第三部分第三章二维随机变量的联合概率分布双份.docx

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第三部分第三章二维随机变量的联合概率分布双份

第三部分第三章：

二维随机变量的联合概率分布双份

　　　　　　　　第三部分概率论与数理统计　　第三章二维随机变量的联合概率分布　　[考试内容]　　随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。

　　[考试要求]　　1．理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质；　　2．理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：

离散型联合概率分布和连续型联合概率密度，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布；　　3．理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续性随机变量独立的条件，理解随机变量的不相关与独立性的关系；　　4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。

　　5．会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。

　　　　[命题特点]　　本章一般出计算题，近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。

　　　　1　　　　　　　　[内容综述]　　　　一、多维随机变量的概念　　二维随机变量：

随机试验E的样本空间为?

}，设X?

X（?

）和Y?

Y（?

）是定义在?

上的随机变量，它们构成的一个向量（X,Y），叫做二维随机向量或二维随机变量．　　二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质1.联合分布函数：

　　F（x,y）?

P{?

P{X?

x,Y?

y}．　　分布函数的基本性质：

　　1）F（x,y）是关于x或y的非减函数，即　　对于固定的y，若x1＜x2，则F≤F；对于固定的x，若y1＜y2，则F≤F．2）0≤F（x,y）≤1．　　F（x,y）?

1；F（?

y）?

limF（x,y）?

0；且F（?

）?

xlim?

F（x,?

）?

limF（x,y）?

0；F（?

）?

limF（x,y）?

0．　　y?

3）F（x,y）对每个变量右连续，即　　F（x,y）?

F（x?

0,y），F（x,y）?

F（x,y?

0）．　　　　2　　　　4）根据概率可加性，对于如图任意　　（x1,y1）,（x2,y2）　　P{x1?

x2,y1?

y2}　　?

P{X?

x2,Y?

y2}?

P{X?

x1,Y?

y2}　　?

P{X?

x2,Y?

y1}?

P{X?

x1,Y?

y1}　　?

F（x2,y2）?

F（x1,y2）?

F（x2,y1）?

F（x1,y1）?

0．　　2.二维离散型和连续型随机变量的分布：

　　1）二维离散型随机变量：

如果二维随机变量（X,Y）的所有可能的值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y）是离散型的随机变量．其分布律为　　P{X?

xi,Y?

yj}?

Pij,i,j?

1,2,?

，满足：

①Pij?

0；②　　?

Pij?

1；　　i?

1j?

③　　F（x,y）?

xi?

xyi?

Pij．　　?

2）二维连续型随机变量：

如果对于二维随机变量（X,Y）的分布函数　　F（x,y）F（x,y）?

，存在非负函数f（x,y），使对于任意实数　　yxx,y有　　f（u,v）dudv，则称（X,Y）为连续型的随机变量，函数f（x,y）?

称为（X,Y）的概率密度．满足：

①f（x,y）?

0；②?

f（x,y）dxdy?

F（?

）?

1；　　?

2F（x,y）?

f（x,y；））　　③在f（x,y的连续点处有　　?

y④　　随机点（X,Y）落在平面区域G内的概率为　　P{（X,Y）?

G}?

f（x,y）dxdy．　　G　　3　　　　　　三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系1.边缘分布函数　　FX（x）?

P{X?

x,Y?

F（x,?

），FY（y）?

P{X?

y}?

F（?

y）；2．二维离散型随机变量的边缘律及分布函数?

P{X?

xi}?

Pij?

pi?

1,2,?

P{Y?

yj}?

1,2,?

Pij?

j,i?

FX（x）?

F（x,?

）?

ij?

y）?

pijx?

p，FY（y）?

F（i?

xj?

1i?

1y?

y；　　3．二维连续型随机变量的边缘概率密度　　fX（x）?

f（x,y）dy，fY（y）?

f（x,y）dx．　　（联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!

）　　四、了解二维随机变量的条件分布　　　　（这几年考试内容明显增多）1.条件分布函数　　FX|Y（x|y）?

P{X?

x|Y?

y}　　称为在条件Y?

y下X的条件分布函数；　　FY|X（y|x）?

P{Y?

y|X?

x}　　称为在条件　　X?

x下Y的条件分布函数．　　2．离散型随机变量的条件分布律　　4　　　　　　P{X?

xi,Y?

yj}Pij　　P{X?

xi|Y?

yj}?

