数学专业外文翻译多元函数的极值.docx
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数学专业外文翻译多元函数的极值
数学专业外文翻译--多元函数的极值
外文文献
EXTREMEVALUESOFFUNCTIONSOFSEVERALREALVARIABLES
1.StationaryPoints
Definition1.1LetandThepointaissaidtobe:
1alocalimumifforallpointssufficientlycloseto;
2alocalminimumifforallpointssufficientlycloseto;
3aglobalorabsoluteimumifforallpoints;
4aglobalorabsoluteminimumifforallpoints;;
5alocalorglobalextremumifitisalocalorglobalimumorminimum.
Definition1.2LetandThepointaissaidtobecriticalorstationarypointifandasingularpointifdoesnotexistatFact1.3Letand.Ifhasalocalorglobalextremumatthepoint,thenmustbeeither:
1acriticalpointof,or
2asingularpointof,or
3aboundarypointofFact1.4Ifisacontinuousfunctiononaclosedboundedsetthenisboundedandattainsitsbounds.
Definition1.5Acriticalpointwhichisneitheralocalimumnorminimumiscalledasaddlepoint.
Fact1.6Acriticalpointisasaddlepointifandonlyiftherearearbitrarilysmallvaluesofforwhichtakesbothpositiveandnegativevalues.
Definition1.7Ifisafunctionoftwovariablessuchthatallsecondorderpartialderivativesexistatthepoint,thentheHessianmatrixofatisthematrix
wherethederivativesareevaluatedat.
Ifisafunctionofthreevariablessuchthatallsecondorderpartialderivativesexistatthepoint,thentheHessianoffatisthematrix
wherethederivativesareevaluatedat.
Definition1.8Letbeanmatrixand,foreach,letbethematrixformedfromthefirstrowsandcolumnsof.Thedeterminantsdet,,arecalledtheleadingminorsof
Theorem1.9TheLeadingMinorTest.SupposethatisasufficientlysmoothfunctionoftwovariableswithacriticalpointatandHtheHessianofat.If,thenis:
1alocalimumif0detH1fxxand0detH;
2alocalminimumif0detH1fxxand0detH;
3asaddlepointifneitheroftheabovehold.
wherethepartialderivativesareevaluatedat.
SupposethatisasufficientlysmoothfunctionofthreevariableswithacriticalpointatandHessianHat.If,thenis:
1alocalimumif0detH1,0detH2and0detH3;
2alocalminimumif0detH1,0detH2and0detH3;
3asaddlepointifneitheroftheabovehold.
wherethepartialderivativesareevaluatedatIneachcase,ifdetH0,thencanbeeitheralocalextremumorasaddlepoint.
Example.Findandclassifythestationarypointsofthefollowingfunctions:
12
Solution.1,so
ijk
Criticalpointsoccurwhen,i.e.when
1
2
3
Usingequations2and3toeliminateyandzfrom1,weseethator,giving,and.Hencewehavethreestationarypoints:
andSince,,,,and,theHessianmatrixisAt,
whichhasleadingminors0,
Anddet.BytheLeadingMinorTest,then,isalocalminimumAt,
whichhasleadingminors0,
Anddet.BytheLeadingMinorTest,then,isalsoalocalminimum.
At,theHessianis
Sincedet,wecanapplytheleadingminortestwhichtellsusthatthisisasaddlepointsincethefirstleadingminoris0.Analternativemethodisasfollows.Inthiscaseweconsiderthevalueoftheexpression
forarbitrarilysmallvaluesofh,kandl.Butforverysmallh,kandl,cubictermsandabovearenegligibleincomparisontoquadraticandlinearterms,sothat.Ifh,kandlareallpositive,However,ifandand,then.Hencecloseto,bothincreasesanddecreases,soisasaddlepoint.
2so
ij.
Stationarypointsoccurwhen,i.e.atLetusclassifythisstationarypointwithoutconsideringtheLeadingMinorTestinthiscasetheHessianhasdeterminant0atsothetestisnotapplicable.
