特殊三角形综合培优打印.docx
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特殊三角形综合培优打印
学生:
科目:
数学教师:
谭前富
课题
特殊三角形综合培优
教学内容
知识框架
一、等腰三角形
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。
2.等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3.等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
4.等边三角形的性质:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。
5.等边三角形的判定:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
6.含30°角的直角三角形的性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二、直角三角形
1.认识直角三角形。
学会用符号和字母表示直角三角形。
按照角的度数对三角形进行分类:
如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形叫直角三角形。
通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”,其中直角所对的边称为直角三角形的斜边,构成直角的两边称为直角边。
如果△ABC是直角三角形,习惯于把以C为顶点的角当成直角。
用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。
如果AB=AC且∠A=90°,显然这个三角形既是等腰三角形,又是直角三角形,我们称之为等腰直角三角形。
2.掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。
会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。
3.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。
4.掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。
能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。
5在直角三角形中如果一个锐角是30°,则它所对的直角边等于斜边的一半”。
难点:
在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线:
斜边上的高线和斜边上的中线。
【例题精讲】
等腰三角形
双基训练
**1.已知等腰三角形ABC的底边BC=8,|AC-BC|=3,则腰AC的长为。
**2.若等腰三角形的周长为12,腰长为x,则腰长x的取值范围是。
**3.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15和6两部分,则腰长与底边的长分别为。
**4.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这条高与底边的夹角为。
**5.在ΔABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为500,则底角B的大小为。
**6.已知两根木棒的长分别是8cm、10cm,要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形,那么第三根木棒长x的范围是;如果以5cm为等腰三角形的一边,另一边为10cm,则它的周长应为。
**7.图14-32是由两个全等的有一个角为300的直角三角形拼成的,其中,两条长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数自变量()。
(2001年南昌市中考试题)
(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个
**8.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,腰长为a,则其底边上的高是。
纵向应用
**1.如图14-33,在ΔABC中,D、E分别是AC、AB边上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③∠BE=∠CD;④∠OB=∠OC。
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定ΔABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)?
(2)选择第
(1)小题中的一种情形,证明:
ΔABC是等腰三角形。
***2.如图14-34,已知∠1=∠2,EF⊥AD于点P,交BC延长线于点M,求证:
∠M=
(∠ACB-∠B).
***3.如图14-35,在RtΔABC中,∠C=900,AD∥BC,∠CBE=
∠ABE。
求证:
ED=2AB,【6】
***4.如图14-36,在ΔABC中,AB=AC,CM是边AB上的中线,BD=AB,求证:
CD=2CM。
【8】
***5.如图14-37,在ΔABC中,AD是∠A的平分线,CD⊥AD,垂足为D,G为BC的中点,求证:
∠DGC=∠B。
【6】
***6.如图14-38,已知等边ΔABC的周长为6,BD是AC边上的高,E是BC延长线上一点,CD=CE,求ΔBDE的周长。
【4】
***7.如图14-39,已知AB=AC,BD、CE分别是∠B、∠C的平分线,AM⊥BD于点M,AN⊥CE于点N,求证:
ΔAMN是等腰三角形。
【5】
横向拓展
***1.已知等腰三角形三边的长为a、b、c且a=c,若关于x的一元二次方程ax2-
bx+c=0的两根之差为
,则等腰三角形的一个底角是()。
【4】
(A)150(B)300(C)450(D)600
***2.已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5。
(1)k为何值时,ΔABC是以BC为斜边的直角三角形?
(2)k为何值时,ΔABC是等腰三角形?
