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1、第三部分 第三章二维随机变量的联合概率分布 双份第三部分 第三章：二维随机变量的联合概率分布 双份第三部分 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量的联合概率分布 考试内容 随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。 考试要求 1理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质； 2理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布和连续型联合概率密度，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布； 3理解

2、随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续性随机变量独立的条件，理解随机变量的不相关与独立性的关系； 4掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 5会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。 命题特点 本章一般出计算题，近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。 1 内容综述 一、多维随机变量的概念 二维随机变量：随机试验E的样本空间为?，设X?X(?)和Y?Y(?)是定义在?上的随机变量，它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量 二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质

3、 1. 联合分布函数： F(x,y)?P?X?x?Y?y?PX?x,Y?y 分布函数的基本性质： 1）F(x,y)是关于x或y的非减函数，即 对于固定的y，若x1x2，则FF； 对于固定的x，若y1y2，则FF 2）0F(x,y)1 F(x,y)?1；F(?,y)?limF(x,y)?0； 且 F(?,?)?xlim?y?x?F(x,?)?limF(x,y)?0；F(?,?)?limF(x,y)?0 y?x?y?3）F(x,y)对每个变量右连续，即 F(x,y)?F(x?0,y)，F(x,y)?F(x,y?0) 2 4）根据概率可加性，对于如图任意 (x1,y1),(x2,y2) Px1?X?

4、x2,y1?Y?y2 ?PX?x2,Y?y2?PX?x1,Y?y2 ?PX?x2,Y?y1?PX?x1,Y?y1 ?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?0 2. 二维离散型和连续型随机变量的分布： 1）二维离散型随机变量：如果二维随机变量(X,Y)的所有可能的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量其分布律为 PX?xi,Y?yj?Pij,i,j?1,2,?， 满足： Pij?0； ?Pij?1； i?1j?1? F(x,y)?xi?xyi?y?Pij ?2）二维连续型随机变量：如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)F(x,y

5、)?，存在非负函数f(x,y)，使对于任意实数yxx,y有f(u,v)dudv，则称(X,Y)为连续型的随机变量，函数f(x,y)?称为(X,Y)的概率密度 满足： f(x,y)?0； ?f(x,y)dxdy?F(?,?)?1； ?2F(x,y)?f(x,y；) ) 在f(x,y的连续点处有?x?y 随机点(X,Y)落在平面区域G内的概率为 P(X,Y)?G?f(x,y)dxdy G 3 三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系 1. 边缘分布函数 FX(x)?P?X?x?PX?x,Y?F(x,?)， FY(y)?P?Y?y?PX?,Y?y?F(?,y)； 2二维离散型随机变量的边缘律及分布

6、函数 ? PX?xi?Pij?pi?,i?1,2,?PY?yj?j?1,2,?j?1?Pij?P?j,i?1? FX(x)?F(x,?)?ij?,y)?pijx?p， FY(y)?F(i?xj?1i?1y?j?y； 3二维连续型随机变量的边缘概率密度 fX(x)?f(x,y)dy ， fY(y)?f(x,y)dx (联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!) 四、了解二维随机变量的条件分布 ( 这几年考试内容明显增多 ) 1. 条件分布函数 FX|Y(x|y)?PX?x|Y?y 称为在条件Y?y下X的条件分布函数； FY|X(y|x)?PY?y|X?x 称为在条件X?x下Y的条件分布函数 2

7、离散型随机变量的条件分布律 4 PX?xi,Y?yjPijPX?xi|Y?yj?PY?y,i?1,2,? j?p?j 称为在条件 Y?yj下X的条件分布函数； PY?yij|X?xPY?yj,X?xi?PX?x?pij? ip,j?1,2,i?称为在条件 X?xi下Y的条件分布函数 3连续型随机变量的条件概率密度ff(x,y)X|Y(x|y)?f) 称为在条件Y?y下X的 Y(y条件概率密度； ff(x,y)Y|X(y|x)?fx) 称为在条件X?x下Y的 X(条件概率密度 (注意与第一章中条件概率的计算作比较) 五、理解随机变量独立性的概念(相关性) 若对于所有x,y，有 PX?x,Y?y?

