立体几何高考命题走向传统与创新的有机结合.docx
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立体几何高考命题走向传统与创新的有机结合
立体几何高考命题走向：
传统与创新的有机结合
——新课程下立体几何命题特点浅析
在新课程实施的大背景下，立体几何高考命题是一道最富有特色的靓丽风景线。
作为中学数学传统的主体内容之一，立体几何高考命题始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与距离的计算作为考查的重点。
对学生的空间想象能力、逻辑思维、演绎推理能力等传统的考查方式，仍保持相对的稳定。
同时，随着新课程改革的不断深化，立体几何无疑又成为数学学科高考命题改革的“突破口”与“试验田”，有时还成为“风向标”，这些改革尝试的目的在于“激发学生独立思考，从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索和研究，有利于提高学生的思维能力和创新意识”。
从近十年来，特别是2004、2005年高考全国及各省市自主命题中对立体几何试题的分析、我们可以清楚地看到，传统与创新的有机结合，正是在新课程理念下立体几何高考命题的新走向与新特色。
一、试题分布特点分析
表1、2004年夏季全国及部分省市自主命题高考试卷中立体几何题分布表
类型
题号
试题所占分数
整体分数
占总分比例
题型
考查知识点提要
全国I
10
5
21
两小
一大
14%
选择题
截面与正四面体表面积之比的计算
16
4
填空题
异面直线在平面射影的位置关系判定
20
12
解答题
四棱锥中的点面距离，二面角的计算
全国II
7
5
21
两小
一大14%
选择题
球心到小圆截面距离的计算
16
4
填空题
直四棱柱的判定
20
12
解答题
直三棱柱中线面垂直的论证：
二面角的计算
全国III
9
5
21
两小
一大14%
选择题
正三棱锥的体积计算
13
4
填空题
小圆面积与球表面之比的计算
20
12
解答题
三棱锥中的线线垂直的论证，线面角的计算
全国IV
文13
5
22
两小
一大14.67%
选择题
理7
正三棱锥体积的计算，线面平行、相交、线线平等的判定
理10
5
填空题
球心到小圆截面的距离计算
文7
20
12
解答题
四棱锥体积计算，线线垂直论证
类型
题号
试题所占分数
整体分数
占总分比例
题型
考查知识点提要
北京
3
5
26
三小
一大17.33%
选择题
线线垂直、平行、线面垂直、面面平行的判定
4
5
选择题
正方体内动点到直线距离与轨迹问题综合
11
5
填空题
球的小圆弧长与表面积的计算
16
14
解答题
正三棱柱侧面展开图对角线及相关线段长与二面角大小计算
上海
13
4
20
一小
一大13.33%
填空题
线面垂直、平行的判定
21
16
解答题
正四面体的判定，二面角的计算、等体积的直平行六面体的探索
天津
6
5
22
两小
一大14.67%
选择题
正方体中异面直线成角余弦值的计算
文8
5
选择题
线面垂直关系与动点轨迹的综合
10
5
选择题
长方体截面面积的计算
理19
12
解答题
四棱锥中线面垂直、平行的论证、二面角大小的计算
四棱锥中线石平行论证，线面成角正切值计算
文19
重庆
文16
5
22
两小
一大14.67%
填空题
地球与火星大圆周长计算
选择题
线面平行、垂直、异面直线的判定
8
5
选择题
三棱锥侧面点动点到底面距离，及到直线距离引出动点轨迹（与解析几何综合）
12
5
选择题
正方体铅孔后的表面积计算
19
12
解答题
四棱锥中异面直线分垂线的论证，线面成角二面角（文）的计算
湖北
11
5
17
一小
一大11.33%
选择题
二面角、线面成角的有关计算及直线与平面位置关系的判定
文6
5
选择题
四面体的表面积的计算
18
12
解答题
正方体中动点位置探求，使得线与面垂直、二面角大小的计算
湖南
4
5
22
两小
一大14.67%
选择题
由翻折图形得三棱锥体积最大的，线面成角的计算
10
5
选择题
正八面体顶点与排列组合综合
19
12
解答题
四棱锥中线面垂直的证明，二面角的计算，探求动点的位置，使线面平行
类型
题号
试题所占分数
整体分数
占总分比例
题型
考查知识点提要
浙江
10
5
21
两小
一大14%
选择题
正三棱柱中线面成角大小的计算
16
4
填空题
点面距离，点线距离的计算
19
12
解答题
不规则图形（正方体变化而来）中线面平行（垂直）论证，二面角大小，点面距离、异面直线成角的计算
福建
5
5
26
