完整版历年高考抛物线真题详解理科.docx

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完整版历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科

1.【2017课标1,理10】已知F为抛物线C:

y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线|1,

|2,直线11与C交于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，则IABI+IDE的最小值为

A.16

B.14

C.12

D.10

2.【2016年高考四川理数】设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线于=2网p>0）上

任意一点，M

是线段PF上的点，且PM

.V/F,则直线OM的斜率的最大值为（）

（B）2（C）返（D）132

2

3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2p乂P0）上

任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为（

（A）逅（B）2（C）返（D）1

332

4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、

E两点.已知IAB|=472,1DE|=2>/5,则C的焦点到准线的距离为

（A）2

（B）4

（C）6

（D）8

5.【2015高考四川，理

10】设直线I与抛物线

y24x相交于A,B两点，与圆

x52y2r2r

相切于点M,且

M为线段

AB的中点.若这样的直线I恰有4条,

则r的取值范围是（

（A）1,3（B）1,4

（C）2,3（D）

2,4

6.【2015高考浙江，理

5】如图，设抛物线

的焦点为F，不经过焦点的直线上有

三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,

点C在y轴上，则BCF与ACF

的面积之比是（）

A.

BFI1

AF|1

【2017课标7.

BF

B.——

AF

II，理16】已知F

延长线交y轴于点N。

若M为FN

8.【2016高考天津理数】设抛物线

BF|1

AF]

1

C.

是抛物线C：

y2

的中点，则

x2pt2y2pt

D.

AF

BF|21

2'

8x的焦点，

|FN|

（t为参数，P>0）

M是C上一点，FM的

的焦点为F,准线为1.过

B,

0）

抛物线上一点A作I的垂线，垂足为B.设（7p,0）,AF与BC相交于点E.若ICF|=2|AF],

2

且△KCE的面积为3j2，贝UP的值为10.【2017北京，理18】已知抛物线C:

y2=2px过点P（1,1）.过点（0,丄）作直线

2

抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线0P,ON交于点A,

其中0为原点.

（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程;

（n）求证：

A为线段BM的中点.

11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:

xy20，抛物线c:

y22px（p

（1）若直线I过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程;

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：

线段PQ的中点坐标为（2P,P）.;

②求P的取值范围.

12.

【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物

线X2

-,-），B（-,9），抛物线上的点P（x,y）（-X-）.过点B作直线

242422

y，点A（

13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C:

y22x的焦点为F，平行于X轴的两条

直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P,Q两点.

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARPFQ；

（II）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

专輕19抛物线

1.【2017课标1,理10】已知F为抛物线

C:

y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线11,

12,

直线11与C交于A、B两点，直线

12与C交于D、E两点，贝U|AB|+|DE的最小值为

A.

16

B.14

C.12

D.10

【答案】

【解析】

试题分析：

设

A（X1,y1）,B（X2,y2）,D（X3,y\E（X4,yj

，直线11方程为y

k1（x1）

联立方程

y24x

yk1（x1）

22

得k1x

22

2k1X4x

0•••X,x2

2k；42k24

k2

k2

同理直线12与抛物线的交点满足

X3

X4

2k；4

由抛物线定义可知|AB|

1DE

1X1

X2X3X4

2p

2k124

k2

2k24

k；

4

kl

816

当且仅当k.

k2

（或

1）

时，取得等号

【考点】抛物线的简单性质

【名师点睛】对干抛物缩玄长问题，要重点抓住抛物线定儿到走点的距离要想到转化到准线上另外,

直线与抛物线联立，求爭闵」式、韦达定理S通比《a重点S握一考查到最值问題时要能想到用ffi数方法进行解决和基本环等式•此题还耶uu用弦长的倾斜角林设直线的倾斜角为0,则屮A走'则

—11、.rr或tVCfCO广r

=4（k—―—）{cos"a+€t）=4（2-1—+——）>4（2+2）=16

cos^asin^acos^adfTtr

2.【2016年高考四川理数】设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线/=2/?

.V（p>0）上

任意一点，M

是线段PF上的点，且PM

偌,则直线OM的斜率的最大值为（）

（B）y（C）¥（D）1

【答案】C

【解析】

试题分析：

设尸（20

2卩小耐（丫」）（不妨设｛＞0）,则片尸=（2/V?