P{Y?

y,i?

1,2,?

　　j}?

j称为在条件　　Y?

yj下X的条件分布函数；　　P{Y?

yi}j|X?

xP{Y?

yj,X?

xi}?

P{X?

pij?

　　i}p,j?

1,2,i?

称为在条件　　X?

xi下Y的条件分布函数．　　3．连续型随机变量的条件概率密度　　ff（x,y）X|Y（x|y）?

f）称为在条件Y?

y下X的Y（y条件概率密度；　　ff（x,y）Y|X（y|x）?

fx）称为在条件X?

x下Y的　　X（条件概率密度．　　（注意与第一章中条件概率的计算作比较）　　五、理解随机变量独立性的概念（相关性）　　若对于所有x,y，有　　P{X?

x,Y?

y}?

P{X?

x}?

P{Y?

y}，　　即　　　　F（x,y）?

FX（x）?

FY（y），　　则称随机变量X和Y是相互独立的．　　相对离散型，X和Y相互独立的充分必要条件是：

　　P{X?

xi,Y?

yj}?

P{X?

xi}?

P{Y?

yj}，　　即　　pij?

pi?

j；　　相对连续型，X和Y相互独立的充分必要条件是：

　　　　　　　　f（x,y）?

fX（x）?

fY（y）．　　应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算．　　（注意独立与相关的联系与区别）　　六、掌握求两个随机变量的函数的分布　　（离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型）1．两个随机变量和的分布，即ZfZ（z）?

Y的分布　　?

f（x,z?

x）dx?

f（z?

y,y）dy；　　当X和Y相互独立时，　　fZ（z）?

fX（x）fY（z?

x）dx?

fX（z?

y）fY（y）dy?

fX?

fY　　?

2．M?

max（X,Y）及N?

min（X,Y）的分布　　X和Y相互独立时，　　1）M?

max（X,Y）的分布：

min（X,Y）的分布：

　　Fmax（z）?

P{M?

z}?

FX（z）FY（z）；　　2）NFmin（z）?

P{N?

z}?

[1?

FX（z）][1?

FY（z）]．　　七、重点与难点1．　　重点：

二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、　　概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概率密度，特别是Z　　?

Y、M?

max（X,Y）、N?

min（X,Y）的　　6　　　　分布．2．　　难点：

已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率；已知的　　分布求Z?

Y、M?

max（X,Y）、N?

min（X,Y）的分布．　　3．一些说明：

联合分布函数F（x,y）与联合概率密度f（x,y）中的常数常　　F（x,y）及f（x,y）的各个性质来确定．　　求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度f（x,y），再根据　　f（x,y）?

0的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区　　域，将二重积分化为累次积分去计算．　　题型一：

求二维随机变量的概率分布题型二：

有关条件分布问题题型三：

随机变量的独立性题型四：

二维随机变量函数的分布及概率的计算　　　　题型一：

求二维随机变量的概率分布　　F（x,y）?

P{?

P{X?

x,Y?

y}　　离散的情形：

pij?

P{X?

xi,Y?

yj}?

P{?

xi?

yj}　　例1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：

有放回抽样；不放回抽样，以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就、两种情况，写出X和Y的联合分布律．　　解：

因为X和Y的取值都是0和1，故（X，Y）的取值为（0,0）、、、.而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑.　　　　7　　?

　　有放回抽样，乘法定理得　　101025P{X?

0,Y?

0}?

P{X?

0}P{Y?

0|X?

0}?

，　　121236P{X?

0,Y?

1}?

P{X?

0}P{Y?

1|X?

0}?

1025?

，12123651,P{X?

1,Y?

1}?

类似可得：

P{X?

1,Y?

0}?

；3636不放回抽样，乘法定理得　　P{X?

0,Y?

0}?

P{X?

0}P{Y?

0|X?

0}?

10915?

，1211221025P{X?

0,Y?

1}?

P{X?

0}P{Y?

1|X?

0}?

，　　12113351,P{X?

1,Y?

1}?

类似可得：

P{X?

1,Y?

0}?

3366X和Y的联合分布律为　　XY010　　125/365/365/361/36　　XY010　　1；　　15/225/335/33　　1/66　　例2．[2001年]设某班车起点站上客人数服从参数为?

（?

0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0?