Let
CompletingthesquareweseethatSoforanyarbitrarilysmallvaluesofhandk,thatarenotboth0,andweseethatfhasalocalimumat2.ConstrainedExtremaandLagrangeMultipliers
Definition2.1Letfandgbefunctionsofnvariables.Anextremevalueoffxsubjecttotheconditiongx0,iscalledaconstrainedextremevalueandgx0iscalledtheconstraint.
Definition2.2Ifisafunctionofnvariables,theLagrangianfunctionoffsubjecttotheconstraintisthefunctionofn+1variables
whereisknownastheLagrangemultiplierTheLagrangianfunctionoffsubjecttothekconstraints,,isthefunctionwithkLagrangemultipliers,
Theorem2.3LetandbeapointonthecurveC,withequationgx,y0,atwhichfrestrictedtoChasalocalextremum.SupposethatbothandhavecontinuouspartialderivativesneartoandthatisnotanendpointofandthatThenthereissomesuchthatisacriticalpointoftheLagrangianFunctionProof.Sketchonly.SincePisnotanendpointand,hasatangentatwithnormalIfisnotparalleltoat,thenithasnon-zeroprojectionalongthistangentat.Butthenfincreasesanddecreasesawayfromalong,soisnotanextremum.Henceandareparallelandthereissome?
suchthatandtheresultfollows.
Example.Findtherectangularboxwiththelargestvolumethatfitsinsidetheellipsoid,giventhatitsidesareparalleltotheaxes.
Solution.Clearlytheboxwillhavethegreatestvolumeifeachofitscornerstouchtheellipse.Letonecorneroftheboxbecornerx,y,zinthepositiveoctant,thentheboxhascorners±x,±y,±zanditsvolumeisV8xyz.
WewanttoimizeVgiventhatNotethatsincetheconstraintsurfaceisboundeda/mindoesexist.TheLagrangianis
andthishascriticalpointswhen,i.e.whenNotethatwillalwaysbetheconstraintequation.AswewanttoimizeVwecanassumethatsothat.Hence,eliminating,weget
sothatandButthenso
or,whichimpliesthatandtheyareallpositivebyassumption.SoLhasonlyonestationarypointforsomevalueof,whichwecouldworkoutifwewantedto.Sinceitistheonlystationarypointitmusttherequiredandthevolumeis
中文译文多元函数的极值
1.稳定点
定义1.1使并且.对于任意一点有以下定义:
1如果对于所有充分地接近时,则是一个局部极大值;
2如果对于所有充分地接近时,则是一个局部极小值;
3如果对于所有点成立,则是一个全局极大值(或绝对极大值);
4如果对于所有点成立,则是一个全局极小值(或绝对极小值);5局部极大(小)值统称为局部极值;全局极大(小)值统称为全局极值.
定义1.2使并且.对于任意一点,如果,并且对于任意奇异点都不存在,则称是一个关键点或稳定点.
结论1.3使并且.如果有局部极值或全局极值对于一点,则一定是:
1函数的一个关键点,或者
2函数的一个奇异点,或者
3定义域的一个边界点.
结论1.4如果函数是一个在闭区间上的连续函数,则在区间上有边界并且可以取到边界值.
定义1.5对于任一个关键点,当既不是局部极大值也不是局部极小值时,叫做函数的鞍点.
结论1.6对于一个关键点是鞍点当且仅当任意小时,对于函数取正值和负值.
定义1.7如果是二元函数,并且在点处所有二阶偏导数都存在,则则根据函数在点处导数,有在点处的Hessian矩阵为:
推广:
如果是三元函数,并且在点处所有二阶偏导数都存在,则根据函数在点处导数,有在点处的Hessian矩阵为:
定义1.8矩阵是阶矩阵,并且对于每一个都有,从矩阵中选取左上端的行和列,令其为阶的矩阵.则行列式det,,叫做矩阵的顺序主子式定理1.9假如是一个充分光滑的二元函数,且在点处稳定,其Hessian矩阵为H.如果,则根据偏导数判定点是:
1一个局部极大值点,如果0detH1fxx并且0detH;2一个局部极小值点,如果0detH1fxx并且0detH;
3一个鞍点,如果点既不是局部极大值点也不是局部极小值点.
