上海市虹口区届高一第一学期数学期末考试及答案.docx
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上海市虹口区届高一第一学期数学期末考试及答案
2018-2019学年上海市虹口区高一（上）期末
数学试卷
一、填空题
1．（3分）函数
的定义域为 ．
2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是 ．
3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝ ．
4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为 ．
5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f
（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是 ．
6．（3分）已知函数f（x）＝
若f（a）＝
，则a＝ ．
7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为 ．
8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为 ．
9．（3分）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f（x22）+f（x32）＝ ．
10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为 ．
11．（3分）（A组题）已知f（x）＝
，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是 ．
12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是 ．
13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+d的值等于 ．
14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于 ．
二、选择题
15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
16．（3分）对于实数a，α：
＞0，β：
关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（ ）
A．至多一个元素B．至少一个元素
C．一个元素D．没有元素
18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞1
19．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥
B．a＞
C．a≤
D．a＜
三、解答题
20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．
21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．
22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．
（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；
（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？
23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．
（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；
（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；
（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．
（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；
（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．
24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．
（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；
（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；
（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．
（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a的值；
（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．
参考答案
一、填空题
1．（3分）函数
的定义域为 [2，+∞） ．
【解答】解：
由x﹣2≥0，得x≥2．
∴函数
的定义域为[2，+∞）．
故答案为：
[2，+∞）．
2．（3分）函数f（x）＝2x﹣1（x∈R）的值域是 （﹣1，+∞） ．
【解答】解：
因为y＝2x的值域为（0，+∞），∴y＝2x﹣1的值域为（﹣1，+∞）
故答案为：
（﹣1，+∞）．
3．（3分）函数f（x）＝x2（x≥0），则f﹣1（x）＝
．
【解答】解：
令y＝f（x）＝x2，由于x≥0，则y≥0，所以
，因此，
，
故答案为：
．
4．（3分）已知1≤a≤2，3≤b≤6，则3a﹣2b的取值范围为 [﹣9，0] ．
【解答】解：
方法一、∵1≤a≤2，3≤b≤6，
∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，
则﹣9≤3a﹣2b≤0，
即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]
方法2：
设z＝3a﹣2b，
则b＝
a﹣
，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则平移直线b＝
a﹣
，由图象知当直线经过点C（1，6）时，
直线的截距最大，此时z最小，
最小z＝3﹣2×6＝3﹣12＝﹣9，
当直线经过点A（2，3）时，直线的截距最小，此时z最大，
最小z＝3×2﹣2×3＝6﹣6＝0，
即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0]．
故答案为：
[﹣9，0]
5．（3分）函数f（x）＝x3+2x，如果f
（1）+f（a）＞0，则实数a的范围是 a＞﹣1 ．
【解答】解：
根据题意，函数f（x）＝x3+2x，
有f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，