1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：

　　在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；二维随机变量（X，Y）的概率分布．　　解：

是一个条件概率，即当X=n时，Y=m的概率：

P{Y?

m|X?

n}，　　　　8　　　　于下车与否相互独立，Y服从二项分布。

　　mm?

nmP{Y?

m|X?

n}?

Cp（1?

p）,（?

0m?

nn,?

0,；1,　　所以n　　P{X?

n,Y?

m}?

P{X?

n}?

P{Y?

m|X?

n}　　?

ne?

mm?

Cnp（1?

p）n?

m,（0?

n,n?

0,1,2,?

）。

　　111P（A）?

P（B|A）?

P（A|B）?

例3．[2004年]设A,B为随机事件，且，　　432?

1A发生，?

1B发生，Y?

令：

求：

　　0A不发生；0B不发生；?

二维随机变量（X，Y）的概率分布；X与Y的相关系数．　　解：

易见（X，Y）的取值为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1），相应概率为　　1P{X?

1,Y?

1}?

P（AB）?

P（A）P（B|A）?

　　　　12，　　111P{X?

1,Y?

0}?

P（AB）?

P（A）?

P（AB）?

，　　4126P（AB）P{X?

0,Y?

1}?

P（AB）?

P（B）?

P（AB）?

P（AB）　　P（A|B）1?

2P（AB）?

P（AB）?

，　　121112P{X?

0,Y?

0}?

，（联合分布列表略…）　　126123　　联合分布可得边缘分布：

0　　X?

，　　34145616?

　　9　　　　于是可得：

　　113315E（X）?

D（X）?

E（Y）?

D（Y）?

，　　44416636E（XY）?

P{X?

1,Y?

1}?

P（AB）?

1，121111cov（X,Y）?

E（XY）?

E（X）E（Y）?

，　　124624　　所以?

XY=　　例4．[2009年，三]袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球.以X，Y，Z分别表示两次取球所得的红球、黑球与白球的个数.　　求P｛X＝1｜Z＝0｝；　　求二维随机变量的概率分布.　　　　11C1C22?

P{X?

1,Z?

0}46?

6P{X?

1|Z?

0}?

11解：

C3C3P{Z?

0}9；　　6?

6cov（X,Y）?

D（X）DY（）1。

　　15X可取0，1，2；Y可取0，1，2，共有九种可能性：

其联合分布为　　1111C3C392C2C312P{X?

0,Y?

0}?

，P{X?

0,Y?

1}?

，　　6?

6366?

63611112C1C3C2C246P{X?

0,Y?

2}?

，P{X?

1,Y?

0}?

，　　6?

6366?

636112C1C24P{X?

1,Y?

1}?

，P{X?

1,Y?

2}?

0　　6?

63611C1C11P{X?

2,Y?

0}?

，P{X?

2,Y?

1}?

P{X?

2,Y?

2}?

0　　6?

636　　10

　　　　　　　　X012Y09/366/361/36　　112/364/360　　24/3600　　如果是有放回呢，应如何考虑？

　　C111C2P{X?

1|Z?

0}?

P{X?

1,Z?

0}P{Z?

0}?

C262C2?

33；　　C26X只可取0，1；Y可取0，1，2，共有六种可能性：

　　P{X?

0,Y?

0}?

C23C1132C36C2?

，P{X?

0,Y?

1}?

C2?

，6156151P{X?

0,Y?

2}?

C221CC1133C2?

，P{X?

1,Y?

0}?

，615C61511P{X?

1,Y?

1}?

C1C22C2?

，P{X?

1,Y?

2}?

0，……　　615　　例5．设二维随机变量的概率密度为　　f（x,y）?

cx2y,x2?

0,其他　　求系数c；求边缘概率密度．　　11　　　　　　　　解：

f（x,y）dxdy21214?

cxydxdy?

xdx?

2ydy?

1x212x?

121所以有c?

4；　　fX（x）?

f（x,y）dy，　　?

212?

12124x（1?

x）,|x|?

1xydy,|x|?

x2?

84?

0,|x|?

fY（y）?

f（x,y）dx?

75?

y212?

yxydx,0?

y2,0?

1．?

24?

0,其他其他?

0,　　12例6．[1998年]设平面区域D曲线y?

及直线y?

0,x?

1,x?

e所围成，　　x二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在　　x?

2处的值为　　。

　　解：

首先求联合概率密度。

　　于区域D的面积为：

SD?

e211e2dx?

lnx|1?

2，x21　　（区域D为：

{（x,y）|1?

e,0?