假如是一个充分光滑的三元函数,且在点处稳定,其Hessian矩阵为H.如果,则根据偏导数判定点是:
1一个局部极大值点,如果当0detH1,0detH2并且0detH3时;
2一个局部极小值点,如果当0detH1,0detH2并且0detH3时;
3一个鞍点,如果点既不是局部极大值点也不是局部极小值点在不同的情况下,当detH0时,点是一个局部极值点,或者是一个鞍点例.确定下列函数的稳定点并说明是哪一类点:
12解.1,so
ijk
当时有稳定点,也就是说,当123
时,将方程2和方程3带入到方程1可以消去变量y和z,由此可以得到
即,得,和.因此我们可以得到函数的三个稳定点:
和又因为,,,,和,则Hessian矩阵为在点处,则顺序主子式0,
并且行列式.根据主子式判定方法,则点是一个局部极小值点在点处,则顺序主子式0,
并且行列式.根据主子式判定方法,则点也是一个极小值点.
在点处,Hessian矩阵为
因此det,根据主子式判定方法,第一主子式为0,由此我们可以知道该点是一个鞍点.下面是另一种计算方法,在这种情况下,我们考虑现在下面函数表达式
的值,对于任意h,k和l无限小时.担当h,k和l非常小时,三次及三次以上方程相对线性二次方程时可忽略不计,则原方程可为.当h,k和l都为正时,.然而,当、和,则.因此当接近时,同时增加或者同时减少,所以是一个鞍点.
2so
ij.
当时有稳定点,也就是说,当在时.
现在我们在不考虑主子式判定方法的情况下为该稳定点进行分类(因为在时Hessian矩阵的行列式为0,所以该判定方法在此刻无法应用).
令
配成完全平方的形式为所以对h和k为任意小时(h和k都不为0),有,因此我们可以确定函数f在点处有局部极大值.
2.条件极值和Lagrange乘数法
定义2.1函数f和函数g都是n元函数.对于限制在条件gx0下的函数fx的极值叫做函数的条件极值,函数gx0叫做限制条件.
定义2.2如果函数是一个n元函数,则对应于函数f的Lagrange函数在限制条件下的函数是一个n+1元函数
这就是著名的Lagrange乘数法对应于函数f的Lagrange函数在k个限制条件,时,带有k个的Lagrange函数为:
定理2.3使并且是曲线C上的一个点,有方程gx,y0成立,则在限制条件C上函数有局部极值.假设函数和函数在点都有连续的偏导数,点不是曲线的端点,且.因此存在的值使得点是Lagrange函数的关键点证明.仅仅描述.因为点不是曲线的端点,且,则曲线在点处的切线与有关如果在点处与平行,则函数在点处的切线有非零值.但另一方面函数f的值随着在的运动增加减小,所以点不是极值点.因为和平行,所以存在使得成立例.求内接于椭球的体积最大的长方体的体积,长方体的各个面平行于坐标面解:
明显地,当长方体的体积最大时,长方体的各个顶点一定在椭球上.设长方体的一个顶点坐标为x,y,zx0,y0,z0,则长方体的其他顶点坐标分别为±x,±y,±z,并且长方体的体积为V8xyz.
我们要求V在条件下的最大值.注意:
因为约束条件是有边界的,故其一定存在极大或者极小值.其Lagrange函数为
并且存在稳定点当时,也就是说,当时.注意:
是约束方程.要想求得体积V的最大值,假设,则可得.因此,用其他式子表示,我们可以得到
消去,有和进而得出,因此有
或者得出,同理可得出和根据假设可得x,y,z都是正值所以函数L有且仅有一个稳定点为某一计算可得到的常数.又因为该点是函数L的唯一稳定点,则该稳定点一定是所要求的最大值点,故其体积的最大值为