f′（x）＝3x2+2＞0，
则函数f（x）在R上为增函数；
如果f
（1）+f（a）＞0，
则f（a）＞﹣f
（1）＝f（﹣1），
故a＞﹣1，
故答案为：
a＞﹣1．
6．（3分）已知函数f（x）＝
若f（a）＝
，则a＝ ﹣1或
．
【解答】解：
当a＞0时，log2a＝
∴a＝
，
当a≤0时，2a＝
＝2﹣1，
∴a＝﹣1．
∴a＝﹣1或
．
故答案为：
﹣1或
．
7．（3分）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则此函数的最小值为 3 ．
【解答】解：
∵|x﹣a|几何意义表示数轴上坐标为x与坐标为a的点的距离，
∴f（x）＝|x+1|+|x﹣2|表示X轴上的点X到点﹣1，2的距离和，
∴最小值为此两点线段上的点，
即当﹣1≤x≤2时，f（x）最小值为3，
故答案为：
3．
8．（3分）直角三角形的周长等于2，则这个直角三角形面积的最大值为
．
【解答】解：
直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，面积为s，周长L＝2，
由于a+b+
＝L≥2
+
．（当且仅当a＝b时取等号）
∴
≤
．
∴S＝
ab≤
（
）2
＝
•[
]2＝
L2＝
．
故答案为：
．
9．（3分）已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3）＝8，则f（x12）+f（x22）+f（x32）＝ 16 ．
【解答】解：
∵f（x）＝logax且f（x1x2x3）＝8
∴loga（x1x2x3）＝8
又
＝
＝2[loga（x1）+loga（x2）+loga（x3）]＝2[loga（x1•x2•x3]＝2loga（x1x2x3）＝2×8＝16
故答案为：
16
10．（3分）若命题“存在x∈R，使得ax2+2x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围为 （1，+∞） ．
【解答】解：
命题“∃x0∈R，使得x2+2x+a≤0”是假命题，
则命题“∀x∈R，使得x2+2x+a＞0”是真命题，
∴△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．
实数a的取值范围是：
（1，+∞）．
故答案为：
（1，+∞）．
11．（3分）（A组题）已知f（x）＝
，若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+f（c）的取值范围是 （1，2） ．
【解答】解：
画出函数f（x）的图象，如图所示，
若a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），
∴a+b＝0，1＜f（c）＜2，
∴a+b+f（c）的范围为（1，2），
故答案为：
（1，2）
12．（3分）（A组题）已知函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2，g（x）＝x2﹣2ax+a2﹣a+2，若存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0，且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是 [2，+∞） ．
【解答】解：
函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2的导数为f′（x）＝ex﹣1+1＞0，
f（x）在R上递增，由f
（1）＝0，可得f（x1）＝0，解得x1＝1，
存在实数x1，x2，使得f（x1）＝g（x2）＝0．且|x1﹣x2|≤1，
即为g（x2）＝0且|1﹣x2|≤1，
即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，
即x2﹣2ax+a2﹣a+2＝0在0≤x≤2有解，
∴△＝4a2﹣4（a2﹣a+2）≥0，
解得a≥2．
故a的范围为[2，+∞）．
故答案为：
[2，+∞）．
13．（B组题）已知f（x）＝x2﹣2|x|+2，若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则a+b+c+d的值等于 0 ．
【解答】解：
根据题意，f（x）＝x2﹣2|x|+2，则f（﹣x）＝x2﹣2|x|+2＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
f（x）＝x2﹣2|x|+2＝
，
则直线y＝m与函数f（x）最多只有4个交点；
若a＜b＜c＜d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则有a+d＝b+c＝0，
故a+b+c+d＝0；
故答案为：
0
14．（B组题）已知f（x）＝lgx，则实数y＝f（f（x）的零点x0等于 10 ．
【解答】解：
根据题意，f（x）＝lgx，则f（f（x））＝lg（lgx），
若f（f（x0））＝lg（lgx0）＝0，即lgx0＝1，解可得x0＝10，
即函数y＝f（f（x）的零点x0等于10；
故答案为：
10．
二、选择题
15．（3分）已知幂函数的图象经过点（9，3），则此函数是（（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
【解答】解：
∵幂函数y＝xa的图象经过点（9，3），
∴9a＝3，
解得a＝
，
∴此函数是y＝
，是非奇非偶函数．
故选：
D．
16．（3分）对于实数a，α：
＞0，β：
关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，则α是β成立的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解答】解：
α：
＞0得a＞1或a＜﹣1，
β：
关于x的方程x2﹣ax+1＝0有实数根，
则判别式△＝a2﹣4≥0，得a≥2或a≤﹣2，
∵{a|a≥2或a≤﹣2}⊊{a|a＞1或a＜﹣1}，
∴α是β成立的必要不充分条件，
故选：
B．
17．（3分）已知函数y＝f（x），记A＝{（x，y）|y＝f（x）}，B＝{（x，y）|x＝0，y∈R}，则A∩B的元素个数（（ ）
A．至多一个元素B．至少一个元素
C．一个元素D．没有元素
【解答】解：
设函数y＝f（x）定义域是F，
当0∈F，A∩B中所含元素的个数为1．
∴A∩B中所含元素的个数是1．
故选：
A．
18．（3分）（A组题）已知f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m，当m∈[0，1]时，f（m）≤1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤1B．0＜a＜1C．a≤0或a≥1D．a＜0或a＞1
【解答】解：
f（m）＝（3m﹣1）a+1﹣2m＝（3a﹣2）m﹣a+1
①3a﹣2＝0，即a＝
时，f（m）＝