三小
一大17.33%
选择题
线线平行、线面平行、面面平行判定
10
5
选择题
球的小圆截面与斜线成角的计算
16
4
填空题
六棱柱容器容积最大的计算（与导数综合）
19
12
解答题
三棱锥中线线垂直的证明、二面角、点面距离的计算
辽宁
3
5
26
三小
一大17.33%
选择题
线面、面面位置关系判定及充分条件与必要条件
10
5
选择题
球的小圆截面与球距离及球体积的计算
15
4
填空题
斜四棱柱侧棱与截面距离的计算
17
12
解答题
四棱锥中面面垂直的论证，二面角余弦值的计算
江苏
4
5
17
一小
一大11.33%
选择题
由球心到小圆截面距离求球的体积
18
12
解答题
正方体中，线面成角，点面距离的计算，线线垂直的论证
广东
7
5
21
两小
一大14%
选择题
正方体截去八个小棱距后剩余体积的计算
15
4
填空题
由平面图形面积的比例关系，推广到空间图形的体积比例关系
18
12
解答题
长方体中二面角，异面直线成角的计算
表2、2005年夏季全国及部分省市自主命题高考试卷中立体几何题分布表
类型
题号
试题所占分数
整体分数
占总分比例
题型
考查知识点提要
全国I
3
5
26
三小
一大17.33%
选择题
由小圆面积求球表面积
5
5
选择题
求不规则五面体的体积
16
4
填空题
截面图形判定，面面垂直判定
18
12
解答题
四棱锥中,证面面垂直,求异面直线成角，二面角大小
全国II
2
5
26
三小
一大17.33%
选择题
截面图形判定
12
5
选择题
求正四面体内切球与高的关系
16
4
填空题
正三棱锥的判定
20
12
解答题
四棱锥中证线面垂直求二面角大小
全国III
4
4
22
两小
一大14.67%
选择题
三棱柱中求四棱锥的体积
11
4
选择题
点面距离、位置判定
18
12
解答题
证线面垂直，求二面角的大小
北京
6
5
一小
一大12.67%
选择题
线面平行，垂直面面垂直的垂直的判定
文16
理16
14
19
解答题
证线线垂直，线面平行，求异面直线线角大小
解答题
直四棱柱中，证线线垂直求二面角及异面直线成角大小
天津
4
5
17
一小
一大11.33%
选择题
线面垂直充要条件
19
12
解答题
斜三棱柱中求线面成角大小，证线面平行，求四面体外接球体积
重庆
7
5
22
两小
一大14.67%
选择题
面面平行判定
10
5
选择题
求三棱锥体积
20
12
解答题
三棱柱中，求异面直线距离，二面角平面角正弦值
辽宁
4
3
21
两小
一大14%
选择题
面面平行判定
14
4
填空题
求点面距离
17
12
解答题
三棱锥中证线面垂直，求二面角平面角余弦值，三棱柱外接球表面积求棱长
江苏
8
5
24
两小
一大16%
选择题
线线、线面、面面平等判定
4
5
选择题
求点面距离
21
14
解答题
五棱锥中求异面直线线角，二面角大小证线面垂直
类型
题号
试题所占分数
整体分数
占总分比例
题型
考查知识点提要
浙江
6
5
22
两小
一大14.67%
选择题
线线平行，面面垂直判定
12
5
选择题
求翻折图形中异面直线成角大小
18
12
解答题
三棱锥中，证线面平行，求线面成角大小，求点在面射影位置
福建
4
5
22
两小
一大14.67%
选择题
线线平行、垂直，面面垂直判定
8
5
选择题
求异面直线成角
20
12
解答题
在不规则图形（直三棱柱变形）中，证线面垂直求二面角大小，求点面距离
湖北
10
5
22
两小
一大14.67%
选择题
线面平行判定
文20
12
解答题
求截面的边长，求点面距离
12
5
选择题
平行六面体中点面关系与概率综合题
理20
12
解答题
四棱锥中，求异面直线成角余弦值，由点面距求点线距离
湖南
5
5
17
一小
一大11.33%
选择题
求点面距离
17
12
解答题
由翻折图形，证异面直线垂直，求二面角大小
广东
4
5
24
两小
一大16%
选择题
三棱柱中求三棱锥体积
7
5
选择题
线面平行判定
16
14
解答题
四面体中，证线面垂直求二面角大小
山东
8
5
21
两小
一大14%
填空题
线线、线面、面面平行判定
20
12
选择题
地球上两地之间的球面距离
16
4
解答题
在长方体中，求异面直线成角、二面角（锐角）大小，求点面距离
江西
9
5
21
两小
一大14%
选择题
求四面体外接球的体积
15
4
填空题
求棱柱表面两点间最短路径长（展开图）
20
12
解答题
在长方体中，证线线垂直求点面距离，求二面角大小求线段长
（1）占分比重：
