,求实数b的取值范围;
(3)若n>4,且数列b1,b2,…,bn是P数列,求证:
数列b1,b2,…,bn是等比数列.
2019届高三年级第二次模拟考试(十一)
数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知x,y∈R,α=是矩阵A=属于特征值-1的一个特征向量,求矩阵A的另一个特征值.
B.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,已知直线l:
ρsin=0,在直角坐标系(原点与极点重合,x轴的正方向为极轴的正方向)中,曲线C的参数方程为(t为参数).设直线l与曲线C交于A,B两点,求AB的长.
C.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
若不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意的x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测,若这批产品的不合格率为0.05,随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数.
(1)问:
这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X=2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X=3)”哪个大?
请说明理由;
(2)求随机变量X的数学期望E(X).
23.(本小题满分10分)
已知f(n)=+++…+,g(n)=+++…+,其中n∈N*,n≥2.
(1)求f
(2),f(3),g
(2),g(3)的值;
(2)记h(n)=f(n)-g(n),求证:
对任意的m∈N*,m≥2,总有
.
2019届高三年级第二次模拟考试(十一)(苏锡常镇)
数学参考答案
1.{0} 2.-4 3.(1,0) 4. 5.40 6.-
7.log23 8. 9.2π 10.3 11.
12. 13.- 14.(1,+∞)
15.
(1)在三棱锥D-ABC中,因为E为DC的中点,F为DB的中点,所以EF∥BC.(3分)
因为BC平面ABC,EF平面ABC,
所以EF∥平面ABC.(6分)
(2)因为AC⊥BC,AC⊥DC,BC∩DC=C,
所以AC⊥平面BCD.(8分)
因为BD平面BCD,所以AC⊥BD.(10分)
因为DC=BC,E为BD的中点,
所以CE⊥BD.(12分)
因为AC∩CE=C,所以BD⊥平面ACE.(14分)
16.
(1)设向量a与b的夹角为θ.
因为|a|=2,
|b|==,(4分)
所以cosθ=
=
==.(7分)
因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角为.(9分)
(2)若(λb-a)⊥a,则(λb-a)·a=0,
即λb·a-a2=0.(12分)
因为b·a=2,a2=4,所以2λ-4=0,解得λ=2.(14分)
17.
(1)以路AB所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,(1分)
则点A(-20,0),B(20,0),P(0,40).(2分)
因为曲线段APB为抛物线的一段弧,
所以可以设抛物线的解析式为y=a(x-20)·(x+20),
将点P(0,40)代入,得40=-400a,
解得a=-,(4分)
所以抛物线的解析式为y=(400-x2).(5分)
因为点C在抛物线上,
所以n=(400-m2),0(2)设等腰梯形ABCD的面积为S,
则S=×(2m+40)××(400-m2),(8分)
S=(-m3-20m2+400m+8000).(9分)
因为S′=(-3m2-40m+400)=-(3m-20)(m+20),(10分)
令S′=0,得m=,(11分)
当m变化时,S′,S的变化情况如下表:
(13分)
所以当m=时,等腰梯形ABCD的面积最大,最大值为平方米.(14分)
18.
(1)设椭圆的半焦距为c,由已知得=,
则-c=,c2=a2-b2,(3分)
解得a=2,b=1,c=,(5分)
所以椭圆E的标准方程是+y2=1.(6分)
(2)由题意,设直线l1的方程为y=k1(x-t),代入椭圆E的方程中,并化简得(1+4k)x2-8ktx+4kt2-4=0.(8分)
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
(10分)
所以PA·PB=(1+k)|x1-t||x2-t|=(1+k)|t2-(x1+x2)t+x1x2|=(1+k)|t2-+|=,(12分)
同理PC·PD=,(14分)
所以=为定值.(16分)
19.
(1)f′(x)=lnx++a,f′
(1)=a+2=-1,a=-3,(1分)
f
(1)=a=-3,将点(1,-3)代入x+y+b=0,
解得b=2.(2分)
(2)①因为g(x)=lnx-1,
则g′(x)=-+=.(3分)
令φ(x)=x-lnx+1,
则φ′(x)=1-≥0,函数φ(x)在区间[1,e]上单调递增.(5分)
因为φ(x)≥φ
(1)>0,(6分)
所以g′(x)>0,函数g(x)在区间[1,e]上单调递增,所以函数g(x)的最大值为g(e)=.(8分)
②同理,单调增函数g(x)=∈[a,a+1+],(9分)
则h(x)=·.
1°若a≥0,g(x)≥0,h(x)=,
h′(x)=
=≤0,
令u(x)=-(1+x+x2)lnx-ax2+x+1,
则u′(x)=-(1+2x)lnx--(2a+1)x<0,
即函数u(x)区间在[1,e]上单调递减,
所以u(x)max=u
(1)=-a+2≤0,
所以a≥2.(11分)
2°若a≤-,g(x)≤0,h(x)=-,
由1°知,h′(x)=,又函数h(x)在区间[1,e]上是单调减函数,
所以u(x)=-(1+x+x2)lnx-ax2+x+1≥0对x∈[1,e]恒成立,
即ax2≤x+1-(1+x+x2)lnx对x∈[1,e]恒成立,
即a≤+-lnx对x∈[1,e]恒成立.