}）　　x12　　　　?

f（x,y）?

（x,y）?

D,所以联合密度为：

2x,y）?

D.　　?

0,（再求边缘概率密度．1fX（x）?

f（x,y）dy?

x102dy?

122x，（1?

e）所以f1X

（2）?

14。

　　　　题型二：

有关条件分布问题　　FX|Y（x|y）?

P{X?

x|Y?

y}　　称为在条件Y?

y下X的条件分布函数；　　FY|X（y|x）?

P{Y?

y|X?

x}　　称为在条件　　X?

x下Y的条件分布函数．　　x离散型：

P{X?

xi,Y?

yj}i|Y?

yj}?

P{X?

P{Y?

Pijj}p,i?

1,2,?

jP{Y?

y　　P{Y?

yj,X?

xi}Pijj|X?

xi}?

P{X?

p,j?

1,2,?

i}i?

连续型：

ff（x,y）X|Y（x|y）?

f（y）fY|X（y|x）?

f（x,y）f（x）　　YX　　例1．已知的联合分布律为　　Y012X　　13　　　　0121/401/61/81/30001/8试求在Y＝1的条件下，X的条件分布律.　　解：

第一步，先求Y的边缘分布律：

　　所以：

1YP05/12111/2421/8?

P{Y?

1}?

11/24；　　第二步，再求各条件概率：

　　P{X?

0,Y?

1}p011/83P{X?

0|Y?

1}?

，　　P{Y?

1}p?

111/2411　　P{X?

1|Y?

1}?

P{X?

1,Y?

1}p111/38?

，　　P{Y?

1}p?

111/2411P{X?

2,Y?

1}p210P{X?

2|Y?

1}?

0　　P{Y?

1}p?

111/24于是在条件Y＝1下，X的分布律是：

　　　　例2．设维随机变量X在区间上服从均匀分布，在X件下，随机变量Y在区间　　X03/1118/1120pX|Y（xi|1）?

x（0?

1）条　　（0,x）上服从均匀分布，求：

　　随机变量X，Y的联合概率密度；　　　　14　　　　Y的概率密度；概率P（X?

1）．　　　　?

1,0?

1解：

X的概率密度为：

fX（x）?

0,其他，　　在条件X?

x（0?

1）下，Y在区间（0,x）上服从均匀分布，　　?

x所以条件密度为：

fY|X（y|x）?

0,其他当0?

1时，联合分布密度为：

　　f（x,y）?

x）1Y|X（y|Xf（?

xx），而在其它点（x,y）处，f（x,y）?

0，　　?

1所以　　f（x,y）?

x；?

0,其他Y的概率密度为：

fy）?

f（x,y）dx?

Y（?

11ydx0?

lny,0?

0,其他?

0,其他；概率　　P（X?

1）?

1x1dx1X?

f（x,y）dxdy?

xxdy?

1（2x?

1）11112xdx?

1（2?

）dx?

ln2.　　2x　　例3．[2009年，三]设二维随机变量的概率密度为　　　　15

x,0?

xf（x,y）?

0,其他，　　求条件概率密度fY|X（y|x）．求条件概率P{X?

1|Y?

1}．　　　　解：

定义知：

　　Y|XfX（x），先求边缘密度：

x0edyx?

0　　fX（x）?

（x,y）dy?

xe?

x,x?

0,x?

0.　　fy|x）?

f（x,y）?

1,0?

x,从而　　Y|X（fx）?

xX（?

0,其他；P{X?

11?

f（x,y）dx　　P{X?

1|Y?

1}?

1,Y?

1}P{Y?

1}?

fY（y）dy，而Y的边缘密度为：

f（x,y）dx?

ye?

xdxy?

y,y?

0Y（y）?

0,y?

0，11f（x,y所以：

P{X?

1|Y?

1}?

）dx?

1（y）dy　　?

fY?

10dx?

x0e?

xdy?

2e?

1e?

y1?

1。

0edy　　　　　　16　　　　例4．[2010年]设二维随机变量的概率密度为　　f（x,y）?

Ae?

2x2?

2xy?

y2,（?

），　　求常数A及条件概率密度fY|X（y|x）．　　解：

利用正态分布的概率密度积分为1计算A。

（凑）?

）2　　即　　1?

（t2?

edt，　　1?

y）dxdy=A?

2x2?

2xy?

y2?

f（x,?

edxdy　　?

x2?

edx?

