第七章 三角形.docx

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第七章三角形

第七章三角形

测试1三角形的边

学习要求

1．理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法．

2．掌握三角形三边关系的一个重要性质．

课堂学习检测

一、填空题

1．由__________________三条线段_______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做______；相邻两边的公共端点叫做______；相邻两边所组成的角叫做______，简称______．

2．如图所示，顶点是A，B，C的三角形，记作______，读作____________．其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用_______表示；顶点C所对的边______还可用______表示．

3．由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质：

______________________________．由它还可推出：

三角形两边的差_____________

__________________．

4．对于△ABC，若a≥b，则a＋b_______c，同时a－b______c；又可写成________＜c＜

________．

5．若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是_________

______，其中x可以取的整数值为__________________．

综合、运用、诊断

一、填空题

6．已知：

如图，试回答下列问题：

（1）图中有______个三角形，它们分别是____________________________________．

（2）以线段AD为公共边的三角形是________________________________________．

（3）线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是______．

（4）△ABC，△ACD，△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．

二、选择题

7．下列各组线段能组成三角形的是（）．

（A）3cm，3cm，6cm（B）2cm，3cm，6cm

（C）5cm，8cm，12cm（D）4cm，7cm，11cm

8．现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取（）．

（A）0.85m长的木条（B）0.15m长的木条

（C）1m长的木条（D）0.5m长的木条

9．从长度分别为10cm，20cm，30cm，40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

10．若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是（）．

（A）6＜l＜15（B）6＜l＜16

（C）11＜l＜13（D）10＜l＜16

三、解答题

11．

（1）一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．

（2）若等腰三角形的两边长分别为3cm和8cm，则它的周长是多少?

（3）一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其他两边的长．

（4）有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

拓展、探究、思考

12．

（1）若三角形三边分别为2，x－1，3，求x的范围．

（2）若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．

（3）等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．

13．如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点．

（1）通过度量AB，CD，DB的长度，确定AB与

的大小关系．

（2）试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．

14．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m和5m的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，小颖有几种选法?

第三根木椁的长度可以是多少?

15．如图，P是△ABC内一点，请想一个办法说明AB＋AC＞PB＋PC．

16．如图，D，E是△ABC内的两点，求证：

AB＋AC＞BD＋DE＋EC．

测试2三角形的高、中线与角平分线

学习要求

1．理解三角形的高、中线和角平分线的概念，学会它们的画法．

2．对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．

课堂学习检测

一、填空题

1．从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．如图，若CD是△ABC中AB边上的高，则∠ADC______∠BDC＝______，C点到对边AB的距离是______的长．

2．连接三角形的一个顶点和它__________________的______叫做三角形这边上的中线．如图，若BE是△ABC中AC边上的中线，则AE______EC＝

______．

3．三角形一个角的_______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是______________

___________________________．如图，若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD______

∠CAD＝

______或∠BAC＝2______＝2______．

二、画图题

4．分别画出△GEF的高GH，中线EM，角平分线FN．

综合、运用、诊断

一、画图，并回答问题

5．

（1）分别画出△ABC的三条高AD，BE，CF．

（∠A为锐角）（∠A为直角）（∠A为钝角）

（2）这三条高AD，BE，CF所在的直线有怎样的位置关系?

6．

（1）分别画出△ABC的三条中线AD，BE，CF．

（2）这三条中线AD，BE，CF有怎样的位置关系?

（3）设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，从中你能发现什么结论?

7．

（1）分别画出△ABC的三条角平分线AD，BE，CF．

（2）这三条角平分线AD，BE，CF有怎样的位置关系?

（3）设△ABC的角平分线BE，CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中你能发现什么结论?

二、填空题

8．等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线将这个三角形分成两部分，这两部分的周长之差为2cm，则这个等腰三角形的腰长为_______．

9．要使六边形木架不变形，至少要再钉上_______根木条．

拓展、探究、思考

10．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分（以下两问要求各画三个示意图）．

（1）已知一个任意三角形，将其剖分成3个等积的三角形．

（2）已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．

11．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．

测试3与三角形有关的角

学习要求

1．理解三角形的内角、外角的概念．

2．掌握三角形的内角和及外角的性质，并能运用这些性质进行简单的推理和计算．

课堂学习检测

一、填空题

1．三角形的内角和性质是______________________________．

2．三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的推理过程如下：

已知：

△ABC．

求证：

∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．

证明：

过A点作______∥______，

则∠EAB＝______，∠FAC＝______．

（____________，____________）

∵∠EAF是平角，

∴∠EAB＋______＋______＝180°．（）

∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．（）

即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．

3．三角形的一边与____________________________________叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．

4．利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质．

如图，∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD与∠ACB互为______，

即∠ACD＝180°－∠ACB．①

又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，

∴∠A＋∠B＝___________．②

由①、②，得∠ACD＝______＋______．

∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B．

由上述说理，可以得到三角形外角的性质如下：

三角形的一个外角等于______________________________________________________．

三角形的一个外角大于______________________________________________________．

二、解答题

5．如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，求∠BOC的度数．

6．如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．

7．已知：

如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°．求∠C的度数．

8．依据题设，写出结论，想一想，为什么?

