全国卷Ⅰ理科.docx
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全国卷Ⅰ理科
全国卷Ⅰ（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（ ）
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅
解析：
集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A.
答案：
A
2.
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A．1,4B．π,8
C．1,2D．π,4
解析：
不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π,2，故此点取自黑色部分的概率为π,2,4＝π,8，故选B.
答案：
B
3．设有下面四个命题
p1：
若复数z满足1,z∈R，则z∈R；
p2：
若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：
若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；
p4：
若复数z∈R，则z∈R.
其中的真命题为（ ）
A．p1，p3B．p1，p4
C．p2，p3D．p2，p4
解析：
设复数z＝a＋bi（a，b∈R），对于p1，∵1,z＝1,a＋bi＝a－bi,a2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝（a＋bi）2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi（x，y∈R），z2＝c＋di（c，d∈R），则z1z2＝（x＋yi）（c＋di）＝cx－dy＋（dx＋cy）i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴z＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命题．故选B.
答案：
B
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（ ）
A．1B．2
C．4D．8
解析：
设等差数列{an}的公差为d，
∴a1＋3d＋a1＋4d＝24，
6a1＋6×5,2d＝48，∴d＝4，故选C.
答案：
C
5．函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且为奇函数．若f
（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[－2,2]B．[－1,1]
C．[0,4]D．[1,3]
解析：
∵函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且f
（1）＝－1，∴f（－1）＝－f
（1）＝1，由－1≤f（x－2）≤1，得－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.
答案：
D
6．1＋1,x2（1＋x）6展开式中x2的系数为（ ）
A．15B．20
C．30D．35
解析：
（1＋x）6展开式的通项Tr＋1＝Cr6xr，所以1＋1,x2（1＋x）6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30，故选C.
答案：
C
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A．10B．12
C．14D．16
解析：
由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×2,2×2＝12，故选B.
答案：
B
8．如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A>1000和n＝n＋1
B．A>1000和n＝n＋2
C．A≤1000和n＝n＋1
D．A≤1000和n＝n＋2
解析：
程序框图中A＝3n－2n，故判断框中应填入A≤1000，由于初始值n＝0，要求满足A＝3n－2n>1000的最小偶数，故执行框中应填入n＝n＋2，选D.
答案：
D
9．已知曲线C1：
y＝cosx，C2：
y＝sin2x＋2π,3，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π,6个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π,12个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1,2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π,6个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1,2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π,12个单位长度，得到曲线C2
解析：
易知C1：
y＝cosx＝sinx＋π,2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的1,2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π,2的图象，再把所得函数的图象向左平移π,12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π,12＋π,2＝sin2x＋2π,3的图象，即曲线C2，故选D.
答案：
D
10．已知F为抛物线C：
y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为（ ）
A．16B．14
C．12D．10
解析：
抛物线C：
y2＝4x的焦点为F（1,0），由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：
y＝k（x－1），l2：
y＝－1,k（x－1），由y2＝4x，
y＝k（x－1），消去y得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1＋x2＝2k2＋4,k2＝2＋4,k2，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋4,k2＋2＝4＋4,k2.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋4,k2＋4＋4k2＝8＋41,k2＋k2≥8＋8＝16，当且仅当1,k2＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16，故选A.
答案：
A
11．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ ）
A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y
C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z
解析：
设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2,logk2－3,logk3＝2logk3－3logk2,logk2·logk3＝logk32－logk23,logk2·logk3＝logk9,8,logk2·logk3>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3,logk3－5,logk5＝3logk5－5logk3,logk3·logk5＝logk53－logk35,logk3·logk5＝logk125,243,logk3·logk5<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2,logk2－5,logk5＝2logk5－5logk2,logk2·logk5＝logk52－logk25,logk2·logk5＝logk25,32,logk2·logk5<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y，故选D.