立体几何在高考中的占分比重，随课程内容的变化有所下降，2003年前的试卷中，一般有三小一大，约26分，占全卷的17.4%，而2004年江苏、湖北试卷中的一小一大共17分，而2005年天津与湖南试卷中也仅一小一大共17分，仅占11.3%，全国绝大多数省、市两年基本上是两大一小，约21—22分，占全卷的14%。
这与立体几何所占的学时比例（36/324）基本相当，由于立体几何内容与方法较多，又是考查空间想象能力的重要途径，我们认为题量“两小一大”较为合理。
（2）解答题位置
从2004年15份理科试卷及2005年16份理科试卷中，每份均有一道立体几何解答试题，2004年处在解答题的第1个位置的仅有辽宁1道试题，第2个位置的有北京、湖北、江苏、广东4道试题，而全国卷的4道题都处在解答题的第4个位置；第3个位置的有天津、重庆、湖北、湖南、浙江、福建6道。
而2005年，处在解答题的第1个位置的仍是辽宁与上海两道试题，第2位置的有全国I、全国III，北京、广东、湖南5道题，第3个位置的有江苏、天津2道试题，而处在第4位置的有全国II、福建、湖北、山东、浙江、重庆、江西等7道试题，这说明立体几何解答题属于中档题，但又有难度提高并后移的趋势。
（3）考查方式
大题以考查直线与平面位置关系的证明角度与距离的计算为主，通常以多面体为载体：
如正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥，2004年试卷中涉及棱锥的试题出现的几率较大，有9道之多当中涉及四棱锥的有6道，三棱锥的有3道。
涉及柱体的有5道，当中三棱柱2道，正方体2道，长方体的1道。
事实上，浙江的试题也可以看做是以长方体为模型的立体几何题。
当中，关于二面角的计算的试题多达11道试题；判断垂直与平行的有10道。
2005年试卷中，涉及三棱锥的有3道，四棱锥的有3道，江苏还出了一道五棱锥，涉及三棱柱3道，四棱柱2道，长方体2道，福建的试题中不规则图形，也可以看成柱体切去一部分，当中关于二面角的计算14道，证明垂直与平行的有13道。
（4）大小题型考查内容
解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点，又分散了难点，试题既包含了一定量的证明步骤，也包含了计算部分，能较全面地考查逻辑推理能力，空间想象能力和运算能力，同时还应注意利用前面的结论、图形等分析后面的结论。
估计这种命题的特点还将保持下去。
考查线线、线面、面面关系的论证，此类题目常以客观题或解答题的第一步出现。
计算空间的角或距离，常以客观题或解答题的第二步出现。
小题类型大体有：
用于覆盖大题未考查到的直线、平面位置关系的判定，角度、距离的计算及球的问题，体积、表面积问题，空间想象问题，与其它知识（如排列组合概率等）综合的问题。
2005年试卷的选填题中，涉及线线、线面、面面关系的判断题有14道，求空间角与距离的仅有5道，简单几何体及其体积有10道，翻析与展开的有2道，与排列、组合、概率综合的问题有2道。
二．试题创新特色分析
（1）传统内容的“双轨”处理
2005年理科16份试卷中，有13道立体几何解答题明显给出了空间坐标系的框架，只要利用空间向量的意识，建立空间坐标系后就容易求解，即立体几何问题大多可以用向量作工作解决，兼顾了九（A）、九（B）两种教材版本。
由于近几年高考命题倾向于新教材的内容，因此，同一道立体几何综合题，利用空间向量求解比用传统方法求解相对较易，尤其是确定点的位置或探索性问题，利用空间向量的坐标形式求解更凸现其解法的优越法。
例1如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
，AF=1，M是线段EF的中点，
（1）求证：
AM//平面BDE
（2）求二面角A—DF—B的大小；
（3）在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是
。
分析：
此题既可用传统方法求解，也可用空间向量求解，但要确定一个点的位置，一般情况下用空间向量比较容易解答，可避免传统解法中的一些几何性质的论证。
解：
（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设
，连结NE，则点
，E（0，0，1），
又
，
，所以
且NE与AM不共线，故NE//AM
，
所以AM//平面BDE
（2）
为平面ADF的法向量。
，
所以
为平面BDF的法向量。
与
的夹角是
，即二面角A—DF—B的大小是
。
（3）设
得
，
由于
与
所成的角是
，
，解得：
或
（舍去）所以P是AC的中点
点评：
