双钩函数的教学设计.docx
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双钩函数的教学设计
K
《函数f(x)axx》的教学设计
其生
【知识背景分析】:
建立实际问题的函数模型,利用已知函数模型解决问题,作为一条主线贯穿了新教材的始终。
本节容是在前节学了基本不等式的基础上而补充设置的,因为在具体求最值的过程中,利用均值不等式而无法解决其最值,主要是等号不成立而引起最值的无法实现,这就需要我们进一步探究函数f(x)=ax+b/x的性质和图象,从而利用其性质解决问题。
【学生情况分析】:
在初中的基础上,学生又学习了指数函数,对数函数,幕函数,三角函数,前节又学习了基本不等式ab0~(a0,b0)均值定理,在此基础之上研
究函数f(x)ax-,已是顺理成章了。
因为极限与渐进线还没学,可能在研究图
x
象逼近直线时会有部分学生感到困难;可借助媒体帮助。
【教学目标】:
掌握函数f(x)axb的图象与性质,进一步体会研究函数的基
x
本方法.让学生在了解函数性质的基础上,学会用现代的电子工具,对函数图像进行全新的认识。
在探究中体验数学中的分类讨论思想,数形转化思想的意义和价值。
【教学重点及难点】:
f(x)ax-(a0,b0)函数的研究。
x
【教学方法】:
启发•探究式教学
【教学手段】:
多媒体辅助
【教学过程】:
创设问题情境
媒体展示:
如图:
已知墙长MN=a米,面积为32平米的矩形用地一面靠墙,其他三面用砖料围成,设边长AB=x米,
(1)写出砖料周长y与边长x的函数关系式,并指出函数y=f(x)的定义域。
(2)请你设置x为何值时,用料最省?
师生互动
生2,等号不一定能取得,若a<8,则8(0,a]
师:
那x=?
时用料最省呢?
生2:
当a>8时,x=8用料最省
师:
当a<8时,x二?
,用料最省?
生:
?
师:
今天我们将研究形如f(x)ax-的函数的性质及图象
x
组织学生探究
师:
先研究特例:
函数f(x)x4
师:
借鉴以前研究函数的方法,你能说说研究一个新函数一般从什么方向入手?
生3:
可以手工制图,也可以通过几何画板或计算器,电脑画图,从图象中寻找它的性质。
生4:
也可以反过来,先研究解析式,再根据它的性质画出它的图象,进而全面的了解函数
师:
那么我们现在就先从解析式入手探究函数f(x)x-有那些性质,再根据其
x
性质画其图象。
生5:
定义域为xR|x0
生6:
它是奇函数,因为f(—x)=—f(X)。
从而图象关于原点对称。
只要研究当x>0的情形即可。
4
生7:
当x>0时它有最小值。
ymin4,在x=—即x=2时取得。
x
师:
那在x>0时它的单调性怎样呢?
哪位同学可以做出猜想?
教师鼓励学生尝试猜想。
生&按自变量从小到大取特殊值计算尝试,看大小变化规律
教师媒体展示表格
X
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4yx
x
4
学生计算结果后猜想:
生:
f(x)在(0,2]上单调递减,在(2,+^)上单调递增
师:
猜想的结果只有经过证明才能断定其是否正确,你能用单调性的定义加以证
明吗?
学生尝试证明
媒体展示学生的成果;设0XiX2,则
f(xjf(X2)(Xi4)(X2—)(XiX2)(-—)(XiX2)(1—)(X!
