正比例函数图像及性质.docx
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正比例函数图像及性质
正比例函数的图像和性质
知识精要
1.正比例函数的图像
一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图像是经过原点0（0,0）和点M（1,k）的一条直线。
我们把正比例函数y=kx的图像叫做直线y=kx。
2.正比例函数性质
函数
正比例函数1
解析式
y=kx（k^O）
图象
/[ox°[y
自变量取信范围
全休实数
图象的位置
当kAO时，在一*三象限；当时，在二.四象限。
増减性
当k>0时，yBfo的増大而增大；当k<0时，丫陆无的增大而减小〜
精讲名题
m3
X
例1.若函数y=（m-1）是正比例函数，则m=,函数的图像经过象限解:
m=4,图像经过第一、三象限
例2.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。
解：
Ty-1与2x成正比例.••设y-仁k-2x（k0）把x=-1,y=5代入，得k=-2,二y-1=-22x二y=-4x+1
例3.已知y与x的正比例函数，且当x=6时y=-2
（1）求出这个函数的解析式；
（2）在直角坐标平面内画出这个函数的图像；
⑶如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值；
⑷试问，点A（-6，2）关于原点对称的点B是否也在这个图像上？
11
解：
（1）设y=k・x（k0）当x=6时，y=-2二-2=6k二k二这个函数的解析式为yx
33
1
（2）y的定义域是一切实数，图像如图所示：
3
1
⑶如果点P（a，4）在这个函数的图像上，二4丄a,二a=-12
3
⑷点A（-6，2）关于原点对称的点B的坐标（6,-2），
11
当x=6时，y=-62因此，点B也在直线y-x上
33
例4.已知点（X1,yJ，（X2,y2）在正比例函数y=（k-2）x的图像上，当为x?
时，y1y，那么k的取值范围是多少？
解：
由题意，得函数y随x的值增大而减小，
--k-2<0,••k<2
例5.
（1）已知y=ax是经过第二、四象限的直线，且3在实数范围内有意义，求a的取值
范围。
（2）已知函数y=（2m+1）x的值随自变量x的值增大而增大，且函数y=（3m+1）x的值随自变量x的增大而减小，求m的取值范围。
解：
（1）根据题意得a<0,a+3>0•-3（2）根据题意得2m+1>0,3m+1<0解得-1/2例6.已知正比例函数过A（2,-4）,点P在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B
（0,4），且SaABP8，求：
点P的坐标。
解：
设正比例函数解析式为y=k•（k0）
已知正比例函数过A（2,-4）
•••-4=2k，解得k=-2,
•••正比例函数的解析式为y=-2x
如图所示，画出直线y=-2x，并标出A,B两点的位置,分析题意，点P的坐标要分两种情况讨论。
设点P的坐标为（x,，-2x）
1）若点P在第二象限，则SaabpSaaobSapob
11
根据题意，得8=—BOXa-BOxp
22
11
Xp=-2•••点P的坐标为（-2，4）
8=2424|xp解得Xp|=2又点P在第二象限,
解得|xp=6又点P在第四象限，•xp=6•••点P的坐标为（6，-12）
•在正比例函数图像上适合条件的P点有两个：
（-2，4），（6，-12）
热身练习
1.下列关系中的两个量成正比例的是（C）
A.从甲地到乙地，所用的时间和速度；B.正方形的面积与边长
C.买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D.人的体重与身高
2.下列函数中，y是x的正比例函数的是（C）
A.y=4x+1B.y=2x2C.y=-5xD.y=x
3.下列说法中不成立的是（D）
x
A.在y=3x-1中y+1与x成正比例；B.在y=-中y与x成正比例
C.在y=2（x+1）中y与x+1成正比例；D.在y=x+3中y与x成正比例
4.若函数y=（2m+6x2+（1-m）x是正比例函数，贝Um的值是（A）
A.m=-3B.m=1C.m=3D.m>-3
5.已知（x1,y1）和（X2,y2）是直线y=-3x上的两点，且xi>x2，则y1与y2?
的大小关系是（B）
A.y1>y2
B.y1.y1=y2
D
.以上都有可能
6.
下列函数中,
正比例函数是：
（
D）
A2
c2“
42f
2
A.y—
B.y-x—1C.
y
-xD.
y
-x
5x
5
5
5
7.