8、PX?x?PY?y， 即F(x,y)?FX(x)?FY(y)， 则称随机变量X和Y是相互独立的 相对离散型，X和Y相互独立的充分必要条件是： PX?xi,Y?yj?PX?xi?PY?yj， 即 pij?pi?p?j； 相对连续型，X和Y相互独立的充分必要条件是： 5 f(x,y)?fX(x)?fY(y) 应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算 (注意独立与相关的联系与区别) 六、掌握求两个随机变量的函数的分布 ( 离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型 ) 1两个随机变量和的分布，即Z fZ(z)?X?Y的分布 ?f(x,z?x)dx?f(z?y,y)dy； 当X和Y相互独立时， fZ

9、(z)?fX(x)fY(z?x)dx?fX(z?y)fY(y)dy?fX?fY ? 2M?max(X,Y)及N?min(X,Y)的分布 X和Y相互独立时， 1）M?max(X,Y)的分布： ?min(X,Y)的分布： Fmax(z)?PM?z?FX(z)FY(z)； 2）NFmin(z)?PN?z?1?1?FX(z)1?FY(z) 七、重点与难点 1 重点：二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概率密度，特别是Z ?X?Y、M?max(X,Y)、N?min(X,Y)的6 分布 2 难点：已知联合概率密度求联合分布

10、函数、条件概率；已知的分布求Z?X?Y、M?max(X,Y)、N?min(X,Y)的分布 3 一些说明：联合分布函数F(x,y)与联合概率密度f(x,y)中的常数常F(x,y)及f(x,y)的各个性质来确定 求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度f(x,y)，再根据f(x,y)?0的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区域，将二重积分化为累次积分去计算 题型一：求二维随机变量的概率分布 题型二：有关条件分布问题 题型三：随机变量的独立性 题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算题型一：求二维随机变量的概率分布 F(x,y)?P?X?x?Y?y?PX?x,Y?y 离散的情形：p

11、ij?PX?xi,Y?yj?P?X?xi?Y?yj 例1一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验：有放回抽样；不放回抽样，以X、Y分别表示第1次和第2次取出的次品数，试分别就、两种情况，写出X和Y的联合分布律 解：因为X和Y的取值都是0和1，故(X，Y)的取值为(0,0)、.而取这些值的概率要按放回、不放回抽样两种情况考虑. 7 ? 有放回抽样，乘法定理得 101025PX?0,Y?0?PX?0PY?0|X?0?， 121236PX?0,Y?1?PX?0PY?1|X?0?1025?， 12123651,PX?1,Y?1?类似可得：PX?1,Y?0?

12、； 3636 不放回抽样，乘法定理得 PX?0,Y?0?PX?0PY?0|X?0?10915?， 1211221025PX?0,Y?1?PX?0PY?1|X?0?， 12113351,PX?1,Y?1?类似可得：PX?1,Y?0?3366X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 01 25/36 5/36 5/36 1/36X Y 0 1 01 ； 15/22 5/33 5/331/66 例22001年设某班车起点站上客人数服从参数为?(?0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1)，且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求： 在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的

13、概率； 二维随机变量(X，Y)的概率分布 解：是一个条件概率，即当 X= n时，Y=m的概率：PY?m|X?n， 8 于下车与否相互独立，Y服从二项分布。 mm?nmPY?m|X?n?Cp(1?p),(?0m?nn,?0,；1 ,所以 n PX?n,Y?m?PX?n?PY?m|X?n ?ne?mm?Cnp(1?p)n?m,(0?m?n,n?0,1,2,?)。 n! 111P(A)?,P(B|A)?,P(A|B)?例32004年设A,B为随机事件，且，432?1A发生，?1B发生，Y?令： X? 求： 0A不发生；0B不发生；?二维随机变量(X，Y)的概率分布； X与Y的相关系数 解： 易见 (

14、X，Y) 的取值为 (0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，相应概率为 1PX?1,Y?1?P(AB)?P(A)P(B|A)?12， 111PX?1,Y?0?P(AB)?P(A)?P(AB)?， 4126P(AB)PX?0,Y?1?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(AB) P(A|B)1?2P(AB)?P(AB)?P(AB)?， 121112PX?0,Y?0?1?， (联合分布列表略) 126123联合分布可得边缘分布： 1?1?0?0X?,Y?， 34145616? 9 于是可得： 113315E(X)?,D(X)?,E(Y)?,D(Y)?， 44416636E(XY)?PX?1

15、,Y?1?P(AB)?1， 121111cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?， 124624 所以 ?XY= 例42009年，三袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球. 以X，Y，Z分别表示两次取球所得的红球、黑球与白球的个数. 求PX1Z0； 求二维随机变量的概率分布.11C1C22?PX?1,Z?046?6PX?1|Z?0?11解： C3C3PZ?09 ； 6?6cov(X,Y)?D(X)DY()1。 15X可取0，1，2；Y可取0，1，2，共有九种可能性：其联合分布为 1111C3C392C2C312PX?0,Y?0?，PX?0,Y?1?，