（x?

y）2?

dy（y?

x）2?

x2dx?

2（12）2dy?

x2?

1e2?

edx　　2?

x2?

（1）22?

dx?

1，　　21　　所以　　A?

；　　　　?

1又　　fX（x）?

f（x,y）dy?

x2?

（y?

x）2dy　　（y?

x）2?

x2?

e2（12）2?

1dy?

1e?

x22?

；217　　　　　　　　1f（x,y）?

2x2?

2xy?

y2f　　所以　　Y|X（y|x）?

f）?

X（x1x2　　?

1e?

x2?

2xy?

y2　　　　?

（y?

x）2.　　题型三：

随机变量的独立性　　P{X?

x,Y?

y}?

P{X?

x}?

P{Y?

y}，　　F（x,y）?

FX（x）?

FY（y），　　离散：

P{X?

xi,Y?

yj}?

P{X?

xi}?

P{Y?

yj}，pij?

pi?

j；　　连续：

f（x,y）?

fX（x）?

fY（y）．　　例1．设随机变量X与Y相互独立且有相同分布，　　P{X?

1}?

P{Y?

1}?

12,P{X?

1}?

P{Y?

1}?

12，　　则下列各式成立的是　　AP{X?

Y}?

12；　　BP{X?

Y}?

1；　　　　CP{X?

0}?

14；　　DP{X?

1}?

14.　　解：

考察：

　　　　18　　　　　　　　P{X?

Y}?

P{X?

1,Y?

1}?

P{X?

1,Y?

1}?

P{X?

1}P{Y?

1}?

P{X?

1}P{Y?

1}11111?

22222所以选.　　例2．[2005，一]设随机变量X与Y的　　概率分布如表，已知随机事件{X?

0}，　　X01　　Y　　0b1a{X?

1}独立，则　　Aa?

；Ba?

；　　　　Ca?

；Da?

　　　　解：

联合分布律性质：

1，?

；　　再利用独立性讨论：

　　P（X?

0,X?

1）?

P（X?

0）?

P（X?

1）　　所以:

　　P（X?

0,Y?

1）?

P（X?

0）?

P（X?

0,Y?

1）?

P（X?

1,Y?

0）?

　　所以：

（?

a）?

（a?

b）?

（?

a）?

，所以选.　　例3．[2007，一]设随机变量服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX（x），fY（y）分别表示X，Y的分布密度，则在Y?

y条件下，X的概率密度fX|Y（x|y）为　　fX（x）AfX（x）；BfY（y）；　　CfX（x）?

fY（y）；D.　　fY（y）解：

注意不相关与独立的关系；独立一定不相关；但在一般情况下，不相关未　　　　19　　　　必独立；例外：

在二维正态分布下，不相关?

独立。

　　f（x,y）fX（x）?

fY（y）?

fX（x）所以本题中：

fX|Y（x|y）?

fY（y）fY（y）答案选A。

　　例4．[2003，四]设随机变量X和Y都服从正态分布，且X与Y不相关，则　　AX与Y一定独立；B服从二维正态分布；　　CX与Y未必独立；DX+Y服从一维正态分布.　　解：

于不知的联合分布是否为二维正态分布，所以不能从X与Y不相关来判定X与Y是否独立!

相反，如果X与Y独立，则B，D均成立。

　　答案选C。

　　　　例5．二维随机变量的分布密度　　?

3x,f（x,y）?

0,0?

1,0?

x,　　其他.求X与Y边缘概率密度；X，Y是否独立．解：

如图，当0?

1时，0?

x，故有　　x2f（x）?

f（x,y）dy?

3xdy?

3x　　X，?

当0?

1时，y?

1，有　　1　　fY（y）?

f（x,y）dx?

y3xdx?

显然　　　　3（1?

y2）；　　fX（x）?

fY（y）?

f（x,y），所以X和Y不是相互独立的．　　20

　　　　　　　　例5．[2008年，三]设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为　　?

1,0?

11P{X?

xi}?

，（i?

1,0,1），Y的概率密度为fY（y）?

，记　　0,其它3?

Y，　　求P{Z?

12|X?

0}；求Z的概率密度fZ（z）.　　　　P{Z?

1,X?

0}P{0?

1,解：

P{Z?

122X?

0}2|X

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第三部分 第三章二维随机变量的联合概率分布双份.docx

第三部分第三章二维随机变量的联合概率分布双份.docx