如图，△ABC中，∠ACB＝90°．则

（1）∠A＋∠B＝______，即∠A与∠B互为______；

（2）若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．

综合、运用、诊断

一、填空题

9．△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．

10．△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

11．如图，直线a∥b，则∠A＝______．

12．如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．

13．如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______．

14．在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝______．

二、解答题

15．如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．

16．如图，△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．

17．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．

（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．

（2）试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?

说明理由．

拓展、探究、思考

18．如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A＝n°，试用含n的代数式表示∠BOC．

19．如图，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAC及∠BOA．

20．如图，已知线段AD，BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

测试4多边形及其内角和

学习要求

1．理解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和及其外角和的计算公式．

2．理解正多边形的概念．

课堂学习检测

一、填空题

1．平面内，由__________________________________________叫做多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做______________．多边形_____________________叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的_______组成的角叫做多边形的外角．连接多边形______________的线段叫做多边形的对角线．

2．画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在_____________，那么这个多边形称作凸多边形．

3．各个角_______，各条边_________的_________叫做正多边形．

4．n边形的内角和等于_______________．这是因为，从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n边形分为_______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°×______．

5．请按下面给出的思路，进行推理填空．

如图，在n边形A1A2A3…An－1An内任取一点O，依次连接______、_______、______、…、______、_______，则它们将此n边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n边形的内角和＝

180°×_______－（）＝（）×180°．

6．一个多边形的内角和是1980°，则它的边数是______，共有______条对角线，它的外角和是______．

7．正n边形的每一个内角等于______，每一个外角等于______．

8．若一个正多边形的内角和为2340°，则边数为______，它的外角等于______．

9．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的内角和等于______．

10．多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为______，对角线条数为______．

11．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为______．

综合、运用、诊断

一、选择题

12．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）．

（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形

13．一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和（）．

（A）随着增加（B）随着减少（C）保持不变（D）无法确定

14．若一个多边形从一个顶点，只可以引三条对角线，则它是（）．

（A）五边形（B）六边形（C）七边形（D）八边形

15．如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和增加（）．

（A）0°（B）90°（C）180°（D）360°

16．如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中（）．

（A）只有一个直角（B）只有一个锐角

（C）有两个直角（D）有两个钝角

二、解答题

17．如图，四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD的平分线CF交AB于F，BE、CF相交于O，∠A＝124°，∠D＝100°．求∠BOF的度数．

拓展、探究、思考

18．

（1）已知：

如图a，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______．

（2）已知：

如图b，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝______．

图a图b

19．如图，在图a中，猜想：

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______°．

请说明你猜想的理由．

图a图b

如果把图a称为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图b称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H，则2环四边形的内角和为______°；2环五边形的内角和为______°；2环n边形的内角和为______°．

20．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．

21．小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗?

若能，当他走回点A时共走了多少米?

若不能，写出理由．

测试5镶嵌

学习要求

通过镶嵌这一课题的学习，体验角的知识（特别是多边形内角和）在生活、生产实际中的应用；在解决问题的探究实践活动过程中，培养自己学数学、用数学的意识，提高分析问题和解决问题的能力．

课堂学习检测

一、问答题

1．我们常常见到如下图那样图案的地板，它们分别是用正方形、正三角形的材料铺成的．

为什么用这样形状的材料能铺成平整（不互相重叠），又无空隙的地板呢?

2．工人师傅把一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料用来铺地板，按照下面给出的拼接四边形木块的方法，就可以不留下任何空隙而铺成一大片．

（1）请你说出工人师傅之所以能这样拼接的道理．

（2）如果工人师傅手里还有一批形状、大小完全相同，但不规则的三角形边脚余料，那么工人师傅能否用它们拼成平整且无空隙的地板呢?

如果可以，请说出你的理由，并将你剪好的一些形状、大小完全相同、但不规则的三角形纸片，贴在下面的空白处（不互相重叠且无空隙），镶嵌成地板模型．

综合、运用、诊断

3．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数

3

4

5

6

7

8

…

n

正多边形每个内角度数

60°

90°

…

（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?

（3）不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么?

正五边形的地砖会留有不少缝隙

（4）某家庭准备用正三角形与正六边形两种瓷砖结合在一起镶嵌地面，请你帮助设计镶嵌图案，你能设计几种不同的镶嵌方案?

（5）正三角形和正方形组合呢?