16、6?6366?63611112C1C3C2C246PX?0,Y?2?，PX?1,Y?0?， 6?6366?636112C1C24PX?1,Y?1?，PX?1,Y?2?0 6?63611C1C11PX?2,Y?0?，PX?2,Y?1?PX?2,Y?2?0 6?636 10 X 0 1 2 Y 0 9/36 6/36 1/36 1 12/36 4/36 02 4/36 0 0 如果是有放回呢，应如何考虑？ C111C2 PX?1|Z?0?PX?1,Z?0PZ?0?C262C2?33 ； C26 X只可取0，1；Y可取0，1，2，共有六种可能性： PX?0,Y?0?C23C1132C36C2?，PX

17、?0,Y?1?C2?，6156151PX?0,Y?2?C221CC1133C2?，PX?1,Y?0?2?，615C61511PX?1,Y?1?C1C22C2?，PX?1,Y?2?0， 615 例5设二维随机变量的概率密度为 f(x,y)?cx2y,x2?y?1?0,其他 求系数c；求边缘概率密度 11 解：1?f(x,y)dx dy21214?cxydxdy?c?xdx?2ydy?c? ?1x212x?y?121所以有 c?4； fX(x)?f(x,y)dy， ?212?12124x(1?x),|x|?1xydy,|x|?1?x2?84 ?0,|x|?1?0,|x|?1?fY(y)?f(x,y

18、)dx?75?y212?yxydx,0?y?1?y2,0?y?1 ?24?0,其他其他?0, 12例61998年设平面区域D曲线y?及直线y?0,x?1,x?e所围成，x二维随机变量在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在x?2处的值为。 解： 首先求联合概率密度。 于区域D的面积为：SD?e211e2dx?lnx|1?2， x21 ( 区域D为：(x,y)|1?x?e,0?y? ) x 12 ?f(x,y)?1?,(x,y)?D,所以联合密度为： ?2x,y)?D. ?0,(再求边缘概率密度 1 fX(x)?f(x,y)dy?x102dy?122x，(1?x?e) 所以f1X(2)?

19、2?2?14。 题型二：有关条件分布问题 FX|Y(x|y)?PX?x|Y?y 称为在条件Y?y下X的条件分布函数； FY|X(y|x)?PY?y|X?x 称为在条件X?x下Y的条件分布函数 x离散型： PX?xi,Y?yji|Y?yj?PX?PY?y?Pijjp,i?1,2,? ?jPY?yPY?yj,X?xiPijj|X?xi?PX?x?p,j?1,2,?ii?连续型： ff(x,y)X|Y(x|y)?f(y) fY|X(y|x)?f(x,y)f(x) YX 例1已知的联合分布律为 Y 0 1 2 X 13 0 1 2 1/4 0 1/6 1/8 1/3 0 0 0 1/8 试求在Y1的条

20、件下，X的条件分布律. 解：第一步，先求Y的边缘分布律： 所以：p?1Y P 0 5/12 1 11/24 2 1/8 ?PY?1?11/24； 第二步，再求各条件概率： PX?0,Y?1p011/83PX?0|Y?1?， PY?1p?111/2411PX?1|Y?1?PX?1,Y?1p111/38?， PY?1p?111/2411PX?2,Y?1p210PX?2|Y?1?0 PY?1p?111/24 于是在条件Y1下，X的分布律是： 例2设维随机变量X在区间上服从均匀分布，在X件下，随机变量Y在区间X 0 3/11 1 8/11 2 0 pX|Y(xi|1) ?x(0?x?1)条(0,x)上

21、服从均匀分布，求： 随机变量X，Y的联合概率密度； 14 Y的概率密度； 概率P(X?Y?1)?1,0?x?1解：X的概率密度为：fX(x)?0,其他， 在条件X?x(0?x?1)下， Y在区间(0,x)上服从均匀分布， ?1?,0?y?x 所以条件密度为：fY|X(y|x)?x ?0,其他 当0?y?x?1时，联合分布密度为： f(x,y)?f?x)1Y|X(y|Xf(?xx)， 而在其它点(x,y)处，f(x,y)?0， ?1?,0?y?x?1所以f(x,y)?x；?0,其他 Y的概率密度为： ?fy)?f(x,y)dx?Y(?11ydx0?y?1?x?lny,0?y?1?0,其他?0,其

22、他； 概率 P(X?Y?1)?1x1dx1X?f(x,y)dxdy?Y?1?2?1?xxdy ?1(2x?1)11112xdx?1(2?)dx?1?ln2. 2x 例32009年，三设二维随机变量的概率密度为 15 ?e?x,0?y?xf(x,y)?0,其他 ， 求条件概率密度fY|X(y|x) 求条件概率PX?1|Y?1 解： 定义知：Y|XfX(x)，先求边缘密度： ?f?x?x0edyx?0fX(x)?(x,y)dy?xe?x,x?0,x?0?0?0,x?0. fy|x)?f(x,y)?1,0?y?x,从而 Y|X(fx)?xX(?0,其他； PX?11?f(x,y)dx PX?1|Y?

