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1、数理统计习题数理统计考试试卷一、填空题(本题 15分，每题3 分)1、总体XN(20,3)的容量分别为10,15的两独立样本均值差 X Y 2、设X 1, X 2 ,., X16为取自总体XN(0,0.52)的一个样本，若已知0.01(16) 32.0 ,则16P Xi2 8=i 13、设总体X N( , 2)，若均未知，n为样本容量，总体均值 的置信水平为1 的置信区间为(X ,X)，则的值为4、设X1,X2,.,Xn为取自总体X N(2)的一个样本，对于给定的显著性水平，已知关于 2检验的拒绝域为212 (n 1)，则相应的备择假设 H1为5、设总体 X N( , 2)，已知，在显著性水平

2、下，检验假设 H。：拒绝域是1、N (0，) ； 2、； 3、t2(n5、 z Z0.05。二、选择题(本题 15分，每题3 分)1、设X1,X2,X3是取自总体 X的一个样本,是未知参数，以下函数是统计量的为(A) (X1 X2 X3) (B) X1 X2X3(C -X1X2X31 31i1(Xi)22、设X1,X2,Xn为取自总体X N(,2)的样本，X为样本均值,S21 n-(Xin i 1X)2，则服从自由度为n 1的t分布的统计量为(A)五(B)五Sn(D)Jn 1(应Sn3、设X1,X2, ,Xn是来自总体的样本,D(X) 2 存在，S2(Xi X)2,则(A) S2是2的矩估计(

3、B) S2是2的极大似然估计(C) s2是2的无偏估计和相合估计(D) S2作为2的估计其优良性与分布有关4、设总体 X N( 1, f),Y N(；)相互独立，样本容量分别为 n 1, n2，样本方差分别为sj, s；，在显著性水平 下，检验H0： 22的拒绝域为(A)(n2 161)(B)2S2S12(n221,n1 1)5、设总体2玄F2 厂S1(n1 1,n21)(D)2S2S1(山21,n2 1)X N(2)，2 .已知,未知，X1，X2， ,Xn是来自总体的样本观察值，已知 的置信水平为的置信区间为则取显著性水平0.05时，检验假设Ho： 5.0, H1：5.0的结果是(A)不能确

4、定(B)接受H0(C)拒绝Ho(D)条件不足无法检验1、B； 2、D;C; 4、A； 5、B.三、(本题14分)设随机变量X的概率密度为:lx f(x)0,X其他 ，其中未知参数0，Xi,Xn是来自X的样本，求(1 )的矩估计;(2) 的极大似然估计。解：(1)E(X)xf (x)dxlx2 20dx -令 E()?)X|o 3 -得？ -X为参数2的矩估计量。似然函数为:n IXi2i 1|n n2ni 1Xi ,0 Xi ,(i 1,2, ,n)，而L()是的单调减少函数，所以的极大似然估计量为 ? max X1, X 2,，Xn。四、(本题14分)设总体X N(0, 2)，且X1 , X

5、2 X10是样本观察值，样本方差s2 2，X 2 X 2(1 )求2的置信水平为的置信区间；(2)已知Y 2(1)，求D 2 的置信水平为解:(1)2的置信水平为的置信区间为18 182 , 20.025 (9) 0.975 (9)，即为（，）;X* 23由于X232的单调减少函数，置信区间为即为五、（本题10分）设总体X服从参数为 的指数分布，其中0未知，Xi, ,Xn为取自（1） 的置信水平为1（2 ）某种元件的寿命（单位:样本均值为5010总体X的样本，若已知2 n 2U Xi （2n），求：i 1的单侧置信下限；h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为 16的样本，测得 （h），试求元件

6、的平均寿命的置信水平为的单侧置信下限。(0.05(31) 44.985,0.10(32)42.585)。解：（1） P泌2(2n) 1即的单侧置信下限为2nX-2(2n) ；( 2)2 16 501042.5853764.706。六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度 XN（10,1），今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（ mg/L），标准差为（mg/L），问该工厂生产是否正常( 0.05,t0.025(9) 2.2622, 0.025 (9) 19.023,爲75(9) 2.700)解:20（1 ）检验假设 H）: 2=1, H: 2工1;取统计量:拒绝域为： 2

7、 2(n 1)1 _ _2 22 _0.025 =，经计算： 2 (n 严 9 1. 12.96，由于 2 12.96cT 12(2.700,19.023)，故接受HO,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。(2)检验假设 H0: 10, H1： 10；取统计量：tS/誥/ ；拒绝域为 t t0.025(9) 2.2622 ；叫卍 2.1028，1.2/J10所以接受Ho，即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 综上，认为工厂生产正常。10( mg/L)。七、（本题10分）Xi,X2,X3,X4为取自总体 XN（ ,42）的样本，对假设检验问题H。： 5,H1：5 ,（1）在显

8、著性水平下求拒绝域； （2）若 =6,求上述检验所犯的第二类错误的概率。解：（1）拒绝域为zx 5x 5Z0.025 1.96 ;4/J42（2）由（1）解得接受域为（，），当 =6时，接受H 0的概率为P1.08 X8.92心21.08 620.921。八、（本题8分）设随机变量X服从自由度为（m,n）的F分布,（1）证明：随机变量丄服从X 0.05，求 PX -的值。自由度为（n ,m）的F分布；（2）若m n，且PX证明：因为X F（m,n）,由F分布的定义可令 XU/m 亠11 2,、， ，其中U （m）,V V/n2(n)，U与V相互独立，所以YF（ n,m）。X U /m当m n时

9、，X与服从自由度为（n, n）的X从而 PX - P 1 P X X数理统计试卷参考答案、填空题（本题 15分，每题3 分）1S20.05。1、N(0,) ； 2、； 3、t (n 1)；22 Jn二、选择题（本题 15分，每题3 分）1、B; 2、D; 3、C 4、A; 5、B.三、（本题14分）解:(1) E(X) xf(x)dx令E（灼一 2 - 3 X 2，得？ 3X为参数的矩估计量。似然函数为:n 2xi 2n nL(xi ,) 厂 xii 1 i 1,0 Xi1,2, ,n)，四、（本题14分）解:（1） 2的置信水平为的置信区间为18 180.025 ( 9) 0.975 ( 9

10、)即为（，）；(2) DX231tD2(1)；由于X232的单调减少函数，置信区间为即为五、（本题10分）解：P 2nX2(2n) 1咅1(2n)即的单侧置信下限为2nX；（2）2 16501042.5853764.706 o六、（本题14分）解:（1 ）检验假设HO:2=1,H：2m 1;取统计量： 2 31)s220拒绝域为:212_(n21)0.975 (9)=或 A (n21)2 _0.025 =,经计算:(n1)s22仝 12.96，由于 2 12.96(2.700,19.023) 2,故接受HO,即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1o(2)检验假设 H0: 10, H1

11、: 10;取统计量：t10t_ (9);2拒绝域为 t t0.025(9) 2.2622 ；竺2.1028 ,1.2/10所以接受H0,即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是 综上，认为工厂生产正常。10 (mg/L) o七、（本题10分）解：拒绝域为x 5x 54/42iz=6时，接受H 0的概率为Z0.025 1.96 ；（2）由 解得接受域为（,),当P1.08 X8.928.92 621.08 620.921。八、（本题8分）证明：因为 X F(m,n),F分布的定义可令X2（m）,V2（n），U与V相互独立，所以泮F(n,m)。U / mPX 丄,0.05 0.95 。当m n时，X与服从自由度为（n, n）的F分布，故有PXX从而 PX 丄 P 1 P1 1 PX 1X X輕1