答案：
D
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）
A．440B．330
C．220D．110
解析：
设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为n（n＋1）,2.由题意可知，N>100，令n（n＋1）,2>100，∴n≥14，n∈N*，即N出现在第13组之后．易得第n组的所有项的和为1－2n,1－2＝2n－1，前n组的所有项的和为2（1－2n）,1－2－n＝2n＋1－n－2.设满足条件的N在第k＋1（k∈N*，k≥13）组，且第N项为第k＋1组的第t（t∈N*）个数，第k＋1组的前t项的和2t－1应与－2－k互为相反数，即2t－1＝k＋2，∴2t＝k＋3，∴t＝log2（k＋3），∴当t＝4，k＝13时，N＝13×（13＋1）,2＋4＝95<100，不满足题意，当t＝5，k＝29时，N＝29×（29＋1）,2＋5＝440，当t>5时，N>440，故选A.
答案：
A
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝__________.
解析：
易知|a＋2b|＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×1,2＋4＝23.
答案：
23
14．设x，y满足约束条件x＋2y≤1，
2x＋y≥－1，
x－y≤0，则z＝3x－2y的最小值为__________．
解析：
画出不等式组x＋2y≤1，
2x＋y≥－1，
x－y≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝3,2x－z,2过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由x＋2y＝1，
2x＋y＝－1，解得x＝－1，
y＝1.∴zmin＝－5.
答案：
－5
15．已知双曲线C：
x2,a2－y2,b2＝1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为__________．
解析：
双曲线的右顶点为A（a,0），一条渐近线的方程为y＝b,ax，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝|ba－a×0|,b2＋a2＝ab,c，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝ab,c，即3b,2＝ab,c，所以e＝2,3＝23,3.
答案：
23,3
16.
如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为__________．
解析：
法一：
由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC的边长变化时，设△ABC的边长为a（a>0）cm，则△ABC的面积为3,4a2，△DBC的高为5－3,6a，则正三棱锥的高为5－3,6a2－3,6a2＝25－53,3a，
∴25－53,3a>0，∴0法二：
如图，连接OD交BC于点G，由题意知，OD⊥BC.易得OG＝3,6BC，∴OG的长度与BC的长度成正比．设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，S△ABC＝23x·3x·1,2＝33x2，则所得三棱锥的体积V＝1,3×33x2×（5－x）2－x2＝3x2×25－10x＝3×25x4－10x5.令f（x）＝25x4－10x5，x∈0，5,2，则f′（x）＝100x3－50x4，令f′（x）>0，即x4－2x3<0，得0（2）＝80，∴V≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.
答案：
415
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a2,3sinA.
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解析：
（1）由题设得1,2acsinB＝a2,3sinA，
即1,2csinB＝a,3sinA.
由正弦定理得1,2sinCsinB＝sinA,3sinA.
故sinBsinC＝2,3.
（2）由题设及
（1）得cosBcosC－sinBsinC＝－1,2，
即cos（B＋C）＝－1,2.
所以B＋C＝2π,3，故A＝π,3.
由题设得1,2bcsinA＝a2,3sinA，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即（b＋c）2－3bc＝9，得b＋c＝33.
故△ABC的周长为3＋33.
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
（1）证明：
平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值．
解析：
（1）证明：
由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，又AP∩PD＝P，从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.
由
（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
由
（1）及已知可得A2,2,0,0，P0,0，2,2，B2,2,1,0，C－2,2,1,0.
所以PC＝－2,2,1，－2,2，CB＝（2,0,0），PA＝2,2,0，－2,2，AB＝（0,1,0）．
设n＝（x1，y1，z1）是平面PCB的法向量，则
n·PC＝0，
n·CB＝0，即－2,2x1＋y1－2,2z1＝0，
2x1＝0.
可取n＝（0，－1，－2）．
设m＝（x2，y2，z2）是平面PAB的法向量，则
m·PA＝0，
m·AB＝0，即2,2x2－2,2z2＝0，
y2＝0.
可取m＝（1,0,1）．
则cos〈n，m〉＝n·m,|n||m|＝－2,3×2＝－3,3.
所以二面角APBC的余弦值为－3,3.
19．（本小题满分12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x＝1,16∑16,i＝1xi＝9.97，s＝1,16∑16,i＝1（xi－x）2＝1,16（∑16,i＝1x2i－16x2）≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
用样本平均数x作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
剔除（－3，＋3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：
若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－3σ解析：
（1）抽取的一个零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率为0.0026，故X～B（16,00026）．因此P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－0.997416≈0.0408.