23、1?1,Y?1PY?1?1?fY(y)dy， 而Y的边缘密度为： f?f(x,y)dx?ye?xdxy?0?e?y,y?0Y(y)?0,y?0?0,y?0，11f(x,y所以：PX?1|Y?1?)dx?1(y)dy ?fY?10dx?x0e?xdy?1?2e?1e?2?1?y1?e?1?e?1。 0edy 16 例42010年设二维随机变量的概率密度为 f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,(?x?,?y?)， 求常数A及条件概率密度fY|X(y|x) 解： 利用正态分布的概率密度积分为1计算A。( 凑 ) ?)2 即1?1?(t2?2?2?edt， 1?y)dxdy=A?2x2?2xy?

24、y2?f(x,?edxdy ?A?x2?edx?e?(x?y)2?dy(y?x)2?A?x2dx?2(12)2dy?A?x2?e?1e2?edx 2?x2?A?e2(1)22?dx?A?2?1， 21所以 A?； ?1又 fX(x)?f(x,y)dy?e?x2?e?(y?x)2dy (y?x)2?1?x2?e2(12)2?e?1dy?1e?x22?；2 17 1f(x,y)?e?2x2?2xy?y2f所以 Y|X(y|x)?f)?X(x1x2 ?e?1e?x2?2xy?y2 ?1?e?(y?x)2. 题型三：随机变量的独立性 PX?x,Y?y?PX?x?PY?y， F(x,y)?FX(x)?F

25、Y(y)， 离散：PX?xi,Y?yj?PX?xi?PY?yj，pij?pi?p?j； 连续：f(x,y)?fX(x)?fY(y) 例1设随机变量X与Y相互独立且有相同分布， PX?1?PY?1?12,PX?1?PY?1?12， 则下列各式成立的是 A PX?Y?12； B PX?Y?1；C PX?Y?0?14；D PX?Y?1?14.解：考察： 18 PX?Y?PX?1,Y?1?PX?1,Y?1?PX?1PY?1?PX?1PY?111111?22222所以选. 例22005，一设随机变量X与Y的 概率分布如表，已知随机事件X?0， X 0 1Y 0 b 1 a X?Y?1独立，则 A a?,

26、b?； B a?,b?；C a?,b?； D a?,b? 解：联合分布律性质：?a?b?1，?a?b?； 再利用独立性讨论： P(X?0,X?Y?1)?P(X?0)?P(X?Y?1) 所以: P(X?0,Y?1)?P(X?0)?P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?0)? 所以：a?(?a)?(a?b)?(?a)?a?,b?， 所以选. 例32007，一设随机变量服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的分布密度，则在Y?y条件下，X的概率密度fX|Y(x|y)为 fX(x)A fX(x)； B fY(y)；C fX(x)?fY(y)； D . fY(y)解：注意

27、不相关与独立的关系；独立一定不相关；但在一般情况下，不相关未19 必独立；例外：在二维正态分布下，不相关?独立。 f(x,y)fX(x)?fY(y)?fX(x) 所以本题中：fX|Y(x|y)?fY(y)fY(y)答案选A。 例42003，四设随机变量X和Y都服从正态分布，且X与Y不相关，则 A X与Y一定独立； B 服从二维正态分布；C X与Y未必独立； D X+Y服从一维正态分布. 解：于不知的联合分布是否为二维正态分布，所以不能从X与Y不相关来判定X与Y是否独立! 相反，如果X与Y独立，则B，D均成立。 答案选C。例5二维随机变量的分布密度 ?3x,f(x,y)?0,0?x?1,0?y?

28、x, 其他.求X与Y边缘概率密度；X，Y是否独立 解：如图， 当0?x?1时，0?y?x，故有 x2f(x)?f(x,y)dy?3xdy?3xX ， ?0?当0?y?1时，y?x?1，有 1 fY(y)?f(x,y)dx?y3xdx? 显然 3(1?y2) ； fX(x)?fY(y)?f(x,y)，所以X和Y不是相互独立的 20 例52008年，三设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为?1,0?y?11PX?xi?，(i?1,0,1)，Y的概率密度为fY(y)?，记0,其它3?Z?X?Y， 求PZ?12|X?0； 求Z的概率密度fZ(z).PZ?1,X?0P0?Y?1,解：PZ?122X?02|X