X2)(XiX24)
X-IX2X-IX2X(X2X-|X2
当0XiX22时f(Xi)f(X2)>0,所以f(X)在(0,2]上单调递减
当2Xix2时f(x1)f(x2)<0,所以f(X)在(2,+x)上单调递增
师生:
当X+X时,
4
4
0,f(x)X-
f(x)X,
X
X
图象无限靠近直线
y=4x
4
当X0时,4
f(x)
X4,f(X)
X
X
图象无限靠近y轴
师:
根据以上研究的性质,同学们尝试画出f(x)X4的图象。
X
媒体展示同学画出的几种代表图象点评,修正。
教师现场电脑制作函数f(x)X4的图象,与同学手工制作图象对比,同学也再
X
用计算器作图验证
质,并画出图象
b
由学生总结f(x)ax—(a>0,b>0)的性质
x
b
教师演示含参数a,b的f(x)ax—(a>0,b>0)的图象,同时电脑
x
演示知名品牌耐克商标,故而称其为耐克函数。
借助电脑继续探究正数a,b的大小对图象开口及顶点的影响,当b固定,a越大渐近线y=ax的斜率就越大,从而开口就越小;当a固定,b越小,顶点纵坐标、匡就越小,顶点就越靠近x轴
\a
师:
现在可以解决课初提出的应用问题了,
媒体重新展示用料最省问题
电脑作函数f(x)x匹的图象,弓I导同学们找出顶点的横坐标,当x>0
x
时,动态演示x从0到a的变化趋势,拉动参数a,当a>8时,x=8用料最省;当a<8时,x在(0,a]上单调递减故在x=a时,y取得最小值,从而用料最省.此时AB与MN等长。
师:
借鉴前面研究解析式性质的方法,当a>0,b<0时你能说出函数
…、b
f(x)ax—的性质吗?
你能画出它的草图吗?
x
学生自行前后组合讨论研究.
对于a,b的不同情形皆由同学自己讨论解决
教师媒体演示含参数a,b的f(x)ax-的图象,拉动参数a或b,其中X
a,b皆取遍R,让学生体会图象的渐变过程.
继续互动
媒体展示耐克商标后,紧接展示麦当劳商标,万德福商标
师:
万德福商标模仿麦当劳商标曾引起了一场世界的商标官司,我们关注数学,你能否根据商标的图形,分别模拟一个:
图象接近商标的函数?
生8:
由对称性应该构造偶函数
生9:
要限制x,y的围,
生10:
可用分段函数
让同学们自由讨论,自由想象,自由发言。
让学生走向讲台媒体配合自画图展示
生11:
f(x)=3sinx,x[,]
生12:
f(x)2(x1)22,x[2,2]
21
生13:
f(x)x2
x
尽管学生设计的不一定完美,但他会有意识的修正自己的设计的,这是从形到数的一次飞跃。
也培养他们的探索精神。
【全课总结】
由学生小结,教师补充概括:
最重要的要点出,研究函数的基本
方法。
作业布置:
广得出函数f(x)
(3)对于函数f(X)
na
xn(常数a>0)有关结论吗?
x
xn¥(n为正整数,常数a>0),你能把所推广的函数的性质
x
1
用于求函数F(x)x2x3x2x3在[-,]上的最大值和最小值吗?
【教学设计思想】:
数学源于生活又服务于社会生活。
培养学生用数学的眼光审视现实生活问题
的意识,提高学生用数学知识解决实际问题的意识和能力。
数学是自然的,数学
就在身边,同时数学是有用的,需要科学的世界观审视这世界。
以科学的数学方法引导学生研究数学。
从数到形,又从形到数,数与
形的和谐转化,分类讨论思想之渗透,是这节课的核心。
通过对函数
f(x)ax-的研究,潜移默化,使学生能够体会研究其它函数的方
x
法。
是这节课的最大愿望。
以学生为本。
提出问题,与学生共同解决问题,最大程度的让学生参与,使其体验数学,享受过程,做学习数学的主人。
数学活动在学生认知的最近发展区进行,借助现代媒体技术,丰富学生的想象。
以学生为本的现代理念不能成为时髦用语,要从点滴做起。
作业的设计,即要体现本节课的主体知识,更要延续它的数学魂。
【参考文献】:
没有。
全是自己写的
写于2007.5.8