数理统计习题.docx
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数理统计习题
数理统计考试试卷
一、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体X〜N（20,3）的容量分别为10,15的两独立样本均值差XY~
2、设X1,X2,...,X16为取自总体
X〜N（0,0.52）的一个样本，若已知
0.01（16）32.0,则
16
P{Xi28}=
i1
3、设总体X~N（,2），若
均未知，n为样本容量，总体均值的置信水平为
1的置信区间为（X,X
），则
的值为
4、设X1,X2,...,Xn为取自总体
X~N（
2）的一个样本，对于给定的显著性水平
，已知
关于2检验的拒绝域为
2<
12（n1），则相应的备择假设H1为
5、设总体X~N（,2），
已知，在显著性水平下，检验假设H。
：
拒绝域是
1、N（0，）；2、；3、t
2
（n
5、zZ0.05。
二、选择题（本题15分，每题
3分）
1、设X1,X2,X3是取自总体X的一个样本,
是未知参数，以下函数是统计量的为（
（A）（X1X2X3）（B）X1X2
X3
（C-X1X2X3
13
1i1（Xi
）2
2、设X1,X2,…,Xn为取自总体X~N（,
2）的样本，X为样本均值,
S2
1n
-（Xi
ni1
X）2，
则服从自由度为n1的t分布的统计量为
（A）五—（B）五—
Sn
（D）
Jn1（应
Sn
3、设X1,X2,,Xn是来自总体的样本,
D（X）2存在，S2
（XiX）2,
则（
（A）S2是2的矩估计
（B）S2是2的极大似然估计
（C）s2是2的无偏估计和相合估计
（D）S2作为2的估计其优良性与分布有关
4、设总体X~N（1,f）,Y〜N（
；）相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别
为sj,s；，在显著性水平下，检验
H0：
2
2的拒绝域为（
（A）
（n216
1）
（B）
2
S2
S12
（n2
2
1,n11）
5、设总体
2
玄F
2厂
S1
（n11,n2
1）
（D）
2
S2
S1
（山
2
1,n21）
X~N（
2），
2.
已知,
未知，
X1，X2，,Xn是来自总体的样本观察值，已
知的置信水平为的置信区间为
则取显著性水平
0.05时，检验假设
Ho：
5.0,H1：
5.0的结果是（
（A）不能确定
（B）接受H0
（C）拒绝Ho
（D）
条件不足无法检验
1、B；2、D;
C;4、A；5、B.
三、（本题14分）
设随机变量
X的概率密度为:
lxf（x）
0,
X
其他，其中未知
参数
0，Xi,
Xn是来自
X的样本，求
（1）
的矩估计;
（2）的极大似然估计。
解：
（1）
E（X）
xf（x）dx
lx22
0—dx-
令E（）?
）
X|
o3-
得？
-X为参数
2
的矩估计量。
似然函数为:
nIXi
2
i1
|nn
2n
i1
Xi,0Xi,（i1,2,,n），
而L（）是的单调减少函数，所以
的极大似然估计量为?