令φ(x)=+-lnx,x∈[1,e],
φ′(x)=---lnx-(++1)=---+lnx,
记μ(x)=lnx-x+1(1≤x≤e),
又μ′(x)=-1=≤0,
所以函数μ(x)在区间[1,e]上单调递减,
故μ(x)max=μ
(1)=0,即lnx≤x-1,所以
φ′(x)=---+lnx≤---+(x-1)=--<0,
即函数φ(x)在区间[1,e]上单调递减,
所以φ(x)min=φ(e)=+-lne=-1,
所以a≤φ(x)min=-1,又a≤-,
所以a≤-.(13分)
3°若-因为g(x)==lnx+a,
g′(x)=-+=≥=>0,
所以函数g(x)=在区间[1,e]上单调递增.
又g
(1)g(e)=a<0,
则存在唯一的x0∈(1,e),使得h(x0)==0,
所以函数h(x)在区间[1,e]上不单调.(15分)
综上,实数a的取值范围为∪[2,+∞).(16分)
20.
(1)因为3×5=15,均不在此等差数列中,
所以等差数列1,3,5不是P数列.(2分)
(2)因为数列a,b,c,6是P数列,
所以1=a
由于6b或是数列中的项,而6b大于数列中的最大项6,
所以是数列中的项,同理也是数列中的项.(5分)
又因为1<<<6,所以=b,=c,
所以bc=6,又1
综上,实数b的取值范围是(1,).(8分)
(3)因为数列{bn}是P数列,
所以1=b1由于b2bn或是数列中的项,而b2bn大于数列中的最大项bn,
所以是数列{bn}中的项,(10分)
同理,,…,也都是数列{bn}中的项,
又因为1<<…<从而bn=bibn+1-i(i=1,2,…,n-1). ①(12分)
又因为bn-1b3>bn-1b2=bn,所以bn-1b3不是数列{bn}中的项,所以是数列{bn}中的项,
同理,…,也都是数列{bn}中的项.
因为1<<…<<<=bn-2所以同理bn-1=bibn-i(i=1,2,…,n-2), ②(14分)
在①中将i换成i+1后与②相除,
得=,i=1,2,…,n-2,
所以b1,b2,…,bn是等比数列.(16分)
21.A.因为α=是矩阵A=属于特征值-1的一个特征向量,
所以=-,所以
解得x=-3,y=-1,(4分)
所以A=,(6分)
特征多项式为f(λ)==0,
即(λ+3)(λ+1)=0,解得λ=-3或λ=-1,(8分)
所以矩阵A另一个特征值为λ=-3.(10分)
B.以极点为直角坐标系的原点,极轴为x轴建立平面直角坐标系,
直线ρsin=0的直角坐标方程为y=x,(2分)
曲线的普通方程为y2-x2=1,(4分)
则直线与曲线的交点为A和B,(7分)
所以AB==2.(10分)
C.因为|x+1|+|x-a|≥|x+1-x+a|=
|1+a|,(4分)
所以要使不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意的x∈R恒成立,当且仅当|1+a|≥5,(7分)
所以a≥4或a≤-6.
故实数a的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).(10分)
22.由于批量较大,可以认为随机变量X~B(10,0.05),(2分)
(1)恰好有2件不合格的概率为P(X=2)=C×0.052×0.958,
恰好有3件不合格的概率为P(X=3)=C×0.053×0.957.(4分)
因为==>1,
所以P(X=2)>P(X=3),即恰好有2件不合格的概率大.(6分)
(2)因为P(X=k)=pk=Cpk(1-p)10-k,k=0,1,2,…,10.
随机变量X的概率分布为:
X
0
1
2
…
10
pk
Cp0(1-p)10
Cp1(1-p)9
Cp2(1-p)8
…
Cp10(1-p)0
故E(X)=
=0.5.(9分)
故随机变量X的数学期望E(X)为0.5.(10分)
23.
(1)f
(2)==,f(3)=+=,
g
(2)==,g(3)=+=.(3分)
(2)因为
=
=
==,(4分)
所以h(n)=f(n)-g(n)=
=.(5分)
下面用数学归纳法证:
对任意的m∈N*,m≥2,总有h(2m)>.
当m=2时,h(4)=++=>,命题成立;
当m=3时,h(8)=++++>+=+>1,命题成立.(6分)
假设当m=t(t≥3)时,命题成立,即h(2t)>成立.
则当m=t+1时,h(2t+1)=h(2t)+++…+>++++…+.(7分)
因为t≥3,+-=>0,
所以+>.(8分)
又++…+>++…+=,(9分)
所以h(2t+1)>++=,
所以命题成立.(10分)