1、江苏省苏锡常镇四市届高三数学第二次模拟考试试题2含答案 师生通用2019届高三年级第二次模拟考试数 学(满分160分,考试时间120分钟)一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分 1. 已知集合A0,1,2,Bx|1xb0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为.(1) 求椭圆E的标准方程;(2) 已知P(t,0)为椭圆E外一动点,过点P分别作直线l1和l2,直线l1和l2分别交椭圆E于点A,B和点C,D,且直线l1和l2的斜率分别为定值k1和k2,求证:为定值19. (本小题满分16分)已知函数f(x)(x1)ln xax(aR)(1) 若函数yf(x)在点(1,f(1)处的切线方
2、程为xyb0,求实数a,b的值;(2) 设函数g(x),x1,e(其中e为自然对数的底数)当a1时,求函数g(x)的最大值;若函数h(x)是单调减函数,求实数a的取值范围20. (本小题满分16分)定义:若有穷数列a1,a2,an同时满足下列三个条件,则称该数列为P数列首项a11;a1a2an;对于该数列中的任意两项ai和aj(1i4,且数列b1,b2,bn是P数列,求证:数列b1,b2,bn是等比数列2019届高三年级第二次模拟考试(十一)数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答若多做,则按作答的前两小题评分解答时应写出文
3、字说明、证明过程或演算步骤A. 选修42:矩阵与变换(本小题满分10分)已知x,yR,是矩阵A属于特征值1的一个特征向量,求矩阵A的另一个特征值B. 选修44:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中,已知直线l:sin0,在直角坐标系(原点与极点重合,x轴的正方向为极轴的正方向)中,曲线C的参数方程为(t为参数)设直线l与曲线C交于A,B两点,求AB的长C. 选修45:不等式选讲(本小题满分10分)若不等式|x1|xa|5对任意的xR恒成立,求实数a的取值范围【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)从批
4、量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测,若这批产品的不合格率为0.05,随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数(1) 问:这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X3)”哪个大?请说明理由;(2) 求随机变量X的数学期望E(X)23. (本小题满分10分)已知f(n),g(n),其中nN*,n2.(1) 求f(2),f(3),g(2),g(3)的值;(2) 记h(n)f(n)g(n),求证:对任意的mN*,m2,总有 .2019届高三年级第二次模拟考试(十一)(苏锡常镇)数学参考答案102.43. (1,0)4.5.406.7.log238
5、.9.210.311.12.13.14. (1,)15. (1) 在三棱锥DABC中,因为E为DC的中点,F为DB的中点,所以EFBC.(3分)因为BC平面ABC,EF平面ABC,所以EF平面ABC.(6分)(2) 因为ACBC,ACDC,BCDCC,所以AC平面BCD.(8分)因为BD平面BCD,所以ACBD.(10分)因为DCBC,E为BD的中点,所以CEBD.(12分)因为ACCEC,所以BD平面ACE.(14分)16. (1) 设向量a与b的夹角为.因为|a|2,|b|,(4分)所以cos.(7分)因为0,所以向量a与b的夹角为.(9分)(2) 若(ba)a,则(ba)a0,即baa2
6、0.(12分)因为ba2,a24,所以240,解得2.(14分)17. (1) 以路AB所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系,(1分)则点A(20,0),B(20,0),P(0,40)(2分)因为曲线段APB为抛物线的一段弧,所以可以设抛物线的解析式为ya(x20)(x20),将点P(0,40)代入,得40400a,解得a,(4分)所以抛物线的解析式为y(400x2)(5分)因为点C在抛物线上,所以n(400m2),0m0,(6分)所以g(x)0,函数g(x)在区间1,e上单调递增,所以函数g(x)的最大值为g(e).(8分)同理,单调增函数g(x)a,a1,(9分)则h(
7、x).1若a0,g(x)0,h(x),h(x)0,令u(x)(1xx2)lnxax2x1,则u(x)(12x)lnx(2a1)x0,即函数u(x)区间在1,e上单调递减,所以u(x)maxu(1)a20,所以a2.(11分)2若a,g(x)0,h(x),由1知,h(x),又函数h(x)在区间1,e上是单调减函数,所以u(x)(1xx2)lnxax2x10对x1,e恒成立,即ax2x1(1xx2)lnx对x1,e恒成立,即alnx对x1,e恒成立令(x)lnx,x1,e,(x)lnx(1)lnx,记(x)lnxx1(1xe),又(x)10,所以函数(x)在区间1,e上单调递减,故(x)max(1
8、)0,即lnxx1,所以(x)lnx(x1)0,即函数(x)在区间1,e上单调递减,所以(x)min(e)lne1,所以a(x)min1,又a,所以a.(13分)3若a0,所以函数g(x)在区间1,e上单调递增又g(1)g(e)a0,则存在唯一的x0(1,e),使得h(x0)0,所以函数h(x)在区间1,e上不单调(15分)综上,实数a的取值范围为2,)(16分)20. (1) 因为3515,均不在此等差数列中,所以等差数列1,3,5不是P数列(2分)(2) 因为数列a,b,c,6是P数列,所以1abc6,(3分)由于6b或是数列中的项,而6b大于数列中的最大项6,所以是数列中的项,同理也是数
9、列中的项(5分)又因为16,所以b,c,所以bc6,又1bc,所以1b,(7分)综上,实数b的取值范围是(1,)(8分)(3) 因为数列bn是P数列,所以1b1b2b3bn,由于b2bn或是数列中的项,而b2bn大于数列中的最大项bn,所以是数列bn中的项,(10分)同理,也都是数列bn中的项,又因为1bn,且1,bn这n个数全是共有n项的增数列1,b2,bn中的项,所以b2,bn1,从而bnbibn1i(i1,2,n1)(12分)又因为bn1b3bn1b2bn,所以bn1b3不是数列bn中的项,所以是数列bn中的项,同理,也都是数列bn中的项因为1bn2bn11,所以P(X2)P(X3),即
10、恰好有2件不合格的概率大(6分)(2) 因为P(Xk)pkCpk(1p)10k,k0,1,2,10.随机变量X的概率分布为:X01210pkCp0(1p)10Cp1(1p)9Cp2(1p)8Cp10(1p)0故E(X)0.5.(9分)故随机变量X的数学期望E(X)为0.5.(10分)23. (1) f(2),f(3),g(2),g(3).(3分)(2) 因为,(4分)所以h(n)f(n)g(n).(5分)下面用数学归纳法证:对任意的mN*,m2,总有h(2m).当m2时,h(4),命题成立;当m3时,h(8)1,命题成立(6分)假设当mt(t3)时,命题成立,即h(2t)成立则当mt1时,h(2t1)h(2t).(7分)因为t3,0,所以.(8分)又,(9分)所以h(2t1),所以命题成立(10分)
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