max{X1,X2,
，Xn}。
四、（本题14分）设总体X~N（0,2），
且X1,X2X10是样本观察值，样本方差
s22，
X2X2
（1）求2的置信水平为的置信区间；
（2）已知Y—~2
（1），求D—2的置信水平为
解:
（1）
2的置信水平为的置信区间为
1818
"2,2
0.025（9）0.975（9）
，即为（，）;
X*2
—3
由于
X2
~3
2的单调减少函数，置信区间为
即为
五、（本题
10分）设总体
X服从参数为的指数分布，其中
0未知，Xi,,Xn为取自
（1）的置信水平为1
（2）某种元件的寿命（单位:
样本均值为5010
总体X的样本，若已知
2n2
U—Xi〜（2n），求：
i1
的单侧置信下限；
h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得（h），试求元件的平均寿命的置信水平为的单侧置信下限。
（0.05（31）44.985,
0.10（32）42.585）。
解：
（1）P泌
2（2n）1
即的单侧置信下限为
2nX
-2（2n）；
（2）
2165010
42.585
3764.706。
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度X〜N（10,1），今阶段
性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L），标准差为（mg/L），问该工厂生产是否正常
（0.05,t0.025（9）2.2622,0.025（9）19.023,爲75（9）2.700）
解:
2
0
（1）检验假设H）:
2=1,H:
2工1;取统计量:
拒绝域为：
2<2（n1）02975（9）=或2>2（n1）
1_■_
22
2_
0.025=，
经计算：
2（n严91.^12.96，由于212.96
cT1
2
（2.700,19.023），
故接受HO,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为
2=1。
（2）检验假设H0:
10,H1：
10；
取统计量：
t
S/誥〜/；
拒绝域为tt0.025（9）2.2622；
叫卍2.1028<，
1.2/J10
所以接受Ho，
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是综上，认为工厂生产正常。
10（mg/L）。
七、（本题10分）
Xi,X2,X3,X4为取自总体X〜N（,42）的样本，对假设检验问题
H。
：
5,H1：
5,
（1）在显著性水平下求拒绝域；
（2）若=6,求上述检验所犯的第
二类错误的概率
。
解：
（1）拒绝域为
z
x5
x5
Z0.0251.96;
4/J4
2
（2）由
（1）解得接受域为（，
），当=6时，接受
H0的概率为
P{1.08X
8.92}心
2
1.086
2
0.921。
八、（本题8分）设随机变量
X服从自由度为（m,n）的F分布,
（1）证明：
随机变量丄服从
X
}0.05，求P{X-}的值。
自由度为（n,m）的F分布；
（2）若mn，且P{X
证明：
因为X~F（m,n）,由F分布的定义可令X
U/m»亠112,、、，
，其中U〜（m）,V〜V/n
2（n），U
与V相互独立，所以—Y^〜F（n,m）。
XU/m
当mn时，X与—服从自由度为（n,n）的
X
从而P{X-}P{—}1P{—}
XX
数理统计试卷参考答案
、填空题（本题15分，每题3分）
1S
20.05。
1、N（0,—）；2、；3、t（n1）〒；
22Jn
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、B;2、D;3、C4、A;5、B.
三、（本题14分）解:
（1）E（X）xf（x）dx
令E（灼
一2-3—
X2，得？
3X为参数
的矩估计量。
⑵似然函数为:
n2xi2nn
L（xi,）—厂—xi
i1i1
0Xi
1,2,,n），
四、（本题14分）解:
（1）2的置信水平为的置信区间为
1818
0.025（9）0.975（9）
即为（，）；
（2）D
X2
—3
1
tD[
2
（1）]—；
由于
X2
~3
2的单调减少函数，置信区间为
即为
五、（本题
10分）解：
⑴
P2nX
2（2n）1
咅1
（2n）
即的单侧置信下限为
2nX
；
（2）
216
5010
42.585
3764.706o
六、（本题14分）解:
（1）检验假设
HO:
2=1,
H：
2m1;取统计量：
23
1）s2
2
0
拒绝域为:
2<
12_（n
2
1）
0.975（9）=或A（n
"2
1）
2_
0.025=,
经计算:
（n
1）s2
2
仝12.96，由于212.96
（2.700,19.023）2,
故接受HO,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为
2=1o
（2）检验假设H0:
10,H1:
10;
取统计量：
t
10
t_（9）;
2
拒绝域为tt0.025（9）2.2622；
竺』2.1028<,
1.2/』10
所以接受
H0,
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是综上，认为工厂生产正常。
10（mg/L）o
七、（本题10分）解：
⑴
拒绝域为
x5
x5
4/^4
2
iz
=6时，接受
H0的概率为
Z0.0251.96；
（2）由⑴解得接受域为（,
）,当
P{1.08X
8.92}
8.926
2
1.086
2
0.921。
八、（本题8分）证明：
因为X~F（m,n）,
F分布的定义可令X
2（m）,V〜2（n），U与V相互独立，所以
泮〜F（n,m）。
U/m
P{X丄},
0.050.95。
当mn时，X与—服从自由度为（n,n）的F分布，故有P{X
X
从而P{X丄}P{—}1P{1}1P{X}1
XX
輕1
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