-£

已知得

iijm1iiA

曲三一FP

3

236

2pi

"rp

x=—r+—,

33

2pt

玄—二乂^，二钛的）=“■，故选C.

rI】'⑷f

2」4_

V2

考点：

抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.

【窑师点睛】本逆考直抛物线的性氐结合題竜S求，利用抛物线的券数方程表示出拋物线上点P附坐标,利用问量法求出点"的坐标，是我点坐标的常用方法曲于5求最犬値個此我们把k斜率用養對烧示出后，可根据表达式.册式选用函数，或不尊式的知识求出最值，本题采用基本不尊式束出最值-

2

3.【2016年高考四川理数】设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2p乂P

任意一点，M

是线段PF上的点，且|PM

（B）2

（C）

（D）1

【答案】

【解析】

试题分析：

设

2pt2

2pt

=2MF,则直线0M的斜率的最大值为（

uur

LUIUU

已知得FM

1uuu-FP，

3

koM2r~1

M

x,y

（不妨设t

0）,则FP

P_

2pt2

p

1

x

2pt2

£

1

2

3

6

3

3

2pt

y

2pt

3

J

3，

1

42

42

，KoM

max

*?

故选

2

2

C.

2pt2号,2pt

考点：

抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.

利用抛物线的参数方程表示出抛物线

【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求,

上点P的坐标，利用向量法求出点M的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大

值，因此我们把k斜率用参数t表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值.

4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、

E两点.已知|AB|=472,1DE|=2j5,则C的焦点到准线的距离为

（A）2

（B）4

（C）6

（D）8

所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性

注意解析几何问题中最容易出现运算错误

5.【2015高考四川，理

10】设直线I与抛物线

y24x相交于A，B两点，与圆

0相切于点M,且M为线段

AB的中点.若这样的直线I恰有4条,

【答案】B

【解析】试題分析：

如厨设側线方程为r"中-血口£立工轴于C”点,则H"d艮“点纨坐标为2忑

则卫点横坐标力一即0c=-.由勾股走理矢+=r==r很卩

pp

斗◎=PQ址:

r解得"4即C的焦点到准线的距离対4；故选B

基础题失分过多是相当一部分学生数学考不

好的主要原因.

则r的取值范围是（

（A）1,3（B）

1,4

（C）2,3（D）2,4

【答案】D

【解析】

显然当直线I的斜率不存在时，必有两条直线满足题设

.当直线I的斜率存在时，设斜率为k.

、y2

设A（X1,y1）,B（X2,y2）,X1X2,M（Xo,yo），贝2

y2

4人、/

，相减得

4x2

（yiy2）（yiy?

）4（xi

X2）.由于X1X2

，所以

yiy2yiy?

2X1

2，即ko2.圆心为

X2

C（5,0），

由CMAB得k

企41，kyo

Xo5

Xo，所以2

5Xo,Xo3，即点M必

在直线X

3上•将X

22

3代入y4x得y

12,

W3

yo

2j3.因为点M在圆

yo24

o上，所以（Xo5）2

2

yo

22

r,r

2

yo412416.又

4（由于斜率不存在，故yo0，所以不取等号）

，所以

16,2r4.选D.

【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.

t名师点首先应结行分折.结合@形易知，只要鬪的半径小于那么必有两条直线（即与X轴垂直的两条切绑満足题邊，因此只需直线的隸S存在时，再育两条直线鶴足題设即可樓下来gte决的冋题是当直线的料率存在时；圆的半径的范围是忡么.涉S直践三圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常杀甲“点涯法：

在本题中利用点蹇法可得，中点必在直线"3上•由此可确這中点■的纵坐标H的范围,利用这个范围即可得到r的取值范围。

6.[2o15高考浙江，理5】如图，设抛物线y24X的焦点为F，不经过焦点的直线上有

三个不同的点A,B,C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF

的面积之比是（）

A.

BFI1

B.

BF

2

C.

【答案】

A.

【解析】

SBCF

SACF

BC

AC

AF

Xb

BF

Xa

BF|1

AFI1

1，故选A.

AF1

【考点定位】抛物线的标准方程及其性质

|bf|21

D.

|AF

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时,

需结合平

面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质,

结合抛物线的性质：

抛物线上的点到准

线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质,是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习

7.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C：

y28x的焦点，M是C上一点，FM的延

长线交y轴于点N。

若M为FN的中点，贝y|FN|。

【答案】6

【解析】试题分析