＜1，符合题意；
②3a﹣2＞0，即a＞
时，f（m）max＝f
（1）＝2a﹣1
∵2a﹣1≤1，∴a≤1，∴
＜a≤1；
③3a﹣2＜0，即a＜
时，f（m）max＝f（0）＝﹣a+1
∵﹣a+1≤1，∴a≥0，∴0≤a＜
；
综上可知：
实数a的取值范围是[0，1]；
故选：
A．
19．（B组题）函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥
B．a＞
C．a≤
D．a＜
【解答】解：
函数f（x）＝（3a﹣2）x+1﹣a，在[﹣2，3]上的最大值是f（﹣2），
则函数f（x）在[﹣2，3]上为减函数，
则3a﹣2＜0，解得a＜
，
故选：
D．
三、解答题
20．已知A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}，B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}，求A∩B，A∪B．
【解答】解：
A＝{x|22x﹣2x﹣2≤0，x∈R}＝{x|x≤1}，
B＝{x|lg（|x|﹣1）＜0，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，
A∪B＝{x|x＜2}．
21．已知函数f（x）＝10x﹣10﹣x．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并说明理由．
【解答】解：
（1）f（﹣x）＝10﹣x﹣10x＝﹣（10x﹣10﹣x）＝﹣f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（2）∵y＝10x和y＝﹣10﹣x在R上都是增函数；
∴f（x）＝10x﹣10﹣x在R上是增函数．
22．矩形ABCD的面积为4，如果矩形的周长不大于10，则称此矩形是“美观矩形”．
（1）当矩形ABCD是“美观矩形”时，求矩形周长的取值范围；
（2）就矩形ABCD的一边长x的不同值，讨论矩形是否是“美观矩形”？
【解答】解：
（1）设AB＝x，则BC＝
，故而矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2（x+
）≥2•2
＝8，
当且仅当x＝
即x＝2时取等号．
又矩形ABCD是“美观矩形”，故而矩形的周长不大于10．
∴当矩形ABCD是“美观矩形”时，矩形周长的取值范围是[8，10]．
（2）设矩形ABCD的周长为f（x），则f（x）＝2（x+
）（x＞0），
令f（x）≤10得x2﹣5x+4≤0，解得：
1≤x≤4，
∴当x∈[1，4]时，矩形是“美观矩形”，当x∈（0，1）∪（4，+∞）时，矩形不是“美观矩形”．
23．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x．
（1）写出函数f（x）的单调区间（不要证明）；
（2）（A组题）解不等式f（x）≥3；
（3）（A组题）求函数f（x）在[﹣m，m]上的最大值和最小值．
（2）（B组题）求函数f（x）的解析式；
（3）（B组题）解不等式f（x）≥3．
【解答】解：
（1）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x；
则f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2]或[2，+∞），递减区间为[﹣2，2]；
（2）（A组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，
设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，
综合可得：
f（x）＝
，
若f（x）≥3⇒
或
，
解可得：
﹣3≤x≤﹣1或x≥2+
，
则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+
，+∞）；
（3）（A组题）由
（2）的结论，f（x）＝
，在区间（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，2）上为减函数，在（2，+∞）为增函数；
对于区间[﹣m，m]，必有m＞﹣m，解可得m＞0；
故当0＜m≤2时，f（x）max＝﹣m2+4m，f（x）min＝m2﹣4m，
当2＜m≤4时，f（x）max＝4，f（x）min＝﹣4，
当m＞4时，f（x）max＝m2﹣4m，f（x）min＝﹣m2+4m，
（2）（B组题）f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时有f（x）＝x2﹣4x，
设x＜0，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2﹣4（﹣x）＝x2+4x，
则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2﹣4x，
综合可得：
f（x）＝
，
（3）（B组题）由
（2）的结论，f（x）＝
，
若f（x）≥3⇒
或
，
解可得：
﹣3≤x≤﹣1或x≥2+
，
则不等式f（x）≥3的解集为[﹣3，﹣1]∪[2+
，+∞）．
24．已知f（x）是定义在R上且满足f（x+2）＝f（x）的函数．
（1）如果0≤x＜2时，有f（x）＝x，求f（3）的值；
（2）（A组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0，求f（a）的取值范围；
（3）（A组题）如果g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，求g（x）在[﹣2，4]的值域．
（2）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤0且f（a）＝0，求a的值；
（3）（B组题）如果0≤x≤2时，有f（x）＝（x﹣1）2，若﹣2≤a≤4，求f（a）的取值范围．
【解答】解：
（1）f（3）＝f（1+2）＝f
（1）＝1；
（2）（A组题）若﹣2≤a≤0，则0≤a+2≤2，∴f（a）＝f（a+2）＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2∈[0，1]；
（3）（A组题）因为g（x）＝x+f（x）在[0，2]上的值域为[5，8]，所以f（x）在[0，2]上的值域为[3，6]，
所以g（x）在[﹣2，4]上的值域为[1，10]；
（2）（B组题）根据
（2）（A组题）可得f（a）＝（a+1）2＝0，可得a＝﹣1；
（3）（B组题）由题意，当0≤a≤2时，f（a）＝（a﹣1）2∈[0，1]；
当﹣2≤a≤0时，则0≤a+2≤2，可得f（a）＝（a+1）2∈[0，1]，
当2≤a≤4时，则0≤a﹣2≤2，可得f（a）＝（a﹣3）2∈[0，1]，
故得当﹣2≤a≤4，f（a）的取值范围是[0，1]．
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