本题考查空间线面关系及空间向量概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。
例2如图2，直三棱柱中ABC－AlBlCl，∠ACB=90°，AC=1，CB=
，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线的交点为D，C1Bl的中点为M，
（I）求证CD⊥平面BDM；
（II）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。
本题第I问证明CD⊥平面BDM，则要设法在该平面内找到与CD垂直的直线。
先从该平面已有的三条直线BD、BM、DM入手，因为B点为棱柱的顶点，涉及的已知条件比较多，可以先考查从B点上出发的直线BD。
从已知条件可以求得BD＝1，BG=
，但CD长度未知，且不易求出，这时要放开眼界，找出和BD有关的条件。
BD进一步延长就是BA1，在△A1BC中，BC=CA1，D为A1B的中点，则CD⊥A1B。
此时CD=CC1，DM=AC1=C1M，所以△CDM≌△CC1M，所以CD⊥BM。
本题也可以连结CB1⊥BM，从而CD⊥BM
第Ⅱ问是求二面角的大小，要首先找出该二面角的平面角，再找出数量关系。
虽然已经证明CD⊥A1B，但在平面A1BB1内，垂直于棱A1B的垂线不易求得，所以要进行相应的“移动”．△BlBD是等边三角形，BD边上的中线BlG垂直于棱AlB，其长为
。
作GF∥CD，GF=
CD=
利用勾股定理可求得FB1=
，再利用余弦定理可以求出∠FCBl度数。
本题也可以应用空间向量解决。
因为题目给出的三棱锥是“躺倒”放置的，从C点出发的一条侧棱和两条底边自然组成了互相垂直的“坐标架”，因此可以以C点为原点，以上述的三条直线为坐标轴建立坐标系。
建立坐标系以后就可以求出各点的坐标，以及各向量的坐标，利用向量的数量积可以证明垂直关系、求出两个向量的夹角。
值得注意的是，在解决本题的第Ⅱ问时，可以不用把垂直于二面角棱的两条直线移到同一点，只要能证明他们都垂直于二面角的棱，则他们的夹角的大小就是二面角的大小，直接应用向量的夹角公式计算即可。
本题采用一题两法的设计，方便考生根据自己的情况，选择自己熟悉的方法。
但通过解题过程的比较可以发现，向量的方法比较规范、简捷。
本题对空间想像能力的考查与计算紧密结合，而且有多条途径可以解决问题，给考生以发挥的空间。
既重视传统解法，也彰显向量解法的魅力。
多法并举，宽入口，多角度凸显学生的能力。
结合新课程新引入向量知识，丰富与拓展研究手段，既重视传统的方法又注重向量的方法是高考在立体几何方面的新动向。
用向量这一有力的工具解决立体几何问题，融推理于计算，两种方法有机结合，相得益彰。
（2）客观题提高了思维深度
由于新高考的题型的比例由各省自定，对易、中、难题分数比和选修部分不再强调“以容易题和中等题为主”的要求出现，势必形成客观题的思维深度进一步提高。
我们从2003年全国高考第（8）题：
棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
又如2004年全国高考理第（10）题：
已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的的表面积为T，则
等于（）
（A）
（B）
（C）
（D）
比较可以看出，这两道题目一脉相承，解法相仿，均需要用推理运算进行求解，并且后者稍难于前者。
前者为正方体，后者为四面体，解决这两题的难度由此一目了然。
这正是思维深度进一步提高的诠释。
再如2005年重庆卷第10题：
如图，在体积为1的三棱锥A－BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G使AE：
EB＝AF：
FC＝AC：
CD＝2：
1，记O为三平面BCG、CDE、DFB的交点，则三棱锥O-BCD的体积等于
（A）
（B）
（C）
（D）
此题对空间想象能力、思维能力、运算能力的要求都较高。
要求考生对图形作出细致的观察和理性的分析，对图形提供的信息进行合理加工，会根据需要对图形进行拆分与组合。
此题实际上是求体积比，由于底面相同，则其值等于h0：
ha。
方法1不妨设A－BCD为正三棱锥，如图DH为底面边BC上的中线，设A、C在底面上的射影分别是R、S，则HR：
RD∶RS=3：
6：
4，所以OR：
CS：
AR＝3∶7∶21，故两高的比h0：
ha＝1：
7．
方法2设DE∩BG=M，BF∩CE=N，则CM∩DN=0
观察下面的两个分拆出来的平面图形，如图：
∵DM：