形如y=kx（k0）
的函数是正比例函数.
8.若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，贝Uk=1.
9.正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第—二、四限，函数值随自变
量的增大而小.
10.已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，贝Uy=9时x=-3.
11.已知y（m3）xm8是正比例函数，贝Um=3.
12.函数y（m2）x2n1mn，当m=0，n=时为正比例函数；
自我测试
1.已知y是x的正比例函数，且当x-2时，y=2,求y与x之间的比例系数，写出函数解析式,并求当y=4：
.3时，x的值。
解:
:
目是x的正比例函数，设函数解析式为y=kx（k工0）
•.•当x=2时，讨=2k=2，解得k—2
•••函数解析式为y=i2x
当y=4.3时，即、、2x=4.3，解得x=2.6.
2.已知正比例函数y=（5-2k）x的图像经过第二、四象限，求k的取值范围解：
•••正比例函数y=（5-2k）x的图像经过第二、四象限
5
•5-2k<0，解得k-
3.已知2y-3与4x+5成正比例，且当x=1时，y=15，求y与x的函数关系式。
解：
•••2y-3与4x+5成正比例
设解析式为2y-3=k（4x+5）（k工0）
学习好帮手
将x=1,y=15代入解析式，得2X15-3=（4X1+5）k,解得k=3
•••解析式为2y-3=3X4x+5），即y=6x+9
（k2广
4.函数y=（k-2）X是正比例函数，且y的值随着x的减小而增大，求k的值
解:
（k2）2
•••函数y=（k-2）X）是正比例函数，
•k-2工0且（k-2）=1,解得k=3或k=1
ty的值随着x的减小而增大•k-2<0，解得k<2•k=1
5.已知y=（k-2）x+k2+k-6为正比例函数。
（1）求k的值及函数解析式
（2）当X取什么值时，函数的值为—
4
20
求：
（1）直线OP的解析式；⑵点P的坐标。
解：
•••点P（2a，3b）且a与b互为相反数
•••点P也可表示为（2a,-3a），点P在第二或第四象限（如图）
1,_
•••Sapoh15二-I2aI?
I-3aI=15,解得a=±52
点P坐标为（2.5,-3.5）或（-25,3,5）
设直线OP解析式为y=kx（20）,将点P坐标带入，解得k=--
2
•••直线OP解析式为y=-3x
2
8•点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm.设蜡烛点燃x分钟后，缩短ycm，求y的函数解析式和x的取值范围。
解:
:
目与x成正比例，设y与x的函数解析式为y=kx（k工0）
根据题意，将x=6，y=3.6代入解析式，得k=3.6=3
65
3
•••函数解析式为y=-x■/y<21，二x<35
5
•••x>0,二x的取值范围是OWx<35.
9.已知正比例函数图像过点（-2,5），过图像上一点A作y轴的垂线，垂足为B的坐标为（0,-3）；
（1）求函数解析式
（2）在直角坐标平面内画出函数图像；
（3）求A点坐标及Saaob
解：
（1）设正比例函数解析式为y=kx（k工0）
55
将（-2，5）代入解析式，解得k=-•函数解析式为y=-x
22
⑶将y=-3代入解析式，得x=6,•••A点坐标（6,-3）aob=1更X3=-
55255
10.已知直线y=kx过点（
1
2，3），A为y=kx图像上的一点，过点A向x轴引垂线，垂足为点B
S^AOB=5
（1）求函数解析式
（2）在直角坐标平面内画出函数图像；
⑶求A点、B点的坐标。
解：
（1）设正比例函数解析式为y=kx（k工0）
1
将（—,3）代入解析式，解得k=6•函数解析式为y=6x
2
（2）函数图像见下图：
⑶•aob=5，.•
2xAyA5，即A6xA5，解得XA=±3^
A/（15
•a（T，
2届），B（呼，0）或A（呼，2尿），B（"'15，0）
333
11.已知在正比例函数f（x）=（2m-3）
（1）
（1）求m的值；
2
（2）
（2）求f（护
（3）（3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x取何值时，y2
Iy随x的值减小而减小•2m-3>0,解得m>1.5：
m=2,函数解析式为f（x）=x
222
⑵将x=_代入解析式，得f（
由函数图象可知，当x<-2时，y<-2
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