并求出ΔABC的周长。
p.115【8】
***3.如图14-40,已知等边ΔABC边BA延长线上有一点D,BC延长线上有一点E,且AD=BE,求证:
DC=DE。
【6】
***4.如图14-41,在ΔABC中,AB=AC,D为ABC外一点∠ABD=600,∠ADB=900-
BDC,求证:
AB-BD=DC。
【10】
***5.如图14-42,∠ABD=∠ACD=600,∠ADB=900-
∠BDC,求证:
ΔABC是等腰三角形。
【10】
***6.如图14-43,已知线段b、c和ma,求作ΔABC,使AB=c,AC=b,BC边上的中线AD=ma.【5】
****7.如图14-44,在等腰三角形ABC的一腰AB上取一点D,在另一腰AC的延长线上取CE=BD,连DE,则DE>BC.【8】
等边三角形
双基训练
*1.如图14-45,在等边ΔABC中,O是三个内角平分线的交点,OD∥AB,OE∥AC,则图中等腰三角形的个数是。
【2】
**2.如图14-46,ΔABC是等边三角形,D为BA的中点,DE⊥AC,垂足为点E,EF‖AB,AE=1,则AD=,ΔEFC的周长=。
【2】
**3.如图14-47,在等边ΔABC中,AE=CD,BG⊥AD,求证:
BP=2PG。
【3】
纵向应用
**1.如图14-48,已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点,若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上,试说明EF与AB的关系,并加以证明。
【4】
***2.如图14-49,C是线段AB上的一点,ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形,点D、E在AB同旁,AE交CD于点G,BD交CE于点H,求证:
GH∥AB。
【6】
***3.如图14-50,已知ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D使得ΔCDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,求证:
ΔCMN是等边三角形。
(1998年第13届江苏省初中数学竞赛试题)【8】
***4.如图14-51,C是线段AB上一点,分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE,M为AE的中点,N为DB的中点,求证:
ΔCMN为等边三角形。
【6】
***5.如图14-52,在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,以CD为边向形外作等边ΔCDE,连结AE,求证:
ΔABE为等边三角形。
【5】
***6.如图14-53,已知ΔABC是等边三角形,D为AC上一点,∠1=∠2,BD=CE,求证:
ΔADE是等边三角形。
【4】
***7.如图14-54,设在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。
求证:
ΔMNP是等边三角形。
【6】
***8.如图14-55,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,∠AOB=600,且E、F分别是OD、OA的中点,M是BC的中点,求证:
ΔEFM是等边三角形。
p.117【6】
***9.如图14-56,在
ABCD中,ΔABE和ΔBCF都是等边三角形,求证:
ΔDEF是等边三角形。
***10.如图14-57,已知D为等边ΔABC内一点,DA=DC,P点在ΔABC外,且CP=CA,CD平分∠PCB,求∠P。
【5】
横向拓展
***1.如图14-58,已知P是等边三角形ABC内一点,APB:
CPA=5:
6:
7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。
【8】
***2.如图14-59,点O为等边ΔABC内一点,∠AOB=1100,∠BOC=1350,试问:
(1)以OA、OB、OC为边,能否构成三角形?
若能,请求出该三角形各内角的度数;若不能,请说明理由;
(2)如果∠AOB大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时,以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?
【10】
****3.如图14-60,已知ΔABC是边长为1的等边三角形,ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形,以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M,交AC于点N,连结MN,形成一个三角形。
求证:
AMN的周长等于2。
【10】
****4.如图14-61,在ΔABC中,∠A=600,BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,点D是BC的中点,BE、CF交于点M。
(1)如果AB=AC,求证:
ΔDEF是等边三角形;
(2)如果AB≠AC,试猜想ΔDEF是不是等边三角形?
如果ΔDEF是等边三角形,请加以证明;如果ΔDEF不是等边三角形,请说明理由;
(3)如果CM=4cm,FM=5cm,求BE的长度。
****5.如图14-62,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),∠AON=600。
(1)OP为多少时,ΔAOP为等边三角形?
(2)OP为多少时,ΔAOP为直角三角形?
(3)OP为多少时,ΔAOP为锐角三角形?
(4)OP满足什么条件时,ΔAOP为钝角三角形?