ME=BD：
EC=AD∶AC＝3：
2，
∴ED∶EM＝5：
2。
又∵CO：
OM＝CD：
MN＝ED：
EM=5：
2，
∴CO：
CM＝5∶7
∴
∴h0：
ha＝1：
7
将立体图形拆分成或抽拿出若干平面图形，通过平面图形实施具体运算，可大大简化空间图形的抽象程度，这是解决较复杂问题的常用手法。
在立体几何中引入空间向量以后，很多问题都可以应用向量的方法解决．特别是近两年解答题采取“一题两法”的设计之后，应用空间向量的方法，可以通过建立空间坐标系，将几何元素之间的关系数量化，进而通过计算解决求角、证明的问题，空间向量更显现出解题的优势，因此对空间想像能力的考查正由大题向小题转移，特别是在新课程卷中一些多面体和旋转体不作要求，小题中对这些几何体的计算要求较低，更多地承担起考查空间想像能力的重任。
例3对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是
（A）如果m
α,n
α,m、n是异面直线，那么n∥α
（B）如果m
α,n
α,m、n是异面直线，那么n与α相交
（C）如果m
α,n∥α，m、n共面，那么m∥n
（D）如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
分析：
首先要读懂题，将文字语言、符号语言转化为图形语言进行研究。
在选项（A）（B）中，n
α包含两种情况，n∥α或n与a只有一个交点，这两种情况都可以使m、n为异面直线，因此（A）和（B）都不正确．
选项（C）恰是由线面平行推出线线平行定理的语言符号表述，是正确的。
于是选项（D）肯定不正确，就不用再判断了。
本题考查空间直线与平面位置关系的判定，涉及到异面直线，直线与平面的三种位置关系，两条直线平行的判定等内容？
体现出文字语言、符号语言转化为图形语言的能力，判断几何命题真假的方法与能力，体现出思维能力与空间想像能力的综合，属于中等题。
在解决这类问题时，读题画图是关键，往往采用举特例排除的方法进行判断。
例4已知a、b为不垂直的异面直线，a是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：
①两条平行线②两条相互垂直的直线
同一条直线④一条直线及其外一点
在上面的结论中，正确结论的编号是＿＿＿＿（写出所有正确结论的编号）．
分析：
因为本题是判断a、b在α上的射影的可能的情况，对每个结论，如果能作出这种情境就是可能，如果不能构造出这种情境还需要证明这个结论是不成立的。
①过直线a作一个平面β和b平行，再作一个平面α与β垂直，则a、b在α上的射影为两条平行线．这个结论是成立的。
②过直线a作平面β，过直线b作平面γ垂直于β，再作一个平面α与β、γ垂直，则a、b在α上的射影互相垂直。
这个结论是成立的。
③如果a、b在α上的射影为同一直线，则a、b都在垂直于α的平面内，与a、b为异面直线的条件矛盾。
这个结论是不成立的。
④作一个平面α和其中的一条直线α垂直，则a在α上的射影为一个点，而b的射影为一条直线。
这个结论是成立的。
分析：
本题考查空间线面关系、空间想像能力、射影的概念和性质中画出图形将有助于解题。
本题实际上是一个多选题，需要对结论进行逐个地判断。
填空题虽然没有中间步骤、没有备选答案提示，但其中的题型是丰富多彩的，象本题就是一个典型的考查概念的题目，通过设置多个可能的情况，比较全面、深刻、精细地考查了直线及其在平面上射影的关系。
例5下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的两个截面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，刚该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
分析：
本题是一个多选题，需要对四个命题逐个一进行判断？
判定所给的条件是否能组成直棱柱。
①若有两个侧面垂直于底面，如果是两个相邻的侧面垂直于底面，则其交线必垂直于底面，就职可以判定为直棱柱；两个相对的侧面垂直于底面，则不能判定，但题目没有强调是相邻，所以不能判定。
②若两个过相对侧棱的两个截面垂直于底面，则其交线垂直于底面，而侧棱与该交线平行，所以侧一棱垂直于底面，满足条件的四棱柱为直棱柱。
③由各边长相等且全等的菱形为侧面，可组成—个四棱柱，则其可能为平行六面体，并非一定是直一四棱柱。
④四棱柱的过相对侧棱的截面为平行四边形，二
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