X的数学期望为E（X）＝16×0.0026＝0.0416.
（2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ－3σ，μ＋3σ）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
②由x＝9.97，s≈0.212，得μ的估计值为＝9.97，σ的估计值为＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（－3，＋3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的平均数为
1,15×（16×9.97－9.22）＝10.02，
因此μ的估计值为10.02.
∑16,i＝1x2i＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，
剔除（－3，＋3）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为
1,15×（1591.134－9.222－15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为0.008≈0.09.
20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
x2,a2＋y2,b2＝1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3－1，3,2，P41，3,2中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：
l过定点．
解析：
（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点．
又由1,a2＋1,b2>1,a2＋3,4b2知，C不经过点P1，所以点P2在C上．
因此1,b2＝1，
1,a2＋3,4b2＝1，解得a2＝4，
b2＝1.
故椭圆C的方程为x2,4＋y2＝1.
（2）证明：
设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：
x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为t，4－t2,2，t，－4－t2,2.
则k1＋k2＝4－t2－2,2t－4－t2＋2,2t＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：
y＝kx＋m（m≠1）．将y＝kx＋m代入x2,4＋y2＝1得（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16（4k2－m2＋1）>0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－8km,4k2＋1，x1x2＝4m2－4,4k2＋1.
而k1＋k2＝y1－1,x1＋y2－1,x2
＝kx1＋m－1,x1＋kx2＋m－1,x2
＝2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）,x1x2
由题设k1＋k2＝－1，故（2k＋1）x1x2＋（m－1）（x1＋x2）＝0.
即（2k＋1）·4m2－4,4k2＋1＋（m－1）·－8km,4k2＋1＝0.
解得k＝－m＋1,2.
当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：
y＝－m＋1,2x＋m，即y＋1＝－m＋1,2（x－2），
所以l过定点（2，－1）．
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
解析：
（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝2ae2x＋（a－2）ex－1＝（aex－1）（2ex＋1）．
①若a≤0，则f′（x）<0，所以f（x）在（－∞，＋∞）单调递减．
②若a>0，则由f′（x）＝0得x＝－lna.
当x∈（－∞，－lna）时，f′（x）<0；当x∈（－lna，＋∞）时，f′（x）>0.所以f（x）在（－∞，－lna）单调递减，在（－lna，＋∞）单调递增．
（2）①若a≤0，由
（1）知，f（x）至多有一个零点．
②若a>0，由
（1）知，当x＝－lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（－lna）＝1－1,a＋lna.
a．当a＝1时，由于f（－lna）＝0，故f（x）只有一个零点；
b．当a∈（1，＋∞）时，由于1－1,a＋lna>0，即f（－lna）>0，故f（x）没有零点；
c．当a∈（0,1）时，1－1,a＋lna<0，即f（－lna）<0.
又f（－2）＝ae－4＋（a－2）e－2＋2>－2e－2＋2>0，故f（x）在（－∞，－lna）有一个零点．
设正整数n0满足n0>ln3,a－1，则f（n0）＝en0（aen0＋a－2）－n0>en0－n0>2n0－n0>0.
由于ln3,a－1>－lna，因此f（x）在（－lna，＋∞）有一个零点．
综上，a的取值范围为（0,1）．
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4 4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，
y＝sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x＝a＋4t，
y＝1－t（t为参数）．
（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a.
解析：
（1）曲线C的普通方程为x2,9＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，
由x＋4y－3＝0，
x2,9＋y2＝1解得x＝3，
y＝0或x＝－21,25，
y＝24,25.
从而C与l的交点坐标为（3,0），－21,25，24,25.
（2）直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点（3cosθ，sinθ）到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|,17.
当a≥－4时，d的最大值为a＋9,17.由题设得a＋9,17＝17，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为－a＋1,17.由题设得－a＋1,17＝17，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
23．（本小题满分10分）选修4 5：
不等式选讲
已知函数f（x）＝－x2＋ax＋4，g（x）＝|x＋1|＋|x－1|.
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解析：
（1）当a＝1时，不等式f（x）≥g（x）等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0. ①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1所以f（x）≥g（x）的解集为x|－1≤x≤－1＋17,2.
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