（画图说明）

（6）边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是（）．

（A）正方形与正三角形（B）正五边形与正三角形

（C）正六边形与正三角形（D）正八边形与正方形

参考答案

第七章三角形

测试1

1．不在同－直线上的，首尾顺次相接，三角形的边，三角形的顶点，三角形的内角，三角形的角．

2．△ABC，三角形ABC，BC，a；AC，b；AB，c．

3．三角形两边之和大于第三边，小于第三边．

4．＞，＜，a－b，a＋b．

5．1cm＜x＜9cm，2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm．

6．

（1）六，△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE．

（2）△ABD、△ACD、△ADE．

（3）△ACE，∠CAE．

（4）BC∶CD∶DE．

7．C．8．D．9．A．10．D．

11．

（1）6，6，6；

（2）19cm；（3）12cm，12cm；（4）5cm，5cm，2cm．

12．

（1）2＜x＜6；

（2）10≤x＜17；（3）4＜l＜8．

13．

（1）

（2）提示：

对于△ADC，∵AD＋AC＞DC，

∴（AD＋DB）＋AC＞CD＋DB，

即AB＋AC＞CD＋DB．

又∵AB＝AC，∴2AB＞CD＋DB．

从而

14．小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm，11cm，12cm．

15．提示：

延长BP交AC于D．

∵在△ABD中，AB＋AD＞BD＝BP＋PD，①

在△DPC中，DP＋DC＞PC，②

由①、②，

∴AB＋（AD＋DC）＋DP＞BP＋PC＋DP．

即AB＋AC＞PB＋PC．

16．证明：

延长BD交AC于P，延长CE交BP于F．

在△ABP中，AB＋AP＞BP．①

在△FPC中，FP＋PC＞FC．②

在△DEF中，DF＋FE＞DE．③

①＋②＋③得AB＋AP＋FP＋PC＋DF＋FE＞BP＋FC＋DE，

即：

AB＋AC＋DF＋FP＋FE＞BD＋DF＋FP＋FF＋EC＋DE，

所以AB＋AC＞BD＋DE＋EC．

测试2

1．垂线，顶点、垂足，＝，90°，高CD．

2．所对的边的中点、线段，＝，AC．

3．平分线，顶点、交点，一个角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．＝，∠BAC，∠BAD，∠DAC．

4．略．

5．

（1）略，

（2）三条高所在直线交于一点．

6．

（1）略，

（2）三条中线交于一点，（3）BM＝2ME．

7．

（1）略，

（2）三条角平分线交于一点，（3）点N到△ABC三边的距离相等．

8．12cm或8cm．9．3

10．

（1）

（2）下列各图是答案的一部分：

11．它的长为5或4．

提示：

设S△ABC＝S，第三条高为h，则△ABC的三边长可表示为：

、

、

，列不等式得：

∴3＜h＜6．

测试3

1．三角形的内角和等于180°，2．性质、平角，说理过程（略）．

3～4．略．

5．

6．∠B＋∠C＝∠E＋∠F．（此图中的结论为常用结论）7．30°．

8．

（1）90°，余角；

（2）∠A，∠B．

9．60°．10．36°，54°，90°．11．39°．12．115°．13．36°．14．30°，

45°，105°．15．35°．16．24°，24°，114°．17．

（1）10°；

（2）

18．

19．∠DAC＝90°－∠C＝30°；

＝180°－35°－25°＝120°．

20．39°．

由本练习中第4题结论可知：

∠C＋∠CDM＝∠M＋∠MBC，

即

①

同理，

②

由①、②得

，因此∠C＝39°．

测试4

1～3．略．

4．（n－2）×180°，n－3，n－2，n－2．

5．OA1，OA2，OA3，OAn－1，OAn，n，n，360°，（n－2）．

6．十三，65，360°．7．

8．十五，24°．

9．1260°10．十二，54．11．65°或115°．

12．B．13．C．14．B．15．C．16．A．17．68°．

18．

（1）360°；

（2）360°．

19．360；720；1080；2（n－2）×180．

20．九．提示：

设多边形的边数为n，某－个外角为α．

则（n－2）×180＋α＝1350．

从而

因为边数n为正整数，所以α＝90，n＝9．

21．可以走回到A点，共走100米．

测试5

1．这是因为它们的每一个内角分别为90°和60°，用它们可以拼成周角（360°）．

2．

（1）这是因为任意四边形的内角和都是360°．

（2）可以．因为三角形的内角和为180°，拼图略．

3．

（1）

正多边形的边数

5

6

7

8

…

n

正多边形每个内角的度数

108°

120°

（128

）°

135°

…

（2）正三角形、正方形、正六边形．

（3）因为正五边形的每一个内角是108°，它不是360°的约数，所以不行．同理，因为正七边形、正八边形等的每一个内角，也分别不是360°的约数，所以也都不行．

（4）参考图案：

（5）参考图案：

（6）B．