【10】
****6.
(1)如图14-63,下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形,它们的边长分别为1,2,3,…,设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成,按此规律推断s与n有怎样的关系;
(2)现有一个等角六边形ABCDEF(六个内角都相等的六边形,如图14-64),它的四条边长分别是2、5、3、1,求这个等角六边形的周长;
(3)
(2)中的等角六边形能否用
(1)中最小的等边三角形无空隙拼合而成?
如果能,请求出需要这种小等边三角形的个数。
【15】
直角三角形
双基训练
*1.两个直角三角形全等的条件是()。
【1】
(A)一锐角对应相等(B)两锐角对应相等
(C)一条边对应相等(D)两条边对应相等
**2.如图14-65,AD是ΔABC的中线,∠ADC=450,把ΔADC沿AD对折,点C落在点C的位置,则BC与BC之间的数量关系是。
【3】
**3.如果三角形中两条边的垂直一部分线的交点在第三条边上,那么这个三角形是()。
【1】
(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)等边三角形
**4.在RtΔABC中,∠ACB=900,∠B=600,CD为斜边AB上的中线,已知AC=
,BC=2,则ΔADC的周长=。
【3】
**5.若直角三角形两直角边的和为3,斜边上的高为
,则斜边的长为。
【4】
**6.在等腰ΔABC中,过腰AB的中点D作它的垂线(且点A、C在垂线的异侧)交另一腰AC于点E,连结BE,若AD+AC=24,BD+BC=20,则ΔEBC的周长为。
【4】
**7.如图14-66,已知在等腰ΔABC中,AB=AC=20cm,AB的中垂线交另一腰于D点,ΔBCD的周长是30cm,求BC的长。
【2】
**8.如图14-67,已知在ΔABC中,AB=AC,∠A=1200,EF垂直平分AB。
求证:
CF=2BF。
【3】
**9.如图14-68,∠B=900,ED垂直平分AC,∠BAE:
∠EAD=8:
5,求∠BAC的大小。
【3】
**10.在等腰直角ΔABC中,斜边BC=10,BD平分∠ABC,DEBC于点E,求ΔDEC的周长。
【3】
**11.如图14-69,已知∠BAC=1100,MN、PN是AB、AC的中垂线,交BC于点E、F。
求∠EAF。
【3】
纵向应用
**1.如图14-70,在ΔABC中,高AD、BE交于点H,M、N分别是BH、AC的中点,∠ABC=450,求证:
DM=DN。
【4】
**2.如图14-71,已知M是RtΔABC斜边AB的中点,CD=BM,DM与CB的延长线交于点E,求证:
∠E=
∠A。
【6】
**3.如图14-72,在RtΔABC中,∠ACB=900,∠BAC=300,ΔADC和ΔABE是等边三角形,DE交AB于点F,求证:
F是DE的中点。
【8】
**4.如图14-73,在ΔABC中,高BE、CF相交于点H,M、N分别是BC、EF的中点,直线MN与线段EF之间具有怎样的关系?
证明你的结论。
【4】
**5.如图14-74,已知AE与BD相交于点C,AB=AC,DE=DC,M、N、P分别是BC、CE、AD的中点,求证:
PM=PN。
【5】
**6.如图14-75,在ΔABC中,三边BC、AC、AB上的高AE、BF、CD相交于点M,P为BM的中点,Q为AC的中点,求证;PQED。
【6】
**7.如图14-76,在ΔABC中,∠B=22.50,∠C=600,AB的垂直平分线交BC于点D,BD=6
,AE⊥BC于点E,求EC的长。
p.116【5】
**8.如图14-77,在ΔABC中,∠B=22.50,边AB的垂直平分线交BC于点D,DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于占G,求证:
EG=EC。
【5】
**9.如图14-78,在ΔABC中,D是BC边上一点且DA⊥AC,∠B=∠2C,AB=5cm,求DC的长。
【3】
**10.如图14-79,在ΔABCK,∠B=∠2A,CD⊥AB于点D,E为BC的中点,EF∥CA交AB于点F,求证:
DF=
BC。
【4】
***11.如图14-80,在RtΔABC中,ACB=900,M是AB的中点,如果分别延长AC、BC到点E、F使CE=CF=
AB,那么∠EMF的度数等于几?
是否是常数?
【5】
***12.如图14-81,已知C是线段AB上一点,且AC:
CB=1:
2,ΔACD和ΔBCE均为等边三角形,求∠DEB的度数。
【4】
***13.如图14-82,已知在ΔABC中,∠A=600,高BD、CE交于点H,HD=3,HE=4,求BD、CE的长。
【4】
***14.如图14-83,已知AB=2BC,两条对角线各垂直其中一条边即∠ACB=∠ADB=900,又DA=DB,作DE⊥AB,求∠EDC的度数。
【5】
***15.如图14-84,已知在四边形ABCD中,ADBC,∠BAC=900且AB=AC,BD=BC,AC、BD交于点E,求∠DEC的度数。
【5】
***16.如图14-85,在RtΔACB中,CD平分∠ACB,CF是AB的中线,EFAB交CD的延长线于点E。
求证:
CF=EF。
【5】
***17.如图14-86,在ΔABC中,∠C=900,D为AB上一点,作DEBC于点E,若BE=AC。
BD=0.5,DE+BC=1,求∠BAC的度数。
【8】
***18.
(1)在ΔABC中,AB=AC,BDAC于点D,若BD=1,SΔABC=1,求∠A;【4】
(2)在ΔABC中,高AD、BE所在直线交于点H,且BH、AC,求∠ABC。
【6】
***19.如图14-87,在ΔABC中,∠ABC的平分线与AC的垂直一部分线MN相交于点N,过N分别作ND⊥AB于点D,NE⊥BC于点E,求证:
AD=CE。
【4】
***20.如图14-88,已知F为∠GBC、∠BAC角平分线的交点,过点B作CF的垂线BE,交AC的延长线于点E,垂足为H,求证:
BC=CE。
【6】
***21.如图14-89,已知在ΔABC中,∠ABC=900,AD平分∠BAC,BE⊥AC,E是垂足,DF∥BE,EF=1,求
(1)点F到BC的距离;
(2)若∠C=300,求AC。
【6】
***22.如图14-90,已知∠MON和线段AB,求作一点P,使PA=PB并使点P到OM、ON的距离相等。
【3】
横向拓展
***1.如图14-91,在RtΔABC中,∠C=900,M是AB的中点,∠EMF=900,将∠EMF绕着M点旋转,使ME、MF分别与AC、BC相交于点E、F。
(1)在AE、EF、FB中是否始终有最大的线段?
若有,最长的是哪一条?
(2)AE、EF、FB能否构成直角三角形?
若能,请加以证明。
【8】
***2.如图14-92,在ΔABC中,AB=AC,∠BAC=900,D、E是BC上两动点(与B、C不重合)且∠DAE=450。
问:
(1)BD、DE、EC中哪条线段最长?
(2)BD、DE、EC三条线段能否构成直角三角形?
若能,请加以证明。
【10】
***3.如图14-93,已知∠MCN=900,A是∠MCN平分线上一定点,B为CM上一动点,点D在CN上且∠BAD=450。
问:
RtΔBCD的周长是否是定值?
请说明理由。
【10】
****4.如图14-94,腰长为6cm的等腰RtΔFED和腰长为9cm的等腰RtΔABC部分重叠在一起,且BE=1cm,求阻影部分的面积。
p.117【5】
****5.如图14-95,在ΔABC中,AC=50厘米,BC=40厘米,∠C=900,点P从点A开始沿AC边向点C以2厘米/秒的速度移动,同时,另一点Q由C点开始以3厘米/秒的速度沿着CB边移动,则几秒钟后,ΔPCQ的面积等